108 公務人員升官等薦任 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

108 年・公務人員升官等・薦任・土木工程
試題代碼 土壤力學（包括基礎工程）

第 一 題25 分

某工地土壤鑽探顯示，其頂層 6 m6\ \mathrm{m} 為一鬆砂填土層（γd=15 kN/m3\gamma_d=15\ \mathrm{kN/m^3}；γsat=16.8 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=16.8\ \mathrm{kN/m^3}），地下水位位於地表面下 2.5 m2.5\ \mathrm{m} 處。地表下 6 m6\ \mathrm{m} 處為一灰色沉泥質黏土（Gs=2.67G_s=2.67），其平均含水量為 30%30\%。地表下 10 m10\ \mathrm{m} 處為一堅硬沉泥黏土層。假設鬆砂之毛細水上升高度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}。

（一）計算地表下 2 m2\ \mathrm{m}、2.5 m2.5\ \mathrm{m}、6 m6\ \mathrm{m} 及 10 m10\ \mathrm{m} 之總應力、孔隙水壓力及有效應力。

（二）繪出以上各種應力、孔隙水壓與深度（0∼10 m0\sim10\ \mathrm{m}）之關係圖。

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核心觀念

本題考查垂直總應力、孔隙水壓力與有效應力的關係：

σv=上覆土層自重所造成的垂直應力\sigma_v=\text{上覆土層自重所造成的垂直應力} σv′=σv−u\sigma_v'=\sigma_v-u

其中 σv\sigma_v 為總應力、uu 為孔隙水壓力、σv′\sigma_v' 為有效應力，單位均為 kPa\mathrm{kPa}。地下水位以下，孔隙水壓按靜水壓計算；毛細水上升區則為負孔隙水壓。

解題方法與計算

以地表為深度 z=0z=0，向下為正。題目給定地下水位深度為 2.5 m2.5\ \mathrm{m}，毛細水上升高度為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}，故毛細水上升區為地表下 2.0∼2.5 m2.0\sim2.5\ \mathrm{m}。在此區及地下水位以下，按飽和土重計算總應力。

一、沉泥質黏土層的飽和單位重

地表下 6 m6\ \mathrm{m} 以下位於地下水位以下，依飽和狀態處理。飽和土的含水量關係為 w=e/Gsw=e/G_s，所以：

e=wGs=0.30(2.67)=0.801e=wG_s=0.30(2.67)=0.801 γsat,clay=Gs+e1+eγw=2.67+0.8011+0.801(9.81)≈18.91 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat,clay}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67+0.801}{1+0.801}(9.81) \approx18.91\ \mathrm{kN/m^3}

二、各深度應力計算

地表下 2 m2\ \mathrm{m}：​上方均為乾砂。

σv=2(15)=30.00 kPa\sigma_v=2(15)=30.00\ \mathrm{kPa}

此處為毛細水上升區頂端，距地下水位 0.5 m0.5\ \mathrm{m}：

u=−γw(0.5)=−4.905 kPau=-\gamma_w(0.5)=-4.905\ \mathrm{kPa} σv′=σv−u=30.00−(−4.905)=34.905 kPa\sigma_v'=\sigma_v-u=30.00-(-4.905)=34.905\ \mathrm{kPa}

地表下 2.5 m2.5\ \mathrm{m}：​上方有 2 m2\ \mathrm{m} 乾砂及 0.5 m0.5\ \mathrm{m} 飽和砂。

σv=2(15)+0.5(16.8)=38.40 kPa\sigma_v=2(15)+0.5(16.8)=38.40\ \mathrm{kPa} u=0,σv′=38.40 kPau=0,\qquad \sigma_v'=38.40\ \mathrm{kPa}

地表下 6 m6\ \mathrm{m}：​自地表下 2 m2\ \mathrm{m} 起至 6 m6\ \mathrm{m}，均按飽和砂重計算。

σv=2(15)+4(16.8)=97.20 kPa\sigma_v=2(15)+4(16.8)=97.20\ \mathrm{kPa} u=9.81(6−2.5)=34.335 kPau=9.81(6-2.5)=34.335\ \mathrm{kPa} σv′=97.20−34.335=62.865 kPa\sigma_v'=97.20-34.335=62.865\ \mathrm{kPa}

地表下 10 m10\ \mathrm{m}：​再加上 6∼10 m6\sim10\ \mathrm{m} 的飽和沉泥質黏土。

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第 二 題25 分

邊坡穩定之切片分析法有：普通切片法（Ordinary Method of Slices）、簡化 Bishop 法、Spencer 法、簡化 Janbu 法、Janbu 嚴謹法及 Morgenstern–Price 法等。

