114 公務人員升官等薦任 物理 力學 考古題詳解

核心觀念

以桌面為慣性參考系，分別對方塊與斜面體列牛頓第二定律。方塊相對斜面只能沿斜面滑動；斜面體則只能作水平運動。取重力加速度大小為 $g$，方向垂直向下。

令斜面角為 $\theta=45^\circ$，方塊沿斜面向右下方的相對加速度為 $\ddot q$，斜面體向右的加速度為 $A$。斜面對方塊的正向力大小記為 $N$。由於斜面向右下傾，正向力方向為右上方。

解題方法

取水平向右為 $x$ 軸正向、鉛直向上為 $y$ 軸正向。方塊相對桌面的加速度為

將方塊的運動方程投影至斜面方向。沿斜面向下為正，重力沿斜面向下的分量為 $mg\sin\theta$，因此

沿斜面法線方向，方塊的加速度分量為 $A\sin\theta$，故

對質量為 $2m$ 的斜面體列水平方向運動方程。方塊施於斜面體的力，其水平分量向左：

將 $A=-N\sin\theta/(2m)$ 代入法線方向方程：

代入 $\theta=45^\circ$：

核心觀念

保守力與位能的關係為

平衡位置由 $F(x_0)=0$ 決定；若該處是穩定平衡，小振動可近似為簡諧運動，其角頻率為

其中要求 $U''(x_0)>0$，等價於 $F'(x_0)<0$。

解題方法與推導

（一）位能函數

由 $F=-dU/dx$，對力函數積分：

因此

其中 $C$ 為任意加法常數。由於 $\ln x$ 的自變數應為無因次量，也可將對數寫作 $\ln(x/x_*)$，其中 $x_*$ 是任意參考長度；改變參考長度只會改變位能的加法常數。

（二）平衡位置與小振動頻率

平衡位置滿足合力為零：

因 $x_0>0$，乘以 $x_0$ 得

判斷穩定性，可對力取導數：

在平衡位置 $x_0^2=c/k$ 處，

核心觀念

本題考查一維中央碰撞的動量守恆與恢復係數。碰撞時間很短，忽略外力衝量，系統總動量守恆；恢復係數則定義為碰撞後的分離相對速度與碰撞前的接近相對速度之比。

先選定汽車原本行進方向為正方向，兩車碰撞前的速度為

恢復係數公式為

解題方法

設碰撞後汽車與卡車的速度分別為 $v_{\text{汽}}$、$v_{\text{卡}}$，正負號分別表示沿汽車原行進方向或其反方向。

1. 動量守恆

整理得

2. 恢復係數關係

碰撞前接近相對速度為

由 $e=\frac14$，碰撞後分離相對速度為

因此

代入式 (1)：

核心觀念

本題考查萬有引力提供圓周運動所需的向心力，以及機械能守恆。令地球質量為 $M_E$，由地球表面重力加速度可得

以下假設衛星位於半徑 $r_s$ 的圓形軌道，忽略空氣阻力及其他天體影響，並以無限遠處的重力位能為零。

解題方法

（一）衛星的圓軌道速度

萬有引力提供向心力：

約去衛星質量 $m$，並代入 $GM_E=gR_E^2$：

（二）衛星在軌道半徑處的逃逸速度

逃逸的臨界狀態是衛星到達無限遠處時速度恰為零。由機械能守恆：

因此

這裡的逃逸速度是衛星在距地心 $r_s$ 處所需的速度。