108 公務人員升官等薦任 物理 地球物理學 考古題詳解

核心觀念

1. 地震體波（Body Waves）的物理本質與彈性力學定義

• $P$ 波（Primary Wave，初波／縱波／壓縮波）：質點振動方向與波的前進方向平行。介質產生體積的壓縮與膨脹形變（Dilatational strain）。其傳播速度公式為： $v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}$ 其中 $K$ 為體積模數（Bulk Modulus），$\mu$ 為剪切模數（Shear Modulus，剛性模數），$\lambda$ 為拉梅第一參數（Lamé's first parameter），$\rho$ 為介質密度。因固體、液體、氣體均具備抗體積變形能力（$K > 0$），故 $P$ 波可在固、液、氣三態介質中傳播。
• $S$ 波（Secondary Wave，次波／橫波／剪切波）：質點振動方向與波的前進方向垂直。介質產生形狀的剪切形變（Shear strain）。其傳播速度公式為： $v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$ 由於流體（液體、氣體）不具備抗剪能力（$\mu = 0$），故 $S$ 波僅能在固體中傳播，無法通過外地核或大氣。在均質等向岩石介質中，$v_P \approx \sqrt{3}v_S \approx 1.732 v_S$（波松固體假設 $\lambda = \mu$），故 $P$ 波速度恆大於 $S$ 波，最先抵達測站。

2. 地震定位的基本幾何與運動學原理

• 地震發生的未知數共有 4 個：震源空間三維坐標 $(X, Y, Z)$ 及發震時刻（Origin Time）$t_0$。
• 震源（Hypocenter） 為破裂起始的三維空間位置 $(X, Y, Z)$，$Z$ 即為震源深度（Focal Depth）。
• 震央（Epicenter） 為震源垂直投影至地表的二維坐標 $(X, Y)$。
• 利用波速差與到時差可求得測站與震源間的空間距離（震源距 $R_i$），並藉由多測站的幾何交會（球交法）或數值反演（蓋格法）解出震央與深度。

解題方法

一、$P$ 波與 $S$ 波之定義與物理特性比較

二、利用地震波到時測定「震央位置」與「震源深度」

測定方法可分為古典幾何交會法（球交法）以及現代數位觀測網廣泛採用的數值反演法（蓋格法）：

1. 幾何交會法（球交法，Spherical Intersection Method）

(1) 計算震源距（Hypocentral Distance） 設測站 $i$ 記錄到之 $P$ 波初達到時為 $t_{Pi}$，$S$ 波初達到時為 $t_{Si}$，發震時刻為 $t_0$。在均質地殼假設下（$v_P$ 與 $v_S$ 為常數），走時關係為： $t_{Pi} - t_0 = \frac{R_i}{v_P}, \quad t_{Si} - t_0 = \frac{R_i}{v_S}$

兩者相減消去未知數 $t_0$，得 $P-S$ 到時差（$\Delta t_i = t_{Si} - t_{Pi}$）： $\Delta t_i = R_i \left( \frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P} \right) = R_i \left( \frac{v_P - v_S}{v_P v_S} \right)$

由此推得測站至震源的三維直線距離（大森公式形式）： $R_i = k \cdot (t_{Si} - t_{Pi}), \quad \text{其中 } k = \frac{v_P v_S}{v_P - v_S} \text{（大森常數，Omori constant）}$

(2) 空間球面交會定位 設第 $i$ 個測站的地表空間坐標為 $(x_i, y_i, 0)$，震源坐標為 $(X, Y, Z)$。以每個測站為球心、震源距 $R_i$ 為半徑建立球面方程式： $(X - x_i)^2 + (Y - y_i)^2 + (Z - 0)^2 = R_i^2$

• 確定震源與震源深度：理論上取 3 個測站可得 3 個球面，三球交會於地下空間一點（排除地表上方對稱的不合理幾何解），該交點之三維坐標即為震源 $(X, Y, Z)$，$Z$ 即為震源深度。若發震時刻 $t_0$ 亦為未知，則需至少 4 個測站聯合求解。
• 確定震央位置：將求得之震源空間坐標 $(X, Y, Z)$ 垂直投影至地表面（$Z = 0$ 平面），點 $(X, Y)$ 即為震央位置。

