108 公務人員升官等薦任 金融保險 財務管理與投資學 考古題詳解

核心觀念

本題考荷蘭標公債的得標排序、統一計價利率，以及依得標利率加權平均數決定票面利率的方式。投標利率愈低，表示交易商要求的報酬率愈低，依序優先得標；得標者則採相同的得標利率計算價格。

解題方法

（一）1.13% 投標者的購買價格利率

發行額度為 250 億元。依投標利率由低至高累計：

• 1.17% 時累計得標需求為 240 億元，尚未達到 250 億元。
• 1.19% 時累計需求增至 300 億元，因此只需接受該利率投標中的 10 億元，即達到發行額度。

所以，邊際得標利率為 1.19%。採荷蘭標時，得標者以統一利率計算購買價格，因此投標 1.13% 的得標交易商也以 1.19% 為計價殖利率。

（二）公債票面利率

核心觀念

本題評量投資學與財務管理的核心基石——資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）​及其衍生之證券市場線（Security Market Line, SML）​與詹森指標（Jensen's Alpha, $\alpha$）​之評價應用。

1. 資本資產定價模型（CAPM）公式： 在市場均衡下，個別資產 $i$ 依承擔系統性風險（$\beta_i$）所應獲得的「必要報酬率」（Required Rate of Return，亦即理論均衡預期報酬率）為： $E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$

• $R_f$：無風險利率（Risk-free Rate）。
• $E(R_m)$：市場投資組合的預期報酬率（Expected Market Return）。
• $[E(R_m) - R_f]$：市場風險溢酬（Market Risk Premium）。
• $\beta_i$：個別資產相對於市場的貝他係數（衡量系統性風險）。

2. 詹森指標（Jensen's Alpha, $\alpha$）與資產定價評估： $\alpha$ 衡量個別證券的「分析師預期報酬率」與「CAPM 理論必要報酬率」之間的差額： $\alpha_i = E(R_{i, \text{估計}}) - E(R_{i, \text{CAPM}})$

• 若 $\alpha_i > 0$：表示該資產的預期報酬率高於承擔其系統性風險所要求的必要報酬率，位於證券市場線（SML）上方，股票價格被市場「低估」（Underpriced），具超額報酬（Excess Return），投資人應買進（Buy）。
• 若 $\alpha_i < 0$：表示該資產的預期報酬率低於其必要報酬率，位於 SML 下方，股票價格被市場「高估」（Overpriced），投資人不宜買進或應賣出／放空（Sell/Short）。
• 若 $\alpha_i = 0$：表示該資產定價合理（Fairly priced），座落於 SML 上。

解題方法

（一）計算兩家公司根據 CAPM 的預期報酬率

題目給定已知參數：

• 無風險利率 $R_f = 2\%$
• 市場預期報酬率 $E(R_m) = 11\%$
• 市場風險溢酬 $[E(R_m) - R_f] = 11\% - 2\% = 9\%$

1. ABC 股票之 CAPM 預期（必要）報酬率： 已知 $\beta_{ABC} = 1.2$，代入 CAPM 公式： $E(R_{ABC}) = R_f + \beta_{ABC} [E(R_m) - R_f]$ $E(R_{ABC}) = 2\% + 1.2 \times (11\% - 2\%) = 2\% + 10.8\% = 12.8\%$

2. XYZ 股票之 CAPM 預期（必要）報酬率： 已知 $\beta_{XYZ} = 1.4$，代入 CAPM 公式： $E(R_{XYZ}) = R_f + \beta_{XYZ} [E(R_m) - R_f]$ $E(R_{XYZ}) = 2\% + 1.4 \times (11\% - 2\%) = 2\% + 12.6\% = 14.6\%$

（二）計算 $\alpha$ 值與投資決策

1. 計算兩支股票的 $\alpha$ 值：

• ABC 股票： 分析師預期報酬率為 $10\%$，CAPM 要求之必要報酬率為 $12.8\%$。

核心觀念

本題評量固定收益證券（Fixed Income Securities）中衡量「利率風險」的核心工具——存續期間（Duration）與凸率（Convexity）的理論與實務應用：

1. 修正存續期間（Modified Duration, $MD$）：由麥考利存續期間（Macaulay Duration, $D_{Mac}$）調整而來，衡量當市場殖利率變動一個單位時，債券價格變動的百分比，即債券價格對殖利率的一階敏感度（First derivative / Semi-elasticity）。
2. 一般凸率（Bond Convexity, $CX$）：衡量債券價格對殖利率的二階敏感度（Second derivative），反映價格—殖利率關係曲線的「彎曲程度」，用以修正存續期間線性估計的誤差。
3. 泰勒展開式（Taylor Series Expansion）：債券價格變動率可展開為： $\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \times \Delta y + \frac{1}{2} \times CX \times (\Delta y)^2$
4. 平價債券（Par Bond）特性：當票面利率等於到期殖利率時，債券價格等於面額。

