110 公務人員升官等薦任 物理 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考驗根式極限的有理化，以及無窮遠處的最高次項比較。當兩個都趨近無窮大的式子相減時，直接代入會得到不定形 $\infty-\infty$，可乘以共軛式，將差化為較容易處理的分式。

解題方法

原式為

乘上共軛式 $\sqrt{x^2+2x+3}+x$，得

核心觀念

本題考查微分求極值，以及區分「局部極值」與「全域最大值、最小值」。若函數在定義域內某點的導數為零，該點是極值候選點；再由導數正負變化判斷極大或極小。全域最大值、最小值則須與整個定義域上的函數值比較。

解題方法

題目給定

令 $u=3x-5$、$v=(3-2x)^{-1/2}$，則

因此

在定義域 $x<\frac32$ 內，分母 $(3-2x)^{3/2}>0$，所以 $f'(x)$ 的正負由 $4-3x$ 決定。令 $f'(x)=0$，得唯一臨界點

此點確實位於定義域內。當 $x<\frac43$ 時，$f'(x)>0$；

核心觀念

本題考查變動積分上下限的微分，使用微積分基本定理與鏈鎖律。若 $G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,$ 則 $G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)a'(x).$ 上下限都是 $x$ 的函數時，須同時考慮兩端的變化率。

解題方法

令 $f(t)=\sqrt{1-t^2}$，積分上下限分別為 $-x$ 與 $x$。對 $F(x)$ 使用變動上下限公式：

核心觀念

本題考查分部積分法，搭配冪函數的積分公式。當被積函數是「多項式乘上對數函數」時，通常令對數函數為 $u$，多項式部分為 $dv$，使微分後的對數項消失。

解題方法

使用分部積分公式

令

則

因此

核心觀念

本題考二重積分的積分區域與積分次序交換。被積函數為 $ye^{x^3}$，區域由 $0\le y\le1$、$y\le x\le1$ 描述。改寫區域後，可先對 $y$ 積分，消去多餘變數。

解題方法

原積分區域為

其中 $y\le x$，且 $x$ 從 $y$ 到 $1$；改以 $x$ 為外層變數時，$x$ 的範圍是 $0\le x\le1$，固定 $x$ 後，$y$ 從 $0$ 到 $x$。因此

先對 $y$ 積分：

核心觀念

本題考二重積分的變數變換。選取新變數時，應讓積分區域的邊界化為常數，並計算雅可比行列式：

解題方法

區域條件含有 $x^2y$ 與 $y/x$，令

由 $1\leq u\leq 2$ 且 $1\leq v\leq 3$，可知 $x,y$ 同號。再由 $x^2y=u>0$，得 $y>0$，因此 $x>0$。反解為

計算雅可比行列式：

因 $xy=u^{2/3}v^{1/3}$，所以

核心觀念

本題考查線積分的參數化計算，以及辨認向量場是否為保守場。積分形式為

其中 $P=3x^2y^2$、$Q=2x^3y$、$R=2z$。由於

並且 $P,Q$ 不含 $z$、$R$ 不含 $x,y$，此向量場是保守場。可找位勢函數後代入端點求值。

解題方法

設位勢函數為 $F(x,y,z)$，使得

由 $\dfrac{\partial F}{\partial x}=3x^2y^2$，對 $x$ 積分得