108 公務人員升官等薦任 天文 應用數學(包括微積分、微分方程、向量分析) 考古題詳解

核心觀念

本題考查線性代數中的**三元一次線性聯立方程組（System of Linear Equations）**之求解。 核心運算工具包含：

1. 高斯消去法（Gaussian Elimination）：利用基本列運算（Row Operations）將增廣矩陣化簡為列梯形矩陣（Row Echelon Form），再進行逆向代入求解。
2. 解的存在性與唯一性定理：若方程組之係數矩陣行列式 $\Delta \neq 0$，則方程組必有唯一解（Unique Solution）；若 $\Delta = 0$，則可能為無限多解或無解。

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解題方法

求解三元一次方程組最穩健且符合題型規格的方法為「增廣矩陣之高斯消去法」。此方法能有效避免繁雜的分數運算與符號混淆。

給定方程組：

$$\begin{cases} 2x_1+6x_2+x_3=7 & \cdots\ (1)\\ x_1+2x_2-x_3=-1 & \cdots\ (2)\\ 5x_1+7x_2-4x_3=9 & \cdots\ (3) \end{cases}$$

步驟一：建立增廣矩陣並選定樞紐元

將原聯立方程組寫成增廣矩陣 $[A | \mathbf{b}]$，並將第 1 列與第 2 列對調（$R_1 \leftrightarrow R_2$），使首項樞紐元（Pivot）係數為 $1$：

$$\begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 5 & 7 & -4 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & 6 & 1 & 7 \\ 5 & 7 & -4 & 9 \end{bmatrix}$$

步驟二：向下消去第一行元素

以第 1 列為基準，進行列運算消去第 2 列與第 3 列的第一個變數：

• $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$
• $R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1$

計算得：

核心觀念

1. 特徵值與特徵向量定義： 設 $A$ 為 $n \times n$ 實數方陣，若存在純量 $\lambda$ 與非零向量 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，使得

$$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

則稱 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的特徵值（eigenvalue），$\mathbf{v}$ 為對應於 $\lambda$ 的特徵向量（eigenvector）。 2. 特徵方程式（Characteristic Equation）： 非零解 $\mathbf{v}$ 存在之充要條件為矩陣 $(A - \lambda I)$ 奇異（不可逆），即其特徵方程式行列式值為零：

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

3. 下三角矩陣性質： 若方陣的主對角線右上側元素全為零，則該矩陣為下三角矩陣（lower triangular matrix），其行列式值等於主對角線元素之乘積，其特徵值即為主對角線上之元素。
4. 特徵空間（Eigenspace）： 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵空間為齊次線性方程組 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 的零空間（null space）。求出該零空間的基底後，以任意非零常數倍表示即為特徵向量的一般解。

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解題方法

步驟一：求解特徵值 $\lambda$

矩陣 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，代入特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$：

$$\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = 0$$

展開行列式：

$$(1 - \lambda)(3 - \lambda) - (0)(1) = 0$$ $$(1 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$$

解得特徵值為：

$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3$$

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步驟二：求解對應於 $\lambda_1 = 1$ 的特徵向量 $\mathbf{v}_1$

將 $\lambda_1 = 1$ 代入方程式 $(A - 1\cdot I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$，設 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$：

$$\begin{pmatrix} 1 - 1 & 0 \\ 1 & 3 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

展開可得線性方程：

$$x_1 + 2x_2 = 0 \implies x_1 = -2x_2$$

令自由變數 $x_2 = c_1$（其中 $c_1 \neq 0$ 為任意非零實數），得：

$$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -2c_1 \\ c_1 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

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步驟三：求解對應於 $\lambda_2 = 3$ 的特徵向量 $\mathbf{v}_2$

將 $\lambda_2 = 3$ 代入方程式 $(A - 3\cdot I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$，設

核心觀念

本題考查一階常微分方程式中的正合微分方程式（Exact Differential Equation）之判定與求解。

1. 正合微分方程式判定定理： 設微分方程式為 $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$。若函數 $M(x, y)$ 與 $N(x, y)$ 在單連通區域上具有一階連續偏導數，則該方程式為正合方程式的充要條件為：

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

2. 勢函數（Potential Function）與通解： 若方程式正合，則必存在純量函數 $\Phi(x, y)$，使得全微分滿足：

$$d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$$

方程式之通解即為隱函數形式：

$$\Phi(x, y) = C \quad (C \text{ 為任意常數})$$

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解題方法

步驟一：設定函數並檢驗正合性

令：

$$M(x, y) = e^{2y} - y\cos(xy)$$ $$N(x, y) = 2xe^{2y} - x\cos(xy) + 2y$$

分別對 $y$ 與 $x$ 取偏導數：

• 對 $M(x, y)$ 偏微分（注意乘積微分律與鏈鎖律 $\frac{\partial}{\partial y}(xy) = x$）：

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{2y}\right) - \left[\frac{\partial y}{\partial y}\cos(xy) + y\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)\right]$$ $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2e^{2y} - \cos(xy) + xy\sin(xy)$$

