112 年公務人員升官等薦任物理考古題與詳解

Question 1

已知 $F(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{(f(x))^4}}$，而 $f(x)$ 是可微分的函數，$f(2)=32$，$f'(2)=20$。 試求 $F'(2)$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複合函數的鏈鎖律，以及冪次函數的微分。先將根式改寫為分數次方，再對 $f(x)$ 微分。 解題方法 由題意， $$ F(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{(f(x))^4}}=(f(x))^{-\frac45}. $$ 利用鏈鎖律： $$ F'(x)=-\frac45(f(x))^{-\frac95}f'(x). $$ 代入 $f(2)=32$、$f'(2)=20$： $$ F'(2)=-\frac45(32)^{-\frac95}(20). $$

Question 2

試求 $$ \lim{x	o 3}\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}。 $$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查以共軛式有理化處理 $0/0$ 型極限，也可視為函數在某點的導數形式。直接代入 $x=3$，分子與分母皆為 $0$，因此須先化簡。 解題方法 將分子乘以其共軛式：

Question 3

試求在曲線 $$ y^2+2xy=x^3+x+1 $$ 通過點 $(1,1)$ 的切線方程式。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查隱函數的切線斜率。曲線以 $x,y$ 的方程式隱含表示，對 $x$ 作隱微分，求出 $\dfrac{dy}{dx}$，再代入指定點 $(1,1)$，即可得到該點切線的斜率。 解題方法 將方程式兩側對 $x$ 微分，並將 $y$ 視為 $x$ 的函數。由乘法法則與鏈鎖律， $$ \frac{d}{dx}(y^2)+\frac{d}{dx}(2xy) =\frac{d}{dx}(x^3+x+1), $$ 因此 $$ 2y\frac{dy}{dx} +2\left(y+x\frac{dy}{dx}\right) =3x^2+1. $$ 整理含 $\dfrac{dy}{dx}$ 的項： $$ (2y+2x)\frac{dy}{dx}=3x^2+1-2y, $$ 故 $$ \frac{dy}{dx} =\frac{3x^2+1-2y}{2y+2x}. $$

Question 4

已知函數 $$ f(x)=\sqrt{64-x^3}，\quad 0\leq x\leq 4。 $$ 試求此函數 $f(x)$ 的反函數及其相對應的定義域和值域。

Accepted Answer

核心觀念 反函數存在的條件之一，是原函數在指定定義域上必須為一對一。求反函數時，先確認單調性，再由 $y=f(x)$ 解出 $x$，最後交換 $x$、$y$，並將原函數的值域作為反函數的定義域。 解題方法 給定 $$ f(x)=\sqrt{64-x^3},\qquad 0\leq x\leq 4。 $$ 在 $0\leq x\leq4$ 上，$x^3$ 隨 $x$ 遞增，因此 $64-x^3$ 遞減；平方根函數在非負數範圍內遞增，所以 $f(x)$ 在此區間嚴格遞減，故反函數存在。 由端點求出 $f$ 的值域： $$ f(0)=8,\qquad f(4)=0。 $$ 由於 $f$ 連續且遞減，原函數的值域為 $[0,8]$。 令 $$ y=\sqrt{64-x^3}。 $$ 兩邊平方並解出 $x$：

Question 5

試求函數 $$ f(x)=(x-6)(x+2)^3 $$ 的所有相對極值及反曲點。

Accepted Answer

核心觀念 相對極值可由一階導數判別：若 $f'(x)$ 在臨界點兩側由正變負，則為相對極大；由負變正，則為相對極小。反曲點則是曲線凹向改變的點，可利用二階導數的符號變化判定。二階導數為零只是反曲點的候選條件，仍須檢查凹向是否改變。 解題方法 先求一階導數，找出臨界點，再用導數符號變化判斷相對極值： $$ f(x)=(x-6)(x+2)^3 $$ 利用乘法微分法則， $$ \begin{aligned} f'(x) &=(x+2)^3+3(x-6)(x+2)^2\ &=(x+2)^2\bigl[(x+2)+3(x-6)\bigr]\ &=4(x+2)^2(x-4). \end{aligned} $$ 臨界點為 $x=-2$、$x=4$。由於 $(x+2)^2\ge 0$，$f'(x)$ 的正負主要由 $x-4$ 決定；在 $x=-2$ 左右，$f'(x)$ 都為負，因此該點不是相對極值。在 $x=4$ 左側 $f'(x)<0$、右側 $f'(x)0$，故 $x=4$ 為相對極小點。其函數值為 $$ f(4)=(4-6)(4+2)^3=-2\cdot216=-432. $$ 因此，相對極小點為 $(4,-432)$，沒有相對極大點。

Question 6

試求積分 $$ \int\frac{x^5}{\sqrt{1-2x^3}}\,dx。 $$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查變數代換與反三角函數積分公式。根號內是 $1-2x^3$，其微分含 $x^2$；令 $u=x^3$ 可將被積分式化為含 $u^{2/3}$ 的積分，再以 $t=\sqrt{1-2u}$ 代換，轉成多項式積分。 解題方法 令 $u=x^3$，則 $du=3x^2\,dx$，且 $x^5\,dx=x^3x^2\,dx=\frac{u}{3}\,du$。因此 $$ \int\frac{x^5}{\sqrt{1-2x^3}}\,dx =\frac13\int\frac{u}{\sqrt{1-2u}}\,du. $$ 再令 $t=\sqrt{1-2u}$，則 $u=\frac{1-t^2}{2}$、$du=-t\,dt$。代入可得

Question 7

試求積分 $$ \int0^1\int0^\infty \frac{x^{(\alpha+\beta-1)}e^{-x}y^{\alpha+1}(1-y)^{\beta-1}} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \,dx\,dy， $$ 在此 $\alpha0$，$\beta0$，$0<x<\infty$，$0<y<1$。

Accepted Answer

核心觀念 本題使用 Gamma 函數與 Beta 函數的標準積分公式： $$ \int0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx=\Gamma(s),\qquad s0, $$ $$ \int0^1 y^{p-1}(1-y)^{q-1}\,dy =B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\qquad p,q0. $$ 被積函數可分成只含 $x$ 的因子與只含 $y$ 的因子，因此可將二重積分拆成兩個一維積分。 解題方法 原式為 $$ I=\int0^1\int0^\infty \frac{x^{\alpha+\beta-1}e^{-x}y^{\alpha+1}(1-y)^{\beta-1}} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \,dx\,dy. $$ 由於 $x$ 與 $y$ 的部分可分離，且 $\alpha,\beta0$，兩部分積分皆收斂，故 $$ I= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \left(\int0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-x}\,dx\right) \left(\int0^1 y^{\alpha+1}(1-y)^{\beta-1}\,dy\right). $$ 先計算 $x$ 積分。與 Gamma 函數公式比較，取 $s=\alpha+\beta$： $$ \int0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-x}\,dx =\Gamma(\alpha+\beta). $$

112 公務人員升官等薦任物理微積分考古題詳解

第一題10 分

第二題15 分

第三題15 分

第四題15 分

第五題15 分

第六題15 分

核心觀念

解題方法

第七題15 分

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