108 公務人員升官等薦任 機械工程 熱工學 考古題詳解

核心觀念

本題考查電阻式電暖器與熱泵的性能比較，以及熱機可逆循環的最大性能係數（COP）。

電暖器把電功轉換為室內熱量。若輸入電功為 $W_{\mathrm{in}}$，理想情況下可供給室內的熱量為 $Q_H=W_{\mathrm{in}}$，因此電暖器的 COP 為

$$\mathrm{COP}_{\mathrm{電暖器}} =\frac{Q_H}{W_{\mathrm{in}}}=1$$

熱泵則利用輸入功將室外熱量移入室內，故室內取得的熱量包含室外吸收的熱量與輸入功。其 COP 可以大於 1，通常比電阻式電暖器高。因此，大雄建議改用熱泵在熱力學上有道理；但實際耗電與舒適度也會受設備性能、室外環境及房屋條件影響。

解題方法

最大 COP 由可逆卡諾循環決定。將題目給定的室內、室外溫度視為熱泵兩熱源的絕對溫度，則卡諾熱泵的最大 COP 為

$$\mathrm{COP}_{H,\max} =\frac{T_H}{T_H-T_L}$$

其中 $T_H$ 是室內高溫熱源溫度，$T_L$ 是室外低溫熱源溫度。溫差可以用攝氏溫度直接相減，但代入 COP 分子與分母中的絕對溫度必須使用 K。

題目給定室內 $15\,^\circ\mathrm{C}$、室外 $2\,^\circ\mathrm{C}$：

$$T_H=15+273.15=288.15\ \mathrm{K}$$ $$T_L=2+273.15=275.15\ \mathrm{K}$$

因此熱泵最大 COP 為

$$\mathrm{COP}_{H,\max} =\frac{288.15}{288.15-275.15} =\frac{288.15}{13} \approx 22.17$$

電暖器若視為理想電阻式加熱器，輸入的電功全部轉為室內熱量，故其最大 COP 為 $1$。

解題技巧與常見陷阱

核心觀念

本題考查理想氣體逆布雷頓冷凍循環（反向 Brayton cycle），以空氣為工作流體。冷房能力來自低壓側吸熱，亦即空氣在渦輪機出口至壓縮機入口之間的溫升：

$$\dot Q_L=\dot m\,q_L =\dot m\,c_p(T_1-T_4)$$

其中 $T_1=300\,\mathrm{K}$ 為壓縮機入口溫度，$T_4$ 為渦輪機出口溫度。理想循環假設渦輪機內為等熵膨脹，故可用理想氣體等熵關係求得 $T_4$。

解題方法

先由空氣的定比熱資料求比熱比。取空氣氣體常數 $R=0.287\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$：

$$c_v=c_p-R=1.005-0.287=0.718\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$ $$k=\frac{c_p}{c_v} =\frac{1.005}{0.718} \approx1.40$$

渦輪機入口狀態為 $P_3=600\,\mathrm{kPa}$、$T_3=320\,\mathrm{K}$；渦輪機出口壓力等於低壓側壓力 $P_4=100\,\mathrm{kPa}$。等熵膨脹關係為：

$$\frac{T_4}{T_3} =\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^{(k-1)/k}$$

代入數值：

$$T_4=320\left(\frac{100}{600}\right)^{(1.40-1)/1.40} \approx191.8\,\mathrm{K}$$

每公斤空氣在低壓側吸收的冷量為：

$$q_L=c_p(T_1-T_4) =1.005(300-191.8) \approx108.75\,\mathrm{kJ/kg}$$

核心觀念

本題考查穩流裝置的第一定律與第二定律效率。

• 絕熱渦輪機第一定律：忽略動能與位能變化時，單位質量輸出功等於入口與出口焓差： $w_{\mathrm{out}}=h_1-h_2=c_p(T_1-T_2)$
• 第二定律效率：渦輪機的實際輸出功除以同一入口狀態下可逆絕熱膨脹至相同出口壓力所能產生的最大功： $\eta_{\mathrm{II}}=\frac{w_{\mathrm{actual}}}{w_{\mathrm{rev}}}$

題目未提供質量流率，因此輸出功以單位質量輸出功表示，單位為 $\mathrm{kJ/kg}$。

解題方法

（一）渦輪機輸出功

取渦輪機為控制體，採穩流能量方程。題目指出絕熱，並假設動能及位能變化可忽略，因此：

$w_{\mathrm{out}}=c_p(T_1-T_2)$

代入 $c_p=1.016\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$、$T_1=500\,\mathrm{K}$、$T_2=350\,\mathrm{K}$：

