110 公務人員升官等薦任 物理 熱物理 考古題詳解

核心觀念

本題考查大氣水氣含量的常用表示法。各種表示法的差異，在於比較的基準不同：有的以濕空氣總質量為基準，有的以乾空氣質量為基準，有的以體積或水氣分壓為基準。作答時應寫出物理量的定義與單位，並清楚區分分母所指的量。

以下列出五種常用表示法。

解題方法

1. 絕對濕度（absolute humidity）

單位體積濕空氣中所含水氣的質量：

其中 $m_v$ 為水氣質量，$V$ 為濕空氣體積。常用單位為 $\mathrm{kg/m^3}$，也可用 $\mathrm{g/m^3}$。

2. 混合比（mixing ratio）

水氣質量與乾空氣質量之比：

其中 $m_d$ 為乾空氣質量。此量為無因次，常表示為 $\mathrm{kg/kg}$ 或 $\mathrm{g/kg}$（每公斤乾空氣所含水氣克數）。

3. 比濕（specific humidity）

水氣質量占濕空氣總質量的比例：

分母包含水氣與乾空氣。此量為無因次，常用 $\mathrm{kg/kg}$ 或 $\mathrm{g/kg}$ 表示。

4. 水氣莫耳分率（mole fraction）

水氣莫耳數占濕空氣總莫耳數的比例：

核心觀念

本題考查大氣中水氣的基本定義、飽和水氣壓與溫度的關係，以及水氣對天氣與氣候的影響。

空氣中的水氣可用水氣分壓 $e$ 表示。於一定溫度下，若水面與水氣達到液氣相平衡，水氣所具有的平衡分壓稱為飽和水氣壓 $e_s(T)$。它是溫度的函數：溫度愈高，水分子愈容易逸出液面，故 $e_s$ 愈大。

空氣中實際含有的水氣量若達到該溫度的飽和值，即 $e=e_s(T)$，稱空氣為飽和。題目所稱「飽和水氣」可理解為空氣在該溫度下所能容納的飽和水氣量；它不是固定不變的水氣含量，而會隨溫度改變。

相對濕度定義為：

因此，$RH=100\%$ 表示飽和；$RH<100\%$ 表示未飽和。水氣的密度亦可由理想氣體關係表示：

其中 $R_v$ 為水氣的比氣體常數，$T$ 為絕對溫度。

解題方法與大氣重要性

作答時，先區分「實際水氣量」與「該溫度下的飽和上限」，再說明兩者的比較方式，以及其氣象作用。

飽和水氣壓及飽和水氣量在大氣中重要，原因包括：

1. 判斷濕度與水氣狀態：比較實際水氣分壓 $e$ 與飽和水氣壓 $e_s$，可判斷空氣距離飽和的程度。
2. 控制凝結與雲霧形成：空氣冷卻時，$e_s$ 隨溫度下降；當實際水氣量達到飽和，水氣便可凝結成雲滴、霧滴或露水。凝結常需凝結核協助。
3. 影響降水與天氣：水氣凝結形成雲和降水，也會在蒸發與凝結過程中吸收或釋放潛熱，影響大氣穩定度、對流與風暴發展。
4. 調節地表能量與氣候：水氣能吸收地表放出的長波輻射，是重要的溫室氣體；蒸發也會將能量以潛熱形式帶入大氣。

（一）飽和水氣與飽和水氣壓的定義及重要性

飽和水氣是指在一定溫度下，與液態水或冰達相平衡時，空氣中的水氣含量達到飽和的狀態；其對應的水氣分壓即為飽和水氣壓 $e_s(T)$。當實際水氣分壓等於飽和水氣壓時，空氣達飽和；若實際分壓較低，空氣尚未飽和。

飽和水氣壓會隨溫度上升而增加，且增加幅度並非線性。常用克勞修斯－克拉佩龍關係描述其溫度依賴性：

其中 $L_v$ 為汽化潛熱。此式說明溫度上升時，飽和水氣壓上升；因此暖空氣在未凝結前可容納較多水氣。

（二）影響大氣中的水氣量和飽和水氣的因素

可分成「影響實際水氣量」與「影響飽和水氣量」兩類作答。

影響大氣實際水氣量的因素：

核心觀念

本題考熱力學第一定律與內能的狀態函數性質。對理想氣體，內能只由溫度決定，因此：

同一氣體的莫耳數與 $C_V$ 相同時，內能變化的大小只需比較初、末態的溫度差；中間經過什麼熱力路徑不會改變 $\Delta U$。

解題方法

圖中的五條路徑以同一狀態為起點。沿各路徑箭頭比較末態所在的等溫線：圖示等溫線溫度由高至低為 $T_3>T_2>T_1$。

核心觀念

本題考能量均分定律：每個二次型自由度平均分得 $\frac{1}{2}k_BT$ 的能量；以每莫耳表示，每個自由度的內能貢獻為 $\frac{1}{2}RT$。若分子共有 $f$ 個平移與轉動自由度，則

解題方法

先數平移與轉動自由度，再相加得到 $f$，代入比熱公式：

• 單原子 He：三個平移自由度，沒有轉動自由度，故 $f=3$。
• 雙原子 $N_2$：三個平移自由度；線性分子有兩個有效轉動自由度，故 $f=3+2=5$。
• 多原子 $CH_4$：三個平移自由度；甲烷為非線性分子，有三個轉動自由度，故 $f=3+3=6$。

題目表格列出平移與轉動自由度，因此依此計算；振動自由度不列入本表。

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