2. 數值反演法（蓋格法，Geiger's Method，實務標準解法）

實務上地層為速度隨深度變化的層狀介質（非均質），非線性走時方程難以直接以解析幾何作圖，需透過線性化最小平方法迭代求解：

核心觀念

本題考地球內部的震波速度分層，以及地震波穿越不同物質界面時速度為何會突然改變。震波速度主要受物質密度與彈性性質控制：

其中 $K$ 為體積模數、$\mu$ 為剪切模數、$\rho$ 為密度。地球內部的成分、礦物相態或固液狀態改變時，這些物性會突變，形成震波速度不連續面。

解題方法與箭頭判讀

依圖中深度位置，以及 $P$ 波、$S$ 波速度曲線的增減判讀：

核心觀念

本題評量重力勘探學（Gravity Prospecting）與地球動力學（Geodynamics）的核心理論，涵蓋三大物理知識體系：

1. 重力異常定義與校正公式：

• 自由空間校正（Free-Air Correction, FAC）：僅考慮測點海拔高程 $h$（公尺）與地心距離的幾何衰減，不考慮測點與大地水準面（Geoid）間介質質量的引力效應： $\Delta g_{FA} = -\frac{\partial g}{\partial r}h \approx +0.3086 \cdot h \quad (\text{mGal})$ 由此定義自由重力異常（Free-Air Anomaly, FAA）： $\Delta g_F = g_{obs} - g(\phi) + \Delta g_{FA}$ 式中 $g_{obs}$ 為實測重力值，$g(\phi)$ 為測點緯度 $\phi$ 之正常重力值（理論重力值）。
• 布蓋校正（Bouguer Correction, BC）：扣除測點與大地水準面之間厚度為 $h$、平均密度為 $\rho$ 之無限延伸水平板塊引力： $\Delta g_{BP} = 2\pi G \rho h \approx 0.04193 \cdot \rho \cdot h \quad (\text{mGal})$ 配合修正周圍地形起伏起因之正值地形校正（Terrain Correction, $\Delta g_T$），定義布蓋重力異常（Bouguer Anomaly, BA）： $\Delta g_B = g_{obs} - g(\phi) + \Delta g_{FA} - \Delta g_{BP} + \Delta g_T = \Delta g_F - \Delta g_{BP} + \Delta g_T$ 一般陸地地殼岩石標準密度取 $\rho = 2.67\ \text{g/cm}^3$。

2. 異常物理本質與地體構造關聯：

• 自由重力異常高度受「地表地形起伏」直接影響。
• 布蓋重力異常已濾除地表地形質量，其數值直接反映「地表以下之密度橫向不均勻性」與「莫霍面（Moho）深度／地殼厚度變化」。

3. 地殼均衡理論（Isostasy）之重力表徵：

• 依據艾瑞（Airy）與普瑞特（Pratt）均衡學說，若造山帶完全達到靜態浮力均衡（Isostatic Equilibrium），地表高聳質量會由深部低密度山根（Crustal Root）完全抵消。
• 完全均衡特徵：大範圍波長之自由重力異常應收斂趨近於 $0\ \text{mGal}$，而布蓋重力異常極負值中心應與地形最高峰嚴格鏡像對稱。

解題方法

本題為具層次性的問答分析題，解題切入點分為三個邏輯步驟：

1. 精準寫出定義與物理意涵：先列出自由重力異常與布蓋重力異常的校正項目及公式，明確區分兩者所消除的物理效應與留下的地質資訊。
2. 結合臺灣板塊構造剖析空間分布：依據臺灣實測重力資料（如中央研究院地球科學研究所發表之全臺重力網成果），分別指出本島正負值極值落點，並從「地形效應」、「沈積盆地厚度」、「深部山根補償」與「板塊岩性（大陸 vs. 海洋地殼）」四個層面解釋成因。
3. 對比均衡模型做判斷：將臺灣實測重力特徵（高山 FAA 數值大小、BA 極小值與高程軸線之偏移距）對照地殼均衡理論，評估臺灣目前屬於完全均衡、過補償、或構造動態非均衡狀態。

