108 關務升官等考試薦任 技術類（選試機械設計） 機械設計 考古題詳解

108 年・關務升官等考試・薦任・技術類（選試機械設計）
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

試說明何謂機械元件之應力集中（Stress Concentration）現象？何處容易發生此現象？以及如何在不影響機械元件功能的條件下，在設計和製造上避免此現象？

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核心觀念

應力集中是指機械元件的截面、形狀或材料性質發生局部變化，使應力分布不再均勻，並在幾何不連續處形成局部應力峰值的現象。該處的最大應力會高於以名義尺寸計算的平均應力，因而成為疲勞裂紋或破壞的起始位置。

常以應力集中係數表示：

Kt=σmax⁡σnomK_t=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\text{nom}}}

其中 σmax⁡\sigma_{\max} 為局部最大應力，σnom\sigma_{\text{nom}} 為依元件名義尺寸與載荷計算的名義應力。彈性分析下，KtK_t 主要取決於幾何形狀與載荷型式；應力集中程度通常隨幾何變化越急劇而增加。

容易發生的位置

應力集中常出現在幾何不連續處，例如：

  • 軸的階梯肩部、軸徑突變處，以及鍵槽、花鍵槽、螺紋根部。
  • 板件或受拉構件的圓孔、缺口、狹縫、尖角及開孔邊緣。
  • 齒輪齒根、彈簧鉤端、焊縫趾部等形狀轉折或截面突然改變處。
  • 鑄件、鍛件或加工件中的尖銳轉角、縮孔、氣孔、夾渣、裂紋與表面刮痕等缺陷附近。

在軸向拉伸、彎曲、扭轉等載荷下，只要局部形狀使力流線急遽偏轉或密集，該處便容易出現較高的局部應力。若載荷反覆變動，這些位置也容易成為疲勞裂紋的起點。

解題方法與設計、製造改善

作答時先說明「局部最大應力高於名義應力」的定義，再列出典型的幾何不連續與材料缺陷，最後分成設計及製造兩方面提出改善方式。核心原則是：在不改變元件必要功能與外形限制的條件下，讓截面及表面變化平順，並降低缺口與缺陷的影響。

設計方面：

  1. 避免截面突然變化：軸肩、厚薄轉接處採用圓滑過渡，並增大圓角半徑；在空間允許時，採用錐形或漸變截面。
  2. 避免尖角與狹長缺口：孔、槽及轉角盡量採圓角或圓弧端部，避免尖銳缺口。
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第 二 題25 分

試說明設計機械系統需要安全係數的原因，以及如何計算安全係數？另針對延性材料承受靜態負載，使用最大剪應力準則相對於畸變能準則計算安全係數，何者較為保守？並說明理由。

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核心觀念

安全係數（factor of safety，nn）是材料或構件的強度相對於設計時預期最大應力的裕度，用來衡量構件距離失效還有多大餘量。安全係數不是材料的固定常數；它取決於材料強度、負載與應力狀態，以及採用的失效準則。

設計需要安全係數，主要因為實際情況與理想設計條件之間存在不確定性，例如：

  • 材料強度會因批次、製程、熱處理或缺陷而變動。
  • 負載大小、方向、分布及衝擊程度可能估計不準。
  • 尺寸、公差、裝配與應力集中會影響實際應力。
  • 使用環境、磨耗、腐蝕、疲勞及維護狀況可能降低承載能力。
  • 設計模型與計算假設無法完全反映實際系統。

因此，設計時需保留強度裕度，以降低因上述變異而發生屈服、破壞或功能失效的風險。

解題方法

安全係數的基本定義為「失效強度除以工作需求」。依材料與失效型態，分子可採用不同強度指標：

  • **依屈服設計：**以屈服強度 SyS_y 除以依失效準則換算的等效應力 σeq\sigma_{\mathrm{eq}}。

n=Syσeqn=\frac{S_y}{\sigma_{\mathrm{eq}}}

  • **依最大正應力設計：**若適用，則以容許的正應力強度除以最大工作正應力。
  • **依極限強度設計：**若設計目標是避免斷裂，則可用極限強度 SutS_{ut} 作為強度基準。

對延性材料承受靜態負載，通常以「開始屈服」作為設計失效條件，並比較最大剪應力準則與畸變能準則。兩者都是把多軸應力狀態轉換為等效應力，再與 SyS_y 比較。

設主應力為 σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3，且按大小排列，則：

最大剪應力準則（Tresca）

最大剪應力為

τmax⁡=σ1−σ32\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}

單軸拉伸開始屈服時，最大剪應力為 Sy/2S_y/2，所以安全係數為

=\frac{S_y}{\sigma_1-\sigma_3}$$ **畸變能準則（von Mises）** 畸變能準則的等效應力為
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第 三 題25 分

試繪出下列平面應力狀態下之全部莫爾圓，並標註應力狀態及計算主應力、最大主應力及最大剪應力。

應力狀態：σx=−80 MPa\sigma_x=-80\ \mathrm{MPa}、σy=−30 MPa\sigma_y=-30\ \mathrm{MPa}、σxy=20 MPa\sigma_{xy}=20\ \mathrm{MPa}。

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核心觀念

本題考平面應力的莫爾圓，用圖解方式找出任意方向的正應力與剪應力，以及主應力、最大主應力與最大剪應力。

莫爾圓的橫軸為正應力 σ\sigma，縱軸為剪應力 τ\tau。圓心與半徑分別為

C=σx+σy2,R=(σx−σy2)2+τxy 2.C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^{\,2}}.

