114 公務人員升官等薦任 物理 熱物理 考古題詳解

核心觀念

本題考察活塞—汽缸系統的作功分類：外力對系統的總作功可分解為組態功與耗散功。題目採「系統對外作功為正」的符號慣例，因此壓縮時，外力對氣體作功為負。

活塞面積為 $A$，氣體體積變化與活塞位移的關係為 $dV=A\,dx$。準靜態移動時，外力需平衡氣體壓力造成的作用力與摩擦力。

解題方法

初始狀態機械平衡且靜止，且題目規定採表壓、外力直接推動活塞，因此初始表壓為零。活塞移動過程中，推桿施力所對應的瞬時表壓為

$$P_{\mathrm{g}}=\frac{F_{\mathrm{推}}-F_{\mathrm{摩擦}}}{A}.$$

計算作功時，推桿對系統作功與氣體的表壓體積功，須再計入摩擦耗散。等價地，外力所作的功可寫成

$$W_{\mathrm{外力}} =\int P_{\mathrm{g}}\,dV +\int F_{\mathrm{摩擦}}\,dx.$$

第一項是組態功；第二項是活塞摩擦所造成的耗散功。兩者皆以「系統對外作功為正」表示，壓縮時均為負。

體積減少量為

$$\Delta V=-0.10V_i.$$

理想氣體在 $300\ \mathrm{K}$ 下準靜態壓縮，故

$$P_{\mathrm{g}}V=nRT.$$

因此組態功為

$$W_{\mathrm{組態}} =\int_{V_i}^{V_f}P_{\mathrm{g}}\,dV =nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) =nRT\ln(0.9).$$

代入 $n=200\ \mathrm{mol}$、$R=8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$、$T=300\ \mathrm{K}$：

$$W_{\mathrm{組態}} =(200)(8.314)(300)\ln(0.9) =-5.26\times 10^4\ \mathrm{J}.$$

活塞位移大小由體積變化求得：

$$|\Delta x|=\frac{|\Delta V|}{A} =\frac{0.10V_i}{0.5}.$$

由初始表壓為零、氣體初始平衡，理想氣體初始狀態滿足 $P_{\mathrm{abs},i}=1\ \mathrm{atm}$。故

核心觀念

本題考查 Clausius–Clapeyron 方程所描述的相平衡曲線斜率：

$$\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H}{T\Delta V}.$$

其中 $\Delta H$ 是相變的莫耳焓變，$\Delta V$ 是相變的莫耳體積變化，$T$ 為絕對溫度。斜率的正負由 $\Delta H/\Delta V$ 決定；若相變時 $\Delta H$、$\Delta V$ 同時趨近零，斜率則須看兩者比值如何變化。

解題方法

逐題分別判斷蒸發時焓差的溫度依賴、體積變化為負時的相線斜率，以及臨界點附近焓差與體積差的極限行為。關鍵是先確認相變方向與符號，再使用方程判讀。

（一）多數物質的蒸發潛熱隨溫度升高而下降

蒸發潛熱是液相轉變為氣相所需的莫耳焓：

$$\Delta H_{\mathrm{vap}}=H_g-H_l.$$

依定壓熱容定義，

$$\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P=C_P,$$

因此沿飽和液、汽平衡線，蒸發焓對溫度的變化率為

$$\frac{d\Delta H_{\mathrm{vap}}}{dT} =C_{P,g}-C_{P,l}.$$

多數物質在一般液汽共存區中，飽和蒸氣的熱容小於液體的熱容，故

$$C_{P,g}-C_{P,l}<0,$$

蒸發潛熱便隨溫度上升而下降。

微觀上，溫度升高時，液體分子熱運動增強，所需克服的分子間吸引作用相對減少；同時液相與氣相的性質逐漸接近，因此汽化所需的能量差縮小。這是多數物質的典型趨勢，熱容差關係也說明了其適用範圍。