• 對 $N(x, y)$ 偏微分（注意乘積微分律與鏈鎖律 $\frac{\partial}{\partial x}(xy) = y$）：

$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2xe^{2y}\right) - \left[\frac{\partial x}{\partial x}\cos(xy) + x\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy)\right] + \frac{\partial}{\partial x}(2y)$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = 2e^{2y} - \cos(xy) + xy\sin(xy)$$

因 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，確認本方程式為正合微分方程式。

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核心觀念

本題旨在評量考生求解**一階線性常微分方程式（First-Order Linear Ordinary Differential Equation）**的基本能力，核心觀念與公式如下：

1. 一階線性微分方程式之標準型式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 求解前務必先將最高階導數 $\frac{dy}{dx}$ 的係數化為 $1$。

2. 積分因子（Integrating Factor, $I(x)$）： $I(x) = e^{\int P(x)\,dx}$ 兩端同乘以 $I(x)$ 後，左式可整併為全微分形式： $\frac{d}{dx}\left[ I(x)y \right] = I(x)Q(x)$

3. 分部積分法（Integration by Parts）： $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

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解題方法

步驟一：將方程式化為標準型式 原微分方程式為： $x\frac{dy}{dx} - 4y = x^6 e^x$ 假設 $x \neq 0$，兩端同除以 $x$，整理成一階線性的標準型式： $\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x}y = x^5 e^x$ 此時對應之係數函數為： $P(x) = -\frac{4}{x}, \quad Q(x) = x^5 e^x$

步驟二：計算積分因子 $I(x)$ $I(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -\frac{4}{x}\,dx} = e^{-4\ln|x|} = |x|^{-4}$ 取正值純量因子即可，故取： $I(x) = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

步驟三：同乘積分因子並整併左式 將標準式兩端同乘以 $x^{-4}$： $x^{-4}\frac{dy}{dx} - 4x^{-5}y = x^{-4}\left(x^5 e^x\right)$ 左式即為積的微分導函數 $\frac{d}{dx}\left[x^{-4}y\right]$，右式化簡為 $x e^x$： $\frac{d}{dx}\left[ x^{-4}y \right] = x e^x$

步驟四：兩端積分 對 $x$ 進行不定積分： $x^{-4}y = \int x e^x\,dx + C$ 其中 $C$ 為積分任意常數。

核心觀念

本題屬於向量分析中的**保守向量場（Conservative Vector Field）與純量位能函數（Scalar Potential Function）**的求解問題。核心理論與定義如下：

1. 梯度向量（Gradient Vector）定義： 若二元純量函數 $f(x,y)$ 具有一階連續偏導數，其梯度定義為：

$$\nabla f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$

2. 保守場（梯度場）的充分必要條件： 設向量場 $\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}$ 定義於全平面 $\mathbb{R}^2$（單連通區域），且分量函數 $P, Q$ 具連續一階偏導數。 $\mathbf{F}$ 存在位能函數 $f$ 滿足 $\mathbf{F} = \nabla f$ 之充要條件為：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \quad (\text{即旋度 } \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0})$$

3. 偏積分（Partial Integration）之還原原理： 由 $\frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y)$ 及 $\frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y)$ 聯立反求 $f(x,y)$。在對其中一變數進行積分時，積分常數項為另一變數的任意函數。

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解題方法

本題要求找出滿足以 $\mathbf{F} = \nabla f$ 之函數 $f$。解題分為「判別存在性」與「偏積分求值」兩步驟：

步驟一：驗證位能函數 $f$ 的存在性

給定向量函數：

$$\mathbf{F}(x,y) = (3+2xy)\mathbf{i} + (x^2-3y^2)\mathbf{j}$$

令：

$$P(x,y) = 3 + 2xy, \quad Q(x,y) = x^2 - 3y^2$$

分別對 $y$ 與 $x$ 取偏導數：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3 + 2xy) = 2x$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 3y^2) = 2x$$

由於 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$ 在整個 $\mathbb{R}^2$ 上皆成立，且 $\mathbb{R}^2$ 為單連通區域，故 $\mathbf{F}$ 為保守向量場，保證存在純量位能函數 $f(x,y)$ 使得 $\mathbf{F} = \nabla f$。

步驟二：求解函數 $f(x,y)$

依據 $\mathbf{F} = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$，可得偏微分方程組：

核心觀念

1. 隱函數曲面的法向量（Normal Vector）： 設三元函數 $F(x, y, z) = C$ 定義一個空間曲面。若 $F$ 在點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 處連續可微且梯度不為零向量，則該點的梯度向量（Gradient Vector）即為曲面在該點的法向量 $\mathbf{n}$： $\mathbf{n} = \nabla F(x_0, y_0, z_0) = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)\Bigg|_{(x_0, y_0, z_0)}$