試將各切片法適用之破壞面（圓弧、非圓弧）、各切片分析時所做之力與力矩平衡條件的假設，以及各分析法之優、缺點作一比較。

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核心觀念

本題考查極限平衡法中的切片分析：將可能滑動土體分成許多垂直切片，假設滑動面上的土體已達到抗剪強度，藉由平衡條件求安全係數 FsF_s。各方法的差異主要在三點：

  1. 適用的滑動面形狀：圓弧或一般非圓弧。
  2. 如何處理相鄰切片間的作用力，包括切片間法向力 EE 與剪力 XX。
  3. 滿足哪些力與力矩平衡條件。

若以有效應力強度表示滑動面上的抗剪強度，則

τf=c′+(σn−u)tan⁡ϕ′\tau_f=c'+(\sigma_n-u)\tan\phi'

其中 c′c'、ϕ′\phi' 為有效應力強度參數，uu 為孔隙水壓。一般而言，平衡條件滿足得越完整，對切片間作用力的假設越少，分析結果越嚴謹；但計算也越複雜。

解題方法

比較時可先列出各法假設，再依序檢查整體力平衡與力矩平衡。切片間力在全滑動土體中成對出現，整體求和時會相互抵消；但在單一切片平衡中，仍須處理切片間法向力與剪力。因此，各法對切片間力所作的簡化，決定了它能滿足哪些平衡條件。

分析法適用破壞面切片間作用力假設平衡條件優點與缺點
普通切片法（Ordinary Method of Slices，亦稱 Fellenius 法）圓弧忽略切片間法向力與剪力滿足繞圓心的整體力矩平衡；不滿足整體水平與垂直力平衡計算最簡單，可手算；忽略切片間作用力，精度較低，孔隙水壓影響顯著或滑動面形狀複雜時較不適用
簡化 Bishop 法圓弧忽略切片間剪力，保留切片間法向力滿足各切片垂直力平衡及整體力矩平衡；不滿足整體水平力平衡對圓弧滑動面的分析通常較普通法精確，且計算量適中；需迭代求解，不能直接用於一般非圓弧滑動面
Spencer 法圓弧或非圓弧假設各切片間合力方向相同，即切片間力的傾角為常數同時滿足整體水平力、垂直力及力矩平衡屬嚴謹平衡法，適用面廣、結果可靠；須迭代求解安全係數與切片間力傾角
簡化 Janbu 法圓弧或非圓弧忽略切片間剪力，考慮切片間法向力滿足整體水平力平衡；不滿足整體力矩平衡可處理非圓弧滑動面，計算相對簡便；因不滿足力矩平衡，常以經驗修正係數改善安全係數
Janbu 嚴謹法圓弧或非圓弧考慮切片間法向力與剪力，並對切片間力或推力線作假設滿足整體水平力、垂直力及力矩平衡適用於一般滑動面，平衡條件完整；分析較複雜，需迭代且依賴切片間力假設
Morgenstern–Price 法圓弧或非圓弧假設切片間剪力與法向力的比值沿滑面依指定函數變化，即 X=λf(x)EX=\lambda f(x)E同時滿足整體水平力、垂直力及力矩平衡可處理多種滑動面，並能以不同函數描述切片間力；
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第 三 題25 分

何謂湧起或上舉破壞？（3 分）

分別舉出至少 2 個上舉與「砂湧（Quick sand）」之相同點與不同點。（4 分）

某黏土工地開挖之幾何及河流水位如圖（一）所示。如不考慮任何垂直剪力，試計算其抵抗湧起或上舉之安全係數。（8 分）

又當堤防外之河水位上升至距河床底面多高時，湧起或上舉現象將會發生？（10 分）

圖（一）：

  • 高程：00、1010、2020、30 m30\ \mathrm{m}
  • 水位（高程 =+16 m=+16\ \mathrm{m}）
  • 開挖
  • 河
  • 黏土：γsat=19.6 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=19.6\ \mathrm{kN/m^3}
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核心觀念

本題考查黏土覆蓋層下方有高水頭地下水時，開挖底部是否會發生湧起（上舉）破壞。地下水壓力向上作用於黏土層底面；黏土覆蓋層的自重則提供抵抗力。題目指定不考慮垂直剪力，因此只比較土塊自重與底面水壓力：

FS上舉=黏土覆蓋層自重底面向上水壓力FS_{\text{上舉}} =\frac{\text{黏土覆蓋層自重}}{\text{底面向上水壓力}}

FS=1FS=1 為臨界狀態；FS>1FS>1 表示自重大於水壓力。

解題方法

由圖可知，河床底面高程為 0 m0\ \mathrm{m}，開挖面高程為 +10 m+10\ \mathrm{m}，河水位高程為 +16 m+16\ \mathrm{m}。因此，開挖面下方保留的黏土厚度為