$w_{\mathrm{out}}=1.016(500-350)=152.4\,\mathrm{kJ/kg}$

（二）第二定律效率

要計算最大可得功，先求入口狀態以可逆絕熱膨脹至出口壓力 $p_2=120\,\mathrm{kPa}$ 時的出口溫度 $T_{2s}$。空氣視為定比熱理想氣體，且可逆絕熱過程為等熵過程：

$\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{R/c_p}$

因此：

\approx 311.8\,\mathrm{K}$$ 此可逆絕熱膨脹的最大輸出功為： $$w_{\mathrm{rev}}=c_p(T_1-T_{2s}) =1.016(500-311.8) \approx 191.3\,\mathrm{kJ/kg}$$ 故第二定律效率為：

核心觀念

理想布雷頓循環（ideal Brayton cycle）是定壓燃氣動力循環，由兩個等熵程序與兩個定壓程序組成：

• 壓縮機內的等熵壓縮：$1\to2$。
• 高壓側定壓加熱：$2\to3$。
• 渦輪內的等熵膨脹：$3\to4$。
• 低壓側定壓放熱：$4\to1$。

回熱器則利用渦輪排氣的熱量，預熱進入燃燒室（或加熱器）的壓縮空氣，減少外部熱源所需提供的熱量。回熱能否提升效率，關鍵在於渦輪出口溫度 $T_4$ 是否高於壓縮機出口溫度 $T_2$。

（一）理想布雷頓循環的 $T$-$s$ 圖與程序

示意圖如下，縱軸為溫度 $T$，橫軸為熵 $s$：

 T
 ↑
 │ ● 3
 │ ↗ │
 │ ／ │
 │ ● 2 ／ │
 │ ↑ ／ ↓
 │ │ ／ ● 4
 │ │ ／ ／
 │ │ ／ ／
 │ ● 1 ←───────
 └──────────────────────────→ s

圖中 $2\to3$ 與 $4\to1$ 為定壓程序；定壓線在 $T$-$s$ 圖上呈曲線，示意圖未按比例繪製。

$1\to2$：等熵壓縮

空氣在壓縮機中由低壓壓至高壓，理想情況下為絕熱且可逆，因此熵不變：

$s_1=s_2,\qquad P_2>P_1,\qquad T_2>T_1$

在 $T$-$s$ 圖上為垂直向上線段。

$2\to3$：定壓加熱

空氣在高壓下吸收熱量，溫度與熵增加：

$P_2=P_3,\qquad T_3>T_2,\qquad s_3>s_2$

在圖上向右上方延伸。

$3\to4$：等熵膨脹

高溫高壓氣體在渦輪中膨脹作功，理想情況下為絕熱且可逆，熵不變：

$s_3=s_4,\qquad P_3>P_4,\qquad T_3>T_4$

在圖上為垂直向下線段。

$4\to1$：定壓放熱

渦輪排氣在低壓下放熱，溫度與熵下降：

$P_4=P_1,\qquad T_4>T_1,\qquad s_4>s_1$

在圖上向左下方返回狀態 1，完成循環。

（二）以 $T$-$s$ 圖說明回熱如何提升熱效率

回熱的作用與適用條件

回熱器使渦輪排氣 $4$ 與壓縮機出口空氣 $2$ 進行熱交換。熱量由較熱的渦輪排氣傳給較冷的壓縮空氣，將壓縮空氣預熱至回熱器出口狀態 $5$，並使渦輪排氣降至狀態 $6$：

$T_4>T_2,\qquad T_5>T_2,\qquad T_6<T_4$

理想回熱器的最高預熱程度為 $T_5=T_4$；此時排氣最低可冷卻至 $T_6=T_2$。實際回熱器有有限效能，因此一般為 $T_2<T_5<T_4$。

 T
 ↑
 │ ● 3
 │ ↗ │
 │ ● 5 ／ │
 │ ↗ ↑ ↓
 │ ● 2 ────／ │ ● 4
 │ ↑ │ ↙
 │ │ │ ● 6
 │ │ │ ↙
 │ ● 1 ←────────────
 └──────────────────────────────→ s

回熱器內的加熱過程 $2\to5$ 與排氣冷卻過程 $4\to6$ 均為定壓熱交換，且熱量由 $4\to6$ 的氣體傳至 $2\to5$ 的氣體。圖中為示意，未按比例繪製；$4\to6$ 與 $2\to5$ 的熵變大小不必相等。

熱效率說明

以空氣標準分析、定比熱且壓縮機與渦輪功不因回熱改變為假設，未回熱循環的外部加熱量與放熱量為：

$q_{\mathrm{in}}=c_p(T_3-T_2),\qquad q_{\mathrm{out}}=c_p(T_4-T_1)$

故熱效率為：

=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$