114 公務人員升官等薦任 物理 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題考查泰勒展開（亦可視為麥克勞林展開）與高階導數的關係。若函數在 $x=0$ 附近可展開為

則 $x^n$ 的係數乘上 $n!$，就是 $f^{(n)}(0)$。

解題方法

利用指數函數的冪級數：

令 $u=x^2$，得到

核心觀念

這題考極座標下的封閉曲線面積。使用轉換 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，以及極座標面積公式

解題方法

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，則 $x^2+y^2=r^2$、$xy=r^2\cos\theta\sin\theta$。原式化為

因此曲線除原點外滿足

曲線存在的角度須使 $r^2\ge 0$，即 $\sin2\theta\le \frac12$。一個完整週期可取

核心觀念

線積分可透過曲線的參數式，化為單變數定積分。若曲線以

參數化，則

其中 $dx=x'(t)\,dt$、$dy=y'(t)\,dt$，參數增加的方向須與題目指定的曲線方向一致。

解題方法

題目給定曲線軌跡 $(t,t^2)$，且由 $(0,0)$ 走到 $(1,1)$，因此取

所以

將參數式代入線積分：

核心觀念

二變數函數 $f$ 在 $(0,0)$ 連續的定義是

題目已定義 $f(0,0)=0$，因此只要檢查極限是否存在且等於 $0$。若沿著不同路徑趨近原點得到不同結果，即可判定極限不存在，函數不連續。

解題方法

取直線路徑 $y=mx$，其中 $m$ 為常數。當 $x\ne 0$ 時，

此值與 $x$ 無關，因此沿著 $y=mx$ 趨近 $(0,0)$ 時，

核心觀念

本題考微分的隱函數微分與切線方程式。若曲線以 $F(x,y)=0$ 表示，且在點 $(x_0,y_0)$ 附近可視為 $y$ 對 $x$ 的函數，則切線斜率為該點的導數 $y'(x_0)$。求得斜率 $m$ 後，使用點斜式：

解題方法

將曲線方程式

兩側對 $x$ 微分。因為 $y$ 隨 $x$ 改變，對 $xy^3$ 使用乘法法則，並對 $y^3$ 使用鏈鎖法則：

整理得

核心觀念

本題考查複合函數的偏微分與反三角函數的導數。若 $z=\sin^{-1}u$，則 $\sin z=u$，且在反正弦函數的主值範圍內 $\cos z\ge 0$，因此

令 $u=\tan(xy)$，再以鏈鎖律分別對 $x$、$y$ 求偏導。

解題方法

由 $z=\sin^{-1}(\tan(xy))$，可寫成

對 $x$ 偏微分，將 $y$ 視為常數：

故

對 $y$ 偏微分，將 $x$ 視為常數：

因此

核心觀念

題目要求繪製曲面 $z=|x|+|y|$。利用絕對值的分段定義，依照 $x,y$ 的正負將平面分成四個區域，再分別寫出曲面方程式。各區域都是平面，因此整體圖形由四片平面拼接而成。

解題方法

由

可得

因此，圖形分別是四個平面在各自區域上的部分。又因 $|x|+|y|\ge 0$，整個曲面都在 $xy$ 平面上方或與其相交；