2. 切平面方程式（Tangent Plane）： 過點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且以 $\mathbf{n} = (A, B, C)$ 為法向量的平面點法式為： $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

3. 法線方程式（Normal Line）： 過點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且以 $\mathbf{v} = (A, B, C)$ 為方向向量的直線方程式：

• 對稱式（Symmetric Form）： $\frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C} \quad (A, B, C \neq 0)$
• 參數式（Parametric Form）： $\begin{cases} x = x_0 + At \\ y = y_0 + Bt \\ z = z_0 + Ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

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解題方法

步驟一：設定隱函數並驗證給定點

設橢球方程式為隱函數形式： $F(x, y, z) = \frac{x^2}{4} + y^2 + \frac{z^2}{9} - 3 = 0$ 將點 $P_0(-2, 1, -3)$ 代入驗證： $\frac{(-2)^2}{4} + (1)^2 + \frac{(-3)^2}{9} = \frac{4}{4} + 1 + \frac{9}{9} = 1 + 1 + 1 = 3$ 確認該點確實在橢球曲面上。

步驟二：計算梯度向量（法向量）

分別對 $x, y, z$ 求一階偏導數： $F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$ $F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 2y$ $F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = \frac{2z}{9}$

將點 $P_0(-2, 1, -3)$ 代入偏導函數，得切點處的法向量： $\nabla F(-2, 1, -3) = \left( \frac{-2}{2}, 2(1), \frac{2(-3)}{9} \right) = \left( -1, 2, -\frac{2}{3} \right)$

為使後續計算與表示簡潔，取與 $\nabla F(-2, 1, -3)$ 平行且同向（或同軸）的整數向量作為法向量 $\mathbf{n}$： $\mathbf{n} = -3 \cdot \left( -1, 2, -\frac{2}{3} \right) = (3, -6, 2)$

核心觀念

本題評量重點為「拉普拉斯反變換（Inverse Laplace Transform）」中處理分母含重根二次項 $\frac{1}{(s^2+k^2)^2}$ 的求解能力。解題主要涉及以下兩個核心工具：

1. 頻域微分性質（Differentiation in the Frequency Domain）： $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$ 若已知基本拉氏變換對： $\mathcal{L}\{\cos(kt)\} = \frac{s}{s^2+k^2}$ 對其進行頻域微分，可得： $\mathcal{L}\{t \cos(kt)\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^2+k^2}\right) = -\frac{1 \cdot (s^2+k^2) - s \cdot 2s}{(s^2+k^2)^2} = \frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2}$

2. 摺積定理（Convolution Theorem）： $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ 其中基本反變換對為： $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+k^2}\right\} = \frac{1}{k}\sin(kt)$

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解題方法

此題有兩種標準切入途徑，考場上建議優先採用方法一（代數拆項與頻域微分法），計算速度最快且不易發生積分計算失誤；亦可採用**方法二（摺積定理法）**直接積分求解。

方法一：代數拆項與頻域微分法（推薦）

步驟 1：利用已知反變換對構造目標分式 已知： $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+k^2}\right\} = \frac{1}{k}\sin(kt)$ $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2}\right\} = t\cos(kt)$

步驟 2：分子代數拆項 觀察待求式與已知式之分子關係： $\frac{1}{s^2+k^2} - \frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2} = \frac{(s^2+k^2) - (s^2-k^2)}{(s^2+k^2)^2} = \frac{2k^2}{(s^2+k^2)^2}$ 兩邊同除以 $2k^2$（假設 $k \neq 0$），即可將目標函數表示為已知項的線性組合： $\frac{1}{(s^2+k^2)^2} = \frac{1}{2k^2}\left[ \frac{1}{s^2+k^2} - \frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2} \right]$

步驟 3：逐項取拉普拉斯反變換 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+k^2)^2}\right\} = \frac{1}{2k^2} \left[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+k^2}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2}\right\} \right]$ $= \frac{1}{2k^2} \left[ \frac{1}{k}\sin(kt) - t\cos(kt) \right]$ $= \frac{\sin(kt) - kt\cos(kt)}{2k^3}$

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方法二：摺積定理法（標準推導）

步驟 1：分解為兩函數相乘 令 $F(s) = G(s) = \frac{1}{s^2+k^2}$，其對應的時域函數為： $f(t) = g(t) = \frac{1}{k}\sin(kt)$

步驟 2：應用摺積定義 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+k^2)^2}\right\} = (f * g)(t) = \frac{1}{k^2} \int_0^t \sin(k\tau)\sin(k(t-\tau))\,d\tau$

步驟 3：運用三角函數積化和差公式 利用 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$，其中 $A = k\tau$，$B = kt - k\tau$：

• $A - B = 2k\tau - kt$
• $A + B = kt$