108 公務人員升官等薦任 天文 宇宙學 考古題詳解

核心觀念

宇宙平坦表示其總能量密度等於臨界密度：

$$\rho_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}.$$

史瓦茲半徑則由天體質量 $M$ 與重力半徑的關係給出：

$$R_s=\frac{2GM}{c^2}.$$

本題先用平坦宇宙的臨界密度求宇宙平均密度，再將宇宙視為均勻球體，令其質量為 $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$，代入史瓦茲半徑公式。

解題方法

先將哈伯常數換算成每秒：

$$H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} =\frac{70\times10^5\ \mathrm{cm\,s^{-1}}} {10^6\times3\times10^{18}\ \mathrm{cm}} \approx2.33\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}.$$

（一）代入臨界密度公式：

$$\rho_c=\frac{3(2.33\times10^{-18})^2} {8\pi(6.67\times10^{-8})} \approx9.7\times10^{-30}\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.$$

因此，宇宙平均密度約為 $9.7\times10^{-30}\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$。

（二）對均勻球體，質量為

$$M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_c.$$

令球體半徑 $R$ 等於史瓦茲半徑 $R_s$，並滿足 $R_s=2GM/c^2$：

$$R_s=\frac{2G}{c^2}\left(\frac{4}{3}\pi R_s^3\rho_c\right).$$

除去非零解並整理：

核心觀念

本題考的是宇宙結構形成所需的時間。星系不是只要某處密度高於平均值就會立即形成；物質的密度擾動還必須有足夠時間在自身重力下成長、崩縮，並讓氣體冷卻聚集。

紅移與宇宙尺度因子關係為

$$1+z=\frac{a_0}{a}$$

其中 $a_0$ 是現在的尺度因子，$a$ 是該時期的尺度因子。紅移 $z\simeq100$ 表示宇宙當時的尺度因子約為現在的 $1/101$，是非常早期的宇宙。

解題方法

題目給出星系密度約為宇宙平均密度的 $10^6$ 倍，這說明星系是高度非線性的密度結構。可將問題拆成兩步：

1. 物質初始密度擾動必須從很小的起伏開始增長。
2. 擾動需要經過重力成長與崩縮，才能達到星系這樣的高密度。

在物質主導、線性成長的近似下，密度對比度

$$\delta \equiv \frac{\rho-\bar{\rho}}{\bar{\rho}}$$

核心觀念

本題考查兩個星系團觀測方法：

1. 以星系團內熱氣體的 X 射線觀測總質量：利用 X 射線推知氣體的密度與溫度，再在靜水平衡假設下，由氣體分布反推出星系團的引力勢與總質量。總質量包含普通物質與暗物質。
2. 星系團對宇宙微波背景的影響：星系團內的高溫電子會透過逆康普頓散射改變背景光子的能量，形成熱 Sunyaev–Zel’dovich（SZ）效應。

（一）利用 X 射線估計星系團總質量

星系團內的星系際介質是高溫、低密度電漿，主要透過熱制動輻射產生 X 射線。觀測 X 射線的表面亮度分布與光譜，可推得氣體的空間密度分布 $\rho_g(r)$ 與溫度分布 $T(r)$。其中，表面亮度主要約與電子密度平方相關，光譜則提供氣體溫度等資訊。

假設氣體近似球對稱，且處於靜水平衡，氣體壓力梯度支撐其免於向星系團中心塌縮：

$$\frac{dP}{dr} = -\rho_g(r)\frac{G M(<r)}{r^2},$$

其中 $P$ 是氣體壓力，$M(<r)$ 是半徑 $r$ 內的星系團總質量。對理想氣體，

$$P=\frac{\rho_g k_{\mathrm B}T}{\mu m_p},$$

$\mu m_p$ 為平均粒子質量。將氣體狀態方程代入靜水平衡式，可得

$$M(<r) = -\frac{k_{\mathrm B}T(r)\,r}{G\mu m_p} \left( \frac{d\ln \rho_g}{d\ln r} + \frac{d\ln T}{d\ln r} \right).$$

因此，由 X 射線資料建立 $\rho_g(r)$ 與 $T(r)$ 的徑向分布，計算其對數梯度，即可求得半徑 $r$ 內的總質量；在涵蓋整個星系團的範圍積分或外推，即估計星系團總質量。

這個方法測得的是產生引力的總質量，不只氣體質量，也包括暗物質與星系中的恆星質量。其主要前提是氣體接近靜水平衡；若星系團正經歷劇烈合併、存在顯著非熱壓力支撐，或球對稱假設不佳，質量估計會產生偏差。

（二）星系團熱物質對宇宙背景輻射的影響

星系團內的高溫電子與宇宙微波背景（CMB）光子發生逆康普頓散射，使部分光子從電子獲得能量。這會改變 CMB 的頻譜，稱為熱 Sunyaev–Zel’dovich 效應。

核心觀念

本題考查紅移與宇宙膨脹的關係，以及宇宙學退行速度和狹義相對論所限制的局部相對速度之區別。

紅移定義為

$$1+z=\frac{\lambda_{\text{觀測}}}{\lambda_{\text{發射}}}$$

在宇宙膨脹造成的宇宙學紅移中，光波長隨宇宙尺度因子 $a$ 增長而拉長，因此

$$1+z=\frac{a_{\text{現在}}}{a_{\text{發射}}}$$

若以低紅移近似，常用 $v\approx cz$ 將紅移換算成速度；但 $z=7$ 並非低紅移，不能直接把它當成一般都卜勒速度處理。

解題方法

採用平坦宇宙中常見的相對論性都卜勒紅移公式，將 $z=7$ 換算為等效退行速度。此公式也可用來說明：若把紅移完全解讀成相對論性都卜勒效應，對應速度會逼近光速，卻不會超過光速。

相對論性都卜勒紅移滿足

$$1+z=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}, \qquad \beta=\frac{v}{c}$$

平方後解出 $\beta$：

$$(1+z)^2=\frac{1+\beta}{1-\beta}$$ $$\beta=\frac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}$$

代入 $z=7$，得

$$\frac{v}{c} =\frac{8^2-1}{8^2+1} =\frac{63}{65} \approx 0.969$$

所以相對論性都卜勒公式給出的等效退行速度約為 $0.969c$。

（一）類星體的速度

依上述公式，紅移 $z=7$ 對應的等效退行速度為

$$v\approx 0.969c$$

約為每秒 $2.91\times10^5$ 公里。這是將紅移視為相對論性都卜勒紅移時的等效速度。