108 公務人員升官等薦任 物理 力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查保守力的位能函數，以及機械能守恆。若一維保守力為 $F(y)$，位能 $U(y)$ 滿足

忽略摩擦與其他阻力時，物體的總機械能 $E=K+U$ 守恆，其中 $K=\frac12 mv^2$。

解題方法

（一）位能函數

由 $F=-cy^3$ 與 $F=-dU/dy$，可得

對 $y$ 積分：

其中 $C$ 是任意加法常數。若取 $U(0)=0$，則

（二）物體到達 $y=0$ 時的速度

物體自 $y=-a$ 靜止出發，初始動能為零，初始位能為

到達 $y=0$ 時，$U(0)=0$。由機械能守恆：

因此速率為

物體由 $y=-a$ 朝 $y=0$ 運動，通過原點時速度方向為 $+y$ 方向，所以

核心觀念

彈性碰撞的定義是：碰撞前後總動量守恆，且總動能守恆。若系統不受外力作用，動量守恆適用於彈性與非彈性碰撞；只有彈性碰撞還保有總動能。

完全非彈性碰撞則是兩物體碰撞後黏在一起，以共同速度運動。這種碰撞仍守恆總動量，但總動能通常不守恆；動能損耗就是碰撞前後總動能的差。

（一）彈性碰撞的守恆量

在兩點質量組成的系統不受外力作用時：

• 總動量守恆：$\vec p_{\text{前}}=\vec p_{\text{後}}$。
• 總動能守恆：$K_{\text{前}}=K_{\text{後}}$。

若碰撞發生在一維，總動量守恆可寫為 $m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}$；總動能守恆可寫為 $\frac12m_1v_{1i}^2+\frac12m_2v_{2i}^2=\frac12m_1v_{1f}^2+\frac12m_2v_{2f}^2$。

（二）完全非彈性碰撞的動能損耗

設質量 $m$ 的物體以速度 $u$ 運動，質量 $M$ 的物體初始靜止；碰撞後兩者黏合，以共同速度 $v_f$ 運動。

解題方法：先用動量守恆求共同速度，再計算碰撞前後的動能差。

核心觀念

三顆等質量星星彼此的萬有引力提供向心力。由於星星間距相等，三顆星星位於以系統質心為圓心的等邊三角形頂點；質心至各星星的距離為 $r$。

等邊三角形的邊長 $s$ 與外接圓半徑的關係為

解題方法

任取一顆星星，其餘兩顆星星各對它施以大小相同的萬有引力：

這兩個力的夾角為 $60^\circ$，合力沿著指向系統質心的方向。沿徑向合成，向心力大小為

令此合力等於圓周運動所需的向心力：

核心觀念

本題考查浮力、牛頓第二運動定律與簡諧運動。立方塊完全浸沒且上下移動時，排開液體的體積維持 $Ah$，所以浮力大小不變；但物塊移動會改變其與液面的相對位置，需以物塊的垂直位移及液面變化計算浮力的恢復力。若液面視為固定，浮力不隨物塊位移改變，便不會得到本題所要求的簡諧運動。

因此，題目若要成立，須採用通常的題意假設：液體容器截面有限，且物塊上下移動時液面會隨排液體積改變。設容器水平截面積為 $S$，最後結果會包含 $S$；題目未提供 $S$，故無法由已知資料得到唯一週期。以下先列一般推導，再給出常見的 $S\gg A$ 近似結果。

解題方法與推導

令物塊向下位移 $x$ 為正，液面相對平衡位置向下位移為 $y$。液體體積守恆：物塊下移 $x$，多排開的液體體積為 $Ax$，使液面上升 $y$，故

物塊相對液面的浸沒深度增加量為 $x+y$，因此浮力的增加量為

平衡位置原有浮力與重力互相抵銷。物塊下移後，新增浮力向上，故以向下為正的合力為

物塊質量為 $m=\rho_B Ah$。由牛頓第二運動定律，

整理得