選項分析（子題逐項深入剖析）

第一問：何謂自由重力異常與布蓋重力異常？

• 自由重力異常（Free-Air Gravity Anomaly）： 觀測重力值經緯度正常重力校正（緯度效應）與自由空間校正（高程幾何衰減效應）後，與理論重力值之差值。該物理量未扣除大地水準面以上的地表岩體質量，因此數值強烈正相關於地表地形的高低起伏。
• 布蓋重力異常（Bouguer Gravity Anomaly）： 在自由重力異常的基礎上，進一步扣除大地水準面以上的岩石板塊引力（布蓋平板校正），並補回四周山脊高出與谷地空缺之地形引力效應（地形校正）。布蓋異常完全去除了地表可見可測的地形質量引力，殘留的異常值純粹反映地底下的橫向質量分布（如沈積層基盤、岩漿房、地殼山根厚度與莫霍面起伏）。

第二問：臺灣本島自由與布蓋重力異常的正負分布地區及成因

• 自由重力異常之分布與成因：

1. 偏正區域：主要分布於中央山脈、雪山山脈及玉山山脈等高山脊樑帶，極值可高達 $+200 \sim +300\ \text{mGal}$ 以上。

• 成因：自由空間校正只做測點高程抬升的距離平方反比補償，並未扣除高聳山脈底下蘊含的龐大岩石質量，高山質量額外產生向下的強烈引力，故異常呈現強烈正值。

2. 偏負區域：主要分布於西部平原（嘉南平原）、屏東平原及沿海低窪地區，數值在 $-20 \sim 0\ \text{mGal}$ 左右。

• 成因：地表標高接近海平面，地形增益效應小；且西部前陸沉積盆地堆積了厚層未固結之鬆散沈積物，整體密度低於地殼平均岩石密度（$2.67\ \text{g/cm}^3$），造成微幅負異常。

核心觀念

1. 傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）： 在地球淺層（岩石圈），熱能傳遞以熱傳導（thermal conduction）為主。一維穩態垂直熱傳導通量 $q$（即地表熱流值）遵循傅立葉定律： $q = -k \frac{dT}{dz}$ 式中：

• $q$ 為熱流密度（heat flow density / heat flux），公制單位為 $\mathrm{mW/m^2}$（或傳統地熱單位 $\mathrm{HFU}$，1\text{ HFU} = 41.84\text{ mW/m^2}）。
• $k$ 為岩石或沉積物的熱傳導率（thermal conductivity），單位為 $\mathrm{W/(m\cdot K)}$。
• $\frac{dT}{dz}$ 為垂直地溫梯度（geothermal gradient），以垂直向下為 $z$ 軸正方向，單位為 $\mathrm{K/km}$ 或 $^{\circ}\mathrm{C/km}$。若熱流以向上流出地表為正，則常取其純量大小表示為 $q = k \left(\frac{dT}{dz}\right)$。

2. 地球內部熱能收支（Thermal Budget of Earth）： 全球總地熱釋出功率約為 $44\sim 47\text{ TW}$。其來源主要包含兩大部分：

• 放射性衰變熱（Radiogenic Heat）：長半衰期放射性元素核衰變釋放的能量。
• 地球原始熱／殘餘熱（Primordial Heat / Residual Heat）：地球吸積形成、早期核幔分異及內核結晶所殘留至今緩慢散失的熱能。

解題方法

一、地表熱流值的測量方法

測量地表熱流值的核心在於獨立決定兩個物理量：垂直地溫梯度（$\frac{dT}{dz}$） 與 介質熱傳導率（$k$），兩者相乘即可求得 $q$。由於陸地與海洋的介質特性與環境擾動差異極大，量測技術分為「陸地測量」與「海洋測量」兩大體系：

