112 公務人員升官等薦任 物理 熱物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查理想氣體的定容比熱、定壓比熱，以及可逆絕熱過程中的溫度與壓力關係。採用熱力學第一定律

$$dQ=dU+P\,dV$$

與理想氣體狀態方程式 $PV=nRT$。題目給定

$$U=\frac{f}{2}nRT,$$

因此內能只依賴溫度。

（一）定容比熱與內能的體積偏導數

定容時 $dV=0$，第一定律化為

$$dQ=dU.$$

由內能表示式微分：

$$dU=\frac{f}{2}nR\,dT.$$

所以

$$c_V=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_V =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V =\frac{f}{2}nR,$$

因而

$$\boxed{\frac{c_V}{n}=\frac{fR}{2}}.$$

又因為 $U=\frac{f}{2}nRT$ 不含 $V$，固定 $T$ 改變 $V$ 不會改變 $U$，故

$$\boxed{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0}.$$

（二）定壓比熱與定容比熱之差

每莫耳的定壓比熱為

$$\frac{c_P}{n} =\frac{1}{n}\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P.$$

在定壓過程中，由第一定律

$$dQ=dU+P\,dV.$$

理想氣體內能僅依賴溫度，因此 $dU=c_V\,dT$。定壓下對狀態方程式微分：

$$P\,dV=nR\,dT.$$

代入得

$$dQ=c_V\,dT+nR\,dT.$$

因此

$$c_P=c_V+nR, \qquad \boxed{c_P-c_V=nR}.$$

若使用每莫耳比熱表示，則

$$\boxed{\frac{c_P}{n}-\frac{c_V}{n}=R}.$$

（三）可逆絕熱過程的溫度與壓力關係

可逆絕熱過程滿足 $dQ=0$。由第一定律：

$$0=dU+P\,dV=c_V\,dT+P\,dV.$$

利用 $PV=nRT$，在微分形式下有

$$P\,dV+V\,dP=nR\,dT.$$

由 $c_P=c_V+nR$，可得

$$c_V\,dT=nR\,dT-c_P\,dT.$$

代入絕熱關係：

$$0=(nR-c_P)dT+P\,dV.$$

核心觀念

本題考查可逆熱機循環的熱效率。熱機從高溫熱源吸收熱量 $Q_H$，對外作功，並向低溫熱源排出熱量 $Q_L$。熱效率定義為

$$e_c=\frac{W_{\text{net}}}{Q_H} =\frac{Q_H-Q_L}{Q_H} =1-\frac{Q_L}{Q_H},$$

其中 $Q_H>0$ 表示熱機吸收的熱量，$Q_L>0$ 表示排出的熱量大小。

可逆過程滿足 $dQ_{\mathrm{rev}}=T\,dS$。本循環的兩段絕熱過程皆有 $dQ=0$，因此熵不變；兩段等溫過程則分別在 $T_H$ 與 $T_L$ 下交換熱量。

解題方法

沿循環逐段計算熱量。令各狀態的熵為 $S_a,S_b,S_c,S_d$。

在 $a\to b$ 的等溫膨脹過程中，溫度固定為 $T_H$，故吸收熱量

$$Q_H=\int_a^b dQ_{\mathrm{rev}} =\int_{S_a}^{S_b}T_H\,dS =T_H(S_b-S_a).$$

在 $b\to c$ 的可逆絕熱膨脹過程中，$dQ=0$，由 $dQ_{\mathrm{rev}}=T\,dS$ 得 $dS=0$，因此

$$S_c=S_b.$$

在 $c\to d$ 的等溫壓縮過程中，熱量流出熱機。以排熱量的正值 $Q_L$ 表示其大小：

核心觀念

濕空氣由水氣與乾空氣組成，兩者占有相同的體積與溫度。依道耳頓分壓定律，總壓為各成分分壓之和：

$$p=p_d+e。$$

濕空氣密度是兩種成分密度之和：

$$\rho=\rho_d+\rho_v。$$

虛溫 $T_v$ 的定義，是使濕空氣能以乾空氣氣體常數 $R_d$ 寫成 $p=\rho R_dT_v$ 的等效溫度。

解題方法

由水氣與乾空氣各自的狀態方程式，分別表示兩種成分的密度：

$$\rho_v=\frac{e}{R_vT},\qquad \rho_d=\frac{p_d}{R_dT}=\frac{p-e}{R_dT}。$$

因此濕空氣密度為