解題方法與完整擬答

（一）修正存續期間與一般凸率之定義（10 分）

1. 修正存續期間（Modified Duration, $MD$）

• 文字定義：修正存續期間為衡量債券價格對到期殖利率（Yield to Maturity, $y$）變動敏感度的指標。它表示當市場殖利率每變動 $1\%$（或 1 個基本點）時，債券價格預期變動的百分比。
• 數學定義： 若年付息次數為 $m$ 次，麥考利存續期間為 $D_{Mac}$，則修正存續期間定義為： $MD = \frac{D_{Mac}}{1 + \frac{y}{m}}$ 若以微積分表示，它是債券價格 $P$ 對殖利率 $y$ 的一階導數除以價格的負值（即半彈性）： $MD = -\frac{1}{P} \frac{dP}{dy}$ 在殖利率微幅變動 $\Delta y$ 時，債券價格變動百分比之線性估計為： $\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \times \Delta y$

2. 一般凸率（Bond Convexity, $CX$）

• 文字定義：一般凸率衡量債券價格與殖利率之間非線性（曲線）關係的曲率（Curvature），反映修正存續期間隨殖利率變動而變化的速率。凸率恆正（不具內含期權的傳統債券）意味著「殖利率下降時價格上漲幅度」大於「殖利率上升時價格下跌幅度」（漲多跌少之特性）。
• 數學定義： 凸率為債券價格對殖利率的二階導數除以價格： $CX = \frac{1}{P} \frac{d^2 P}{dy^2}$ 若各期現金流量為 $C_t$（在時間 $t$ 發生），其離散型計算公式為： $CX = \frac{1}{P(1+y)^2} \sum_{t=1}^T \frac{t(t+1) C_t}{(1+y)^t}$

（二）修正存續期間計算與影響因素（10 分）

1. 二年期債券修正存續期間之計算

• 已知條件：

• 到期年限 $T = 2$ 年

• 票面利率 $c = 2\%$，每年付息一次（$m = 1$）

• 到期殖利率 $y = 2\%$

• 設債券面額 $F = 100$ 元，每期債息 $C = 100 \times 2\% = 2$ 元

• 步驟一：計算債券價格（$P$） 因票面利率等於殖利率（$c = y = 2\%$），此債券為平價發行： $P = \frac{2}{1 + 0.02} + \frac{100 + 2}{(1 + 0.02)^2} = \frac{2}{1.02} + \frac{102}{1.02^2} = 1.9608 + 98.0392 = 100 \text{ 元}$

• 步驟二：計算各期現金流量現值與加權現值

• 第 1 年現金流量現值：$PV(C_1) = \frac{2}{1.02} = \frac{100}{51} \approx 1.9608$ 元

• 第 2 年現金流量現值：$PV(C_2) = \frac{102}{(1.02)^2} = \frac{5000}{51} \approx 98.0392$ 元

• 加權時間現值總和： $\sum_{t=1}^2 t \times PV(C_t) = 1 \times \frac{100}{51} + 2 \times \frac{5000}{51} = \frac{10100}{51} \approx 198.0392$

• 步驟三：計算麥考利存續期間（$D_{Mac}$） $D_{Mac} = \frac{\sum_{t=1}^2 t \times PV(C_t)}{P} = \frac{\frac{10100}{51}}{100} = \frac{101}{51} \approx 1.9804 \text{ 年}$

• 步驟四：計算修正存續期間（$MD$） $MD = \frac{D_{Mac}}{1 + y} = \frac{\frac{101}{51}}{1.02} = \frac{101}{51 \times 1.02} = \frac{5050}{2601} \approx 1.9416 \text{ 年}$

2. 影響修正存續期間大小之因素

修正存續期間由麥考利存續期間及殖利率共同決定，主要影響因素如下：

1. 到期年限（Maturity, $T$）：呈同向變動。在其他條件不變下，到期期間越長，後續現金流的時間權重越大，修正存續期間越大（利率風險越高）。

核心觀念

本題主要測驗現代投資組合理論與資產定價模型從「資本資產定價模型（CAPM）」延伸至「多因子模型」的演進過程，以及多重迴歸績效評估在投資實務上的統計推論。核心觀念包含：

