110 公務人員升官等薦任 物理 力學 考古題詳解

核心觀念

本題考靜力平衡與庫侖摩擦定律。接觸面即將滑動時，摩擦力達最大靜摩擦力：

楔子 $A$ 向右移動的臨界狀態下，$A$ 與地面 $C$、木料 $B$ 的接觸面都即將滑動，因此兩處摩擦力均取極限值。牆面 $D$ 光滑，只有水平正向力，沒有摩擦力。

斜面的幾何比例為水平 $4$、垂直 $3$，因此形成 $3$-$4$-$5$ 三角形。斜面法線方向的水平、垂直分量比例為 $3/5$、$4/5$；沿斜面方向的分量比例為 $4/5$、$3/5$。

解題方法

（一）自由體圖

以 $N$ 表示 $A$、$B$ 斜面間的正向力，$f$ 表示斜面間的摩擦力；以 $N_C$ 表示地面對楔子的正向力。

楔子 $A$ 受力：

• 外力 $P$：向右。
• 地面正向力 $N_C$：向上。
• 地面摩擦力 $f_C$：向左。
• 木料 $B$ 對楔子的正向力 $N$：垂直斜面向左下，分量為水平向左 $3N/5$、垂直向下 $4N/5$。
• 木料 $B$ 對楔子的摩擦力 $f$：沿斜面向左上，分量為水平向左 $4f/5$、垂直向上 $3f/5$。

木料 $B$ 受力：

• 重量 $900\ \mathrm{N}$：向下。
• 光滑牆面 $D$ 的正向力 $N_D$：向左。
• 楔子 $A$ 對木料的正向力 $N$：垂直斜面向右上，分量為水平向右 $3N/5$、垂直向上 $4N/5$。
• 楔子 $A$ 對木料的摩擦力 $f$：沿斜面向右下，分量為水平向右 $4f/5$、垂直向下 $3f/5$。

斜面摩擦方向依相對滑動趨勢判定：楔子向右時，斜面接觸處楔子相對木料沿斜面向右下滑，因此木料受摩擦力向右下，楔子受摩擦力向左上。

（二）求楔子向右移動的最小力量

在臨界狀態下，斜面摩擦力與地面摩擦力分別為

核心觀念

本題考查平面剛體靜力平衡。桿件 $ABC$ 靜止時，須滿足 $\sum M_A=0$、$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。繩索重量忽略且滑輪 $D$ 無摩擦，因此同一條繩索兩側張力大小相同，皆為 $T$。

解題方法

取桿件 $ABC$ 為受力體，設向右、向上為正。各力如下：

• $B$ 點受垂直向上的張力 $T$，距 $A$ 為 $10\ \mathrm{m}$。
• 斜繩連接處距 $A$ 為 $10+10=20\ \mathrm{m}$。依圖示 $3$－$4$－$5$ 比例，其張力分量為水平向左 $\frac{3}{5}T$、垂直向上 $\frac{4}{5}T$。
• $C$ 點受圓柱體重量 $390\ \mathrm{N}$ 向下，距 $A$ 為 $10+10+4=24\ \mathrm{m}$。
• 銷支撐 $A$ 的反力分量記為 $A_x$、$A_y$。

（一）繩索張力

以 $A$ 點取力矩，可消去支撐反力。斜繩的水平分力沿桿件方向，對 $A$ 的力矩為零；只有垂直分力產生力矩：

核心觀念

這是相同質量球體的一維碰撞題。取向右為正，使用動量守恆與恢復係數：

其中 $u_1,u_2$ 是碰撞前速度，$v_1,v_2$ 是碰撞後速度；球體 $1$ 在左、球體 $2$ 在右。由於四球質量相同且 $e=0.5$，可得：

依圖示球體排列，三次碰撞依序為 $B$ 與 $C$、$C$ 與 $D$、$A$ 與 $B$。

解題方法

第一次：$B$ 碰撞 $C$

碰撞前 $u_B=v,\ u_C=0$，因此：

第二次：$C$ 碰撞 $D$

圖中 $C$、$D$ 相接，$C$ 碰撞後隨即撞上原本靜止的 $D$。此時 $u_C=\frac34v,\ u_D=0$，所以：

核心觀念

這題考平面剛體的牛頓第二定律與轉動方程：

其中 $G$ 為桿件質量中心。均勻細長桿的質量中心在中點，且

取向右為 $x$ 正向、向上為 $y$ 正向，逆時針轉動為正。桿件原本置於地面，但兩端算出的瞬間加速度均向上，因此桿件離開地面，地面不施加支持力；重力仍須列入平動方程。

解題方法

先將 $F_B$ 分解，再分別對質心套用平動方程與轉動方程。

$F_B$ 的分量為

桿件重量為 $mg=20(9.81)=196.2\ \mathrm N$，方向向下。因此質心加速度分量為

故質心加速度為