1. 陸地熱流測量（Continental Heat Flow Measurement）

• 測量地溫梯度（$\frac{dT}{dz}$）：
• 利用既有的探勘井、水井或專用鑽孔（boreholes），在鑽井工程結束並經過足夠時間恢復地溫熱平衡後進行。
• 將高精度熱敏電阻探棒（thermistor probe）下放至井孔內，依特定深度間隔逐點量測溫度 $T(z)$。
• 關鍵考量：必須忽略淺層受大氣季節性溫差、地下水滲流擾動的深度（通常為地表下 $10\sim 20\text{ m}$ 以內），選取地下水封閉良好且熱傳導穩定的深部線性井段，以最小二乘法線性回歸求得地溫梯度 $\frac{dT}{dz}$。
• 測量熱傳導率（$k$）：
• 實驗室量測：從井孔中取得岩心樣品（core samples）或岩屑，在實驗室利用「分段棒法（divided-bar method）」或「光學掃描儀」在飽水狀態下測量岩石樣品的熱傳導率 $k$。
• 環境校正：
• 陸地熱流須進行地形效應（topographic correction，如山谷山脊造成的等溫面彎曲）、古氣候變遷效應（如冰期－間冰期地表冷卻殘留）、以及沉積／剝蝕速率校正。

2. 海洋熱流測量（Oceanic Heat Flow Measurement）

• 測量地溫梯度（$\frac{dT}{dz}$）：
• 海底底層水溫極度穩定，且海底被未固結的軟沉積物覆蓋，無需耗時鑽井。
• 採用熱流探棒（heat flow probe，如 Ewing 探棒或 Bullard 探棒），探棒外壁等距安裝數個高精度熱敏電阻，藉由配重重力直接垂直刺入海底沉積層數公尺（約 $2\sim 5\text{ m}$）。
• 探棒靜置數分鐘待刺入時產生的摩擦熱消散後，記錄各深度熱敏電阻之溫度差，計算沉積層的地溫梯度 $\frac{dT}{dz}$。
• 測量熱傳導率（$k$）：
• 原位脈衝加熱法（In-situ pulse-heating method）：探棒內部設有已校準的加熱絲，在原位釋放已知能量的熱脈衝，記錄探棒壁的溫度衰減／升溫曲線，由熱擴散理論直接反演海底沉積物的原位熱傳導率 $k$。
• 岩心採樣測量：同步以重力岩心管（gravity corer）採集沉積物岩心，於船上實驗室使用細針探針法（needle-probe method）測量熱傳導率。
• 環境校正：
• 海洋熱流需針對底層海水長期溫度漂移、局部海底沉積作用速率，以及海底地形引發的熱流聚集或發散進行校正。

二、地球內部釋放熱流的兩大主要來源

地球內部熱釋放主要源自以下兩個相互平行的機制：

1. 放射性衰變熱（Radiogenic Heat）

• 機制說明：地函與地殼中的不穩定放射性同位素在自然衰變鏈中釋放 $\alpha$、$\beta$ 粒子與 $\gamma$ 射線，這些高能粒子被周圍岩石介質吸收後轉化為熱能。

核心觀念

本題評量地球物理學中「古地磁學」（Paleomagnetism）的基礎物理機制及其在板塊構造學說上的關鍵應用。核心概念與定律包含：

1. 天然殘留磁化（Natural Remanent Magnetization, NRM）：火成岩冷卻穿過居里溫度（Curie Temperature, $T_c$）時獲得之「熱殘磁」（TRM），或沉積物沉降排列受地磁場導向形成的「沉積殘磁」（DRM），能忠實「凍結」岩石形成時當地的地磁場方向（磁偏角 $D$、磁傾角 $I$）與強度。
2. 地心同軸偶極假說（Geocentric Axial Dipole, GAD Hypothesis）：在地質時間尺度（通常取數萬至數十萬年的時間平均），地球磁場可簡化為位於地心的磁偶極子，其磁軸與地球地理自轉軸重合。
3. 偶極磁場傾角公式（Dipole Formula）： $\tan I = 2\tan\lambda$ 其中 $I$ 為磁傾角（磁伏角），$\lambda$ 為採樣點當時的古緯度（Paleolatitude）。
4. 古地磁極（Paleomagnetic Pole / Virtual Geomagnetic Pole, VGP）：利用採樣點座標、磁偏角與磁傾角，藉由球面三角學推算的古地磁極位置。
5. 視極移路徑（Apparent Polar Wander Path, APWP）：同一大陸不同年代岩石所記錄之地磁極位置軌跡。