1. CAPM 的限制與市場異象（Market Anomalies）： 傳統 Sharpe-Lintner CAPM 僅以單一市場風險溢酬（市場貝他 $\beta$）解釋資產預期報酬。然而，實證上存在無法被市場 $\beta$ 解釋的異常現象，最著名者為規模效應（Size Effect）與淨值市價比效應（Book-to-Market Effect / Value Effect）。
2. Fama-French 三因子模型（Three-Factor Model）： Fama and French（1992, 1993, 1996）提出結合市場因子、規模因子與價值因子的定價模型： $E(R_i) - R_f = \beta_{i,MKT} [E(R_m) - R_f] + \beta_{i,SMB} E(SMB) + \beta_{i,HML} E(HML)$ 迴歸時間序列實證模型則表示為： $R_{it} - R_{ft} = \alpha_i + \beta_{i,MKT} (R_{mt} - R_{ft}) + \beta_{i,SMB} SMB_t + \beta_{i,HML} HML_t + \varepsilon_{it}$
3. 系統性風險之代理變數（Risk Proxies）： Fama 與 French 堅持「理性市場假說（EMH）」觀點，主張規模與淨值市價比並非市場無效率所致的套利機會，而是代理了公司深層的系統性風險（如財務困境風險 Financial Distress Risk、景氣循環曝險）。
4. 詹森阿爾法（Jensen's $\alpha$）與統計檢定： 在多因子模型中，截距項 $\alpha_i$ 代表控制各因子系統性風險曝險後所獲得的「超額報酬（Abnormal Return）」。統計檢定係針對虛無假說 $H_0: \alpha = 0$ 進行 $t$ 檢定；不顯著代表無法拒絕該超額報酬為零的假說。

解題方法

（一）三因子模型的組成結構拆解

• 市場風險溢酬因子（Market Factor, $R_m - R_f$）：全體市場投資組合報酬率減去無風險利率，承襲自傳統 CAPM。
• 規模因子（Size Factor, $SMB$）：全名為 Small Minus Big，代表小型股投資組合與大型股投資組合之報酬率差異。
• 價值因子／淨值市價比因子（Value Factor / Book-to-Market Factor, $HML$）：全名為 High Minus Low，代表高帳面價值市值比（價值股）與低帳面價值市值比（成長股）投資組合之報酬率差異。

（二）納入三因子的理論依據與經濟直覺

• 實證需求（經驗事實）：CAPM 實證解釋力不足，股票橫斷面報酬率呈現小型股長期優於大型股、價值股長期優於成長股的現象。
• 理論基礎（理性定價架構）：基於套利定價理論（APT）或跨期資本資產定價模型（ICAPM）精神，資產定價應由多個經濟狀態變數決定。
• 風險代理意涵：小型公司規模小、對抗經濟衝擊能力弱、資訊不對稱程度高；高 $B/M$ 公司通常是盈利能力低落、財務槓桿偏高或處於衰退期的受困公司（Distressed Firms）。投資人持有此類股票承擔了額外的財務困境與下檔風險，市場因而要求更高的風險溢酬。

（三）多重迴歸 $\alpha$ 統計不顯著的實務意涵推論

• 點估計 vs. 抽樣誤差：$\alpha > 0$ 僅代表歷史樣本期的平均超額報酬算術點估計值大於零，但統計檢定未達顯著水準（$p$-value $> 0.05$），意味著無法排除該數值僅是隨機抽樣誤差所致。
• 經理人實力 vs. 運氣：實務上無法將該正值歸功於基金經理人的主動選股（Security Selection）或擇時操作（Market Timing）能力，極可能僅憑「運氣（Luck）」。
• 扣除成本後的投資決策：在計入主動管理手續費、管理費與周轉交易成本後，此基金無法為投資人提供穩定且具有統計顯著性的真實超額報酬，投資人不如直接配置低成本的被動指數基金或因子 ETF。

選項分析

本題為計算與申論題型，非選擇題。以下剖析各子題作答時之得分關鍵點與常見論述迷思：

1. 子題（一）評分關鍵與迷思：

• 關鍵：必須寫出因子的完整中英文名稱（$SMB$ 為 Small Minus Big、$HML$ 為 High Minus Low），並說明其為「多空投資組合（Long-Short Portfolio）」之利差報酬。
• 迷思：切忌只寫「小型股、價值股」，而未說明是用「小型減大型」、「高帳面比減低帳面比」建構的零投資組合（Zero-cost Portfolio）。

2. 子題（二）評分關鍵與迷思：

• 關鍵：必須清楚闡明「財務困境風險（Financial Distress Risk）」與「系統性風險代理」的概念。
• 迷思：若將兩因子純粹歸咎於「行為財務學的市場過度反應或投資人偏誤」，會違背 Fama 與 French 本文的理性預期與有效市場立場（Fama-French 認為這些是風險溢酬而非市場無效率）。

3. 子題（三）評分關鍵與迷思：

• 關鍵：務必將統計學概念（$p$ 值、型一錯誤、虛無假說）與投資實務（主動管理能力、費用合理性、被動投資替代）連結。
• 迷思：誤以為「$\alpha > 0$ 且不顯著」表示「基金經理人表現優異但有波動」，忽略了統計不顯著在實務上即等同於「無客觀證據證明經理人具備超額獲利能力」。

解題技巧