（二）$\Delta V<0$ 的相變：冰的壓融

考慮冰融化為液態水：

$$\Delta H_{\mathrm{fus}}=H_{\mathrm{water}}-H_{\mathrm{ice}}>0, \qquad \Delta V_{\mathrm{fus}}=V_{\mathrm{water}}-V_{\mathrm{ice}}<0.$$

冰的密度小於液態水，因此在相同質量下，融化後體積縮小。代入 Clausius–Clapeyron 方程：

$$\frac{dP}{dT} =\frac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{T\Delta V_{\mathrm{fus}}}<0.$$

等價地，

核心觀念

系統是 $8\ \mathrm{kg}$ 的冰與水；熱儲維持在 $25^\circ\mathrm{C}$。定壓下，冰先升溫至融點，再融化，最後液態水升溫至熱儲溫度。

熵是狀態函數，因此系統熵變可沿一條方便計算的可逆路徑求得。定壓升溫及等溫相變分別使用：

$$\Delta S_{\text{升溫}}=m c_p\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right), \qquad \Delta S_{\text{相變}}=\frac{mL}{T_{\text{相變}}}.$$

所有溫度代入熵公式時都必須使用絕對溫標。熱儲溫度固定，熵變則為：

$$\Delta S_{\text{熱儲}}=-\frac{Q_{\text{熱儲放出}}}{T_{\text{熱儲}}}.$$

解題方法與計算

在一大氣壓下，冰的融點取 $0^\circ\mathrm{C}=273.15\ \mathrm{K}$，熱儲溫度為 $25^\circ\mathrm{C}=298.15\ \mathrm{K}$。系統經歷三個階段：

1. 冰由 $-15^\circ\mathrm{C}$ 升溫至 $0^\circ\mathrm{C}$。
2. 冰在 $0^\circ\mathrm{C}$ 融化成水。
3. 水由 $0^\circ\mathrm{C}$ 升溫至 $25^\circ\mathrm{C}$。

（一）系統的熵變化

三階段的熵變相加：

$$\begin{aligned} \Delta S_{\text{系統}} ={}&mc_{\text{冰}}\ln\left(\frac{273.15}{258.15}\right) +\frac{mL_f}{273.15}\\ &+mc_{\text{水}}\ln\left(\frac{298.15}{273.15}\right). \end{aligned}$$

代入 $m=8\ \mathrm{kg}$、$c_{\text{冰}}=2090\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$、$c_{\text{水}}=4180\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$、$L_f=3.35\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$：

核心觀念

本題考熱效率的定義、穩態能量平衡，以及冷卻水吸收熱量的顯熱關係。反應器提供的熱功率為熱輸入，機組淨輸出為有用功；兩者差額由冷凝器排出。冷卻水吸收的熱量可用比熱公式估算。

解題方法

（一）熱效率 $\eta_{\mathrm{th}}$

熱效率定義為淨輸出功率與熱輸入功率之比：

$$\eta_{\mathrm{th}} =\frac{\dot{W}}{\dot{Q}_R} =\frac{700\ \mathrm{MW}}{2000\ \mathrm{MW}} =0.35$$

因此熱效率為 $35\%$。

（二）冷凝器排熱率 $\dot{Q}_{\mathrm{out}}$

以機組為控制體，採穩態能量平衡，忽略動能、位能變化及其他熱損失：

$$\dot{Q}_R=\dot{W}+\dot{Q}_{\mathrm{out}}$$

移項得：

$$\dot{Q}_{\mathrm{out}} =\dot{Q}_R-\dot{W} =2000-700 =1300\ \mathrm{MW}$$

（三）最低冷卻水質量流率 $\dot{m}_w$

假設冷凝器排出的熱量全部由冷卻水吸收，且水的比熱在此溫度範圍內可視為定值。冷卻水吸熱率為：

$$\dot{Q}_{\mathrm{out}} =\dot{m}_w c_p \Delta T$$