解題方法

本題答題切入點分為三大邏輯進階步驟：從微觀岩石磁性萃取、推算宏觀地磁極位置，到跨大陸比對驗證大陸漂移。

步驟一：測量岩石磁性強度與方向（萃取特徵殘磁）

1. 野外定向採樣：於未受強烈構造擾動的岩層中，鑽取已知現今空間位態（走向、傾角）的岩心標本。
2. 室內消磁分析：利用超導磁力儀（SQUID）或旋轉磁力儀測量總殘磁向量。經逐步熱消磁（Thermal Demagnetization）或交流消磁（Alternating Field Demagnetization），去除後期的次生黏滯殘磁（VRM），分離出岩石形成時的原生特徵殘留磁化（Characteristic Remanent Magnetization, ChRM）。
3. 獲得古地磁方向參數：

• 磁偏角（Declination, $D$）：磁場水平分量與地理正北的夾角，代表古地磁極所在的方位角。
• 磁傾角（Inclination, $I$）：磁場向量與水平面的夾角，反映採樣點的緯度效應。

步驟二：推測地磁極的空間位置（計算古地磁極）

在「地心同軸偶極（GAD）假說」成立的前提下：

1. 求算古緯度與古極距： 由偶極公式 $\tan I = 2\tan\lambda$ 求得古緯度 $\lambda$。古極距（Paleocolatitude, $p$ 即採樣點至古磁極的大圓角距離）為： $p = 90^\circ - \lambda = \cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\tan I\right)$ 或等價表述為 $\tan p = 2\cot I$。
2. 推導古地磁極經緯度： 設採樣點地理座標為緯度 $\lambda_s$、經度 $\phi_s$，沿方位角 $D$ 延伸角距離 $p$，利用球面三角公式可精確解出古地磁極之緯度 $\lambda_p$ 與經度 $\phi_p$： $\sin\lambda_p = \sin\lambda_s \cos p + \cos\lambda_s \sin p \cos D$ $\phi_p = \phi_s + \beta \quad (\text{其中 } \sin\beta = \frac{\sin p \sin D}{\cos\lambda_p})$ 若 $\cos p \ge \sin\lambda_s \sin\lambda_p$，則 $\phi_p = \phi_s + \beta$；反之則取 $\phi_p = \phi_s + 180^\circ - \beta$。

步驟三：由視極移路徑提供大陸漂移的鐵證

1. 視極移曲線（APWP）的建立： 對同一大陸上不同地質年代（如寒武紀至第四紀）的岩層進行上述測算，將各時代推算出的古地磁極依時間順序相連，繪出「視極移路徑」。

核心觀念

本題為典型名詞解釋題型，評量考生在「重力學」、「地磁學」與「地震學」三大地球物理核心領域之基本物理定義與地學意涵：

1. 大地水準面（Geoid）：地球重力場之等位面（equipotential surface），與參考橢球體及高程系統之幾何與物理關係。
2. 居禮溫度（Curie point / Curie temperature）：鐵磁性物質轉變為順磁性之相變溫度，以及其在古地磁學、熱殘餘磁化（TRM）與居禮深度之應用。
3. 震矩規模（Moment magnitude, $M_w$）：以斷層剪切破裂力學量（地震矩 $M_0$）為基礎之規模度量，解決傳統震波規模之「飽和（saturation）」問題。
4. 表面波頻散（Surface wave dispersion）：層狀非均質介質中，表面波傳播速度隨頻率（或週期）改變之波動特性，以及其反演地殼上部地函 S 波速度構造之應用。
5. 彈性回跳說（Elastic rebound theory）：構造應力累積、岩石彈性應變至剪切斷裂釋放應變能之地震發生物理週期機制。

解題方法

針對每小題 4 分之配分標準，答題架構應包含**「嚴格物理／數學定義」、「核心控制參數或公式」與「地球物理意涵／觀測應用」**三要素，分項作答以求精確完整：

• 幾何與重力學：明確區分「大地水準面」與「參考橢球體」之差異，寫出高程轉換關係式 $h = H + N$。
• 地磁學：闡述磁疇排列之熱力學破壞，列舉關鍵礦物（如磁鐵礦）數據與居禮深度意涵。
• 地震力學：列出地震矩 $M_0$ 物理定義式及 $M_w$ 之換算公式，說明物理尺度的不飽和性。
• 地震波傳播學：說明波長與穿透深度正相關特性，以及相速度、群速度與地層 S 波波速構造之關係。
• 震源地質學：循「構造應力施加 $\to$ 彈性應變累積 $\to$ 超過岩石抗剪強度斷裂 $\to$ 彈性回跳釋放能量」之因果歷程作答。