圓與正應力軸的交點為兩個主應力：

σ1,2=C±R.\sigma_{1,2}=C\pm R.

平面內最大剪應力為 RR，其所對應的正應力為圓心的橫座標 CC。

解題方法

已知

σx=−80 MPa,σy=−30 MPa,τxy=20 MPa.\sigma_x=-80\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_y=-30\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{xy}=20\ \mathrm{MPa}.

先求莫爾圓圓心：

C=−80+(−30)2=−55 MPa.C=\frac{-80+(-30)}{2}=-55\ \mathrm{MPa}.

再求半徑：

R=(−80−(−30)2)2+202=(−25)2+202=1025≈32.02 MPa.R=\sqrt{\left(\frac{-80-(-30)}{2}\right)^2+20^2} =\sqrt{(-25)^2+20^2} =\sqrt{1025} \approx 32.02\ \mathrm{MPa}.

因此主應力為

σ1=C+R=−55+32.02=−22.98 MPa,\sigma_1=C+R=-55+32.02=-22.98\ \mathrm{MPa}, σ2=C−R=−55−32.02=−87.02 MPa.\sigma_2=C-R=-55-32.02=-87.02\ \mathrm{MPa}.

兩個主應力皆為壓應力；其中代數值較大的主應力為 σ1=−22.98 MPa\sigma_1=-22.98\ \mathrm{MPa}，最大壓應力的大小為 87.02 MPa87.02\ \mathrm{MPa}。

平面內最大剪應力為

τmax⁡=R=32.02 MPa,\tau_{\max}=R=32.02\ \mathrm{MPa},

其對應正應力為

σ=C=−55 MPa.\sigma=C=-55\ \mathrm{MPa}.

全部莫爾圓與標註

平面應力問題可同時呈現面內莫爾圓與三維應力狀態所需的莫爾圓。平面應力的第三主應力為 σ3=0\sigma_3=0。三個主應力依大小排列為

σ1=−22.98,σ2=0,σ3=−87.02(MPa).\sigma_1=-22.98,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-87.02 \quad(\mathrm{MPa}).

三個莫爾圓的圓心與半徑如下：

  • σ1\sigma_1 與 σ3\sigma_3 所構成的大圓：圓心 −55.00 MPa-55.00\ \mathrm{MPa}，半徑 32.02 MPa32.02\ \mathrm{MPa}。
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第 四 題25 分

試分別說明三種類別之螺旋彈簧：拉伸彈簧、壓縮彈簧、扭轉彈簧，在目標之負載狀態下，彈簧線各部位所受之應力型式。請繪製自由體圖與算式說明。

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核心觀念

本題考查螺旋彈簧受載時，彈簧線各部位的應力型式。判斷關鍵是：先取彈簧線的一個橫截面作自由體圖，再看外力對該截面產生的內力與內力矩。

設彈簧線平均圈徑為 DD、線徑為 dd，線圈平均半徑 R=D/2R=D/2，軸向負載為 FF，扭轉負載為 TT。

解題方法與自由體圖

一、拉伸彈簧

拉伸彈簧受軸向拉力 FF。切開線圈的一處，取一側線圈作自由體。負載對彈簧線截面的力臂約為平均半徑 RR，因此截面承受直接剪力 FF，以及扭矩 Mt=FRM_t=FR。

 F →
 ┌─────┐
 / \
 | O | 線圈平均半徑 R
 \ /
 └─×───┘ ×：彈簧線截面
 ↑
 切面內力：剪力 F、扭矩 FR

彈簧線主要受扭轉剪應力，直接剪力亦會產生剪應力。圓線截面的扭轉剪應力為

τt=MtcJ=(FR)(d/2)πd4/32=8FDπd3\tau_t=\frac{M_t c}{J} =\frac{(FR)(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{8FD}{\pi d^3}

其中 J=πd4/32J=\pi d^4/32、c=d/2c=d/2。直接剪力的平均剪應力為

τd=FA=4Fπd2,A=πd24\tau_d=\frac{F}{A}=\frac{4F}{\pi d^2}, \qquad A=\frac{\pi d^2}{4}

因此拉伸彈簧線的主要應力型式是扭轉剪應力，並伴有直接剪應力；實際設計常再考慮曲率造成的應力修正。

二、壓縮彈簧

壓縮彈簧承受軸向壓力 FF。切開線圈作自由體，力臂仍約為 RR，截面仍承受直接剪力 FF 與扭矩 FRFR。

 ↓ F
 ┌─────┐
 / \
 | O | 線圈平均半徑 R
 \ /
 └─×───┘ ×：彈簧線截面
 ↑
 切面內力：剪力 F、扭矩 FR

雖然外部負載是壓縮力，彈簧線本身並非主要承受軸向壓縮正應力；由於線圈幾何形狀，軸向負載對線截面形成扭矩。因此主要應力仍為扭轉剪應力：

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技術類（選試機械設計）《機械設計》其他年度

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