Hc=10−0=10 mH_c=10-0=10\ \mathrm{m}

以面積為 AA 的黏土土柱為分析範圍。忽略垂直剪力後，抵抗力為黏土土柱自重：

W=γsatHcA=19.6(10)A=196A kNW=\gamma_{\mathrm{sat}}H_cA =19.6(10)A =196A\ \mathrm{kN}

河水透過多孔隙砂層傳遞水頭；在黏土層底面高程 0 m0\ \mathrm{m}，向上水壓力為

U=γwhwA=9.81(16)A=156.96A kNU=\gamma_w h_wA =9.81(16)A =156.96A\ \mathrm{kN}

故抵抗湧起或上舉的安全係數為

FS=WU=196A156.96A=1.25FS=\frac{W}{U} =\frac{196A}{156.96A} =1.25

湧起／上舉與砂湧（Quick sand）的異同

相同點

  1. 兩者都與向上的地下水壓力或滲流力有關；水力作用會減少土體的有效應力。
  2. 兩者都可能在水力作用超過土體自重所能抵抗的程度時發生；安全性可由「抵抗作用與水力作用之比」評估。
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第 四 題25 分

列出兩種錨碇式板樁的分析法。（2 分）

比較此兩種方法所做之假設，並繪出它們各別的變位曲線與彎矩圖。（6 分）

圖（二）為某一開挖工程所使用之錨碇式板樁牆。若砂土單位重為 18 kN/m318\ \mathrm{kN/m^3}，內摩擦角為 30∘30^\circ，試利用自由土壤支撐法（Free Earth Support Method），求該板樁牆最小安全深度 dd，及錨碇繫桿所承受之拉力 TT。（17 分）

圖（二）：原卷所附錨碇式板樁牆示意圖。

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核心觀念

錨碇式板樁常用兩種分析法：

  1. 自由土壤支撐法（Free Earth Support Method）
  2. 固定土壤支撐法（Fixed Earth Support Method）

自由土壤支撐法假設板樁嵌入較淺，樁趾可轉動，樁趾彎矩為零；固定土壤支撐法假設板樁嵌入較深，樁身在開挖面以下有反曲點，樁趾受土壤限制而近似固定。

本題按圖採用水平錨桿、均質乾砂、Rankine 土壓，並以每公尺板樁牆計算。圖示錨碇位於地表下 1 m1\ \mathrm{m}，開挖面位於地表下 5 m5\ \mathrm{m}。

兩種分析法的假設與圖形

分析法主要假設變位曲線與彎矩圖特徵
自由土壤支撐法嵌入較淺；樁趾可轉動，不形成固定端；樁趾彎矩為零。錨碇處水平位移為零，樁趾可側移；彎矩由樁頂零值發展，樁趾回到零值。
固定土壤支撐法嵌入較深；樁身在開挖面以下形成反曲點；樁趾受土壤限制，近似固定。錨碇處及樁趾位移為零；反曲點彎矩為零，樁趾彎矩通常不為零。

示意圖中，zz 為向下位移方向，彎矩正負號依慣例而定；圖形表示其定性形狀。

自由土壤支撐法：

變位：樁頂可側移，錨碇處位移為零，樁趾可側移。 彎矩：樁頂 M=0M=0，樁趾 M=0M=0，中間有彎矩極值。

固定土壤支撐法：

變位：錨碇處位移為零，樁趾位移近似為零，樁身在開挖面以下有反曲。 彎矩：樁頂 M=0M=0，開挖面以下反曲點 M=0M=0，樁趾彎矩通常不為零。

解題方法與計算

砂土內摩擦角 ϕ=30∘\phi=30^\circ，Rankine 主動及被動土壓係數為

Ka=1−sin⁡ϕ1+sin⁡ϕ=13,Kp=1+sin⁡ϕ1−sin⁡ϕ=3K_a=\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}=\frac13, \qquad K_p=\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}=3

設 xx 為自開挖面向下的深度，板樁嵌入深度為 dd。地表均佈載重 q=10 kN/m2q=10\ \mathrm{kN/m^2}。

開挖面以上，距地表深度 zz 處的主動土壓為

pa(z)=Ka(q+γz)=13(10+18z)p_a(z)=K_a(q+\gamma z) =\frac13(10+18z)

因此地表土壓為 3.33 kN/m23.33\ \mathrm{kN/m^2}，開挖面處土壓為

pa(5)=13(10+18×5)=33.33 kN/m2p_a(5)=\frac13(10+18\times5)=33.33\ \mathrm{kN/m^2}

開挖面以下，牆後主動土壓扣除開挖側被動土壓，淨土壓為

p(x)=Ka[q+γ(5+x)]−Kpγx=33.33−48xp(x)=K_a[q+\gamma(5+x)]-K_p\gamma x =33.33-48x
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