名詞意涵詳解

（一）大地水準面（geoid）

1. 物理定義：大地水準面是地球重力場的一個特定重力等位面（equipotential surface of gravity field）。此面在海洋區域與未受潮汐、風浪及洋流干擾之全球**平均海水面（mean sea level, MSL）**重合，並虛擬延伸穿過大陸陸地內部。
2. 重力特性：在該表面上，重力位（重力吸引位與離心力位之和）為一常數；地表任意點的鉛垂線（plumb line，即重力加速度向量方向）恆與大地水準面垂直。
3. 測量與幾何意義：

• 大地水準面是測量學上**正高（orthometric height, $H$）**的起算基準面（即一般所稱的海拔高程）。
• 受地球內部密度橫向非均質分佈影響，大地水準面起伏不平；其相對於幾何參考橢球體（reference ellipsoid）的高度差稱為大地水準面高（geoid height）或大地水準面起伏（undulation, $N$）。
• 三者關係滿足幾何公式：$h = H + N$（其中 $h$ 為 GPS 所測得之橢球高／幾何高）。

（二）居禮溫度（Curie point）

1. 物理定義：居禮溫度（又稱居禮點，符號為 $T_c$）是指強磁性（ferromagnetic）或亞鐵磁性（ferrimagnetic）物質轉變為順磁性（paramagnetic）物質的臨界相變溫度。
2. 物理機制：在此溫度以下，物質內部量子力學交換作用使磁疇（magnetic domains）自發平行排列而具備宏觀自發磁化強度；當溫度上升超過 $T_c$ 時，熱擾動能量超越內部交換能，磁疇結構瓦解，宏觀自發磁化現象消失，轉呈弱順磁性。
3. 地球物理意涵：

• 古地磁記錄：地殼岩石中主要磁性礦物冷卻穿過居禮溫度時（如磁鐵礦 Magnetite 之 $T_c \approx 580^\circ\text{C}$；赤鐵礦 Hematite 之 $T_c \approx 675^\circ\text{C}$），會將當時地磁場方向與強度永久「凍結」於岩石中，形成熱殘餘磁化（Thermal Remanent Magnetization, TRM），為海底擴張磁條帶與板塊運動重建之物理基石。
• 居禮深度（Curie depth）：隨地溫梯度增加，地層溫度達到磁性礦物居禮溫度的深度即為居禮深度。在此深度以下，地函物質失去永久磁性與顯著感應磁化強度，因此地球表面觀測到的地磁異常（magnetic anomalies）僅來自居禮深度以上之剛性地殼岩石。

（三）震矩規模（moment magnitude）

1. 物理定義：由漢克斯（T. C. Hanks）與金森博雄（H. Kanamori）於 1979 年提出，是目前國際地震學界評定中大型地震強度最通用的規模標準，以斷層錯動之**地震矩（seismic moment, $M_0$）**直接計算，具備嚴格的物理基礎。
2. 數學公式：

• 地震矩定義：$M_0 = \mu A \bar{D}$其中 $\mu$ 為斷層帶周圍岩石之剪切模數（rigidity / shear modulus，通常地殼約為 $3\times 10^{10}\text{ N/m}^2$），$A$ 為斷層破裂面之總面積，$\bar{D}$ 為斷層面兩側之平均滑移量（dislocation）。
• 震矩規模計算式（若 $M_0$ 單位採用公制之 $\text{N}\cdot\text{m}$）：$M_w = \frac{2}{3}\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) = \frac{2}{3}\log_{10} M_0 - 6.07$（若 $M_0$ 單位為 CGS 制之 $\text{dyne}\cdot\text{cm}$，公式則表示為 $M_w = \frac{2}{3}\log_{10} M_0 - 10.7$）。

3. 地球物理意涵：