108 公務人員升官等薦任 物理 微積分 考古題詳解

核心觀念

本題評量無窮遠處的不定型極限計算，核心觀念包含：

1. 不定型極限判別：當 $x \to \infty$ 時，分子與分母均趨近於無窮大，屬於 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定型。
2. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：若 $\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}$ 呈現 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定型，且 $f'(x), g'(x)$ 存在與 $g'(x) \neq 0$，則：

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

3. 微分基本公式：

• 冪函數微分：$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$
• 指數函數微分：$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$（其中底數 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）

---

解題方法

本題分子為 5 次多項式函數，分母為底數大於 1 的指數函數，當 $x \to \infty$ 時呈現 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定型，標準解法為連續施以羅必達法則消去分子的多項式次數。

計算步驟：

1. 第一次使用羅必達法則（型態為 $\frac{\infty}{\infty}$）：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^5}{5^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(x^5)}{\frac{d}{dx}(5^x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{5x^4}{5^x \ln 5}$$

2. 第二次使用羅必達法則（仍為 $\frac{\infty}{\infty}$）：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{5x^4}{5^x \ln 5} = \lim_{x\to\infty}\frac{20x^3}{5^x (\ln 5)^2}$$

3. 連續微分至分子變為常數： 分子每次微分次數降 1 次，第 5 次微分後成為常數階乘 $5! = 120$；分母每次微分均產生一項 $\ln 5$，故連續施以 5 次羅必達法則後得：

核心觀念

1. 極值定理（Extreme Value Theorem）： 若函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則 $f(x)$ 在該區間上必存在絕對最大值（Absolute Maximum）與絕對最小值（Absolute Minimum）。
2. 閉區間求極值法（Closed Interval Method）： 在閉區間 $[a, b]$ 上的連續函數，其絕對極值僅可能出現在以下兩類點：

• 區間內部的臨界點（Critical Points）：即滿足 $f'(x) = 0$ 或 $f'(x)$ 不存在之處。
• 區間的邊界端點（Endpoints）：即 $x = a$ 與 $x = b$。

3. 多項式求導法則： 多項式函數在實數線上處處連續且處處可微，故臨界點僅需解一階導數為零之方程式 $f'(x) = 0$。

---

解題方法

• 步驟一：求一階導數以找出所有臨界點 對 $f(x)$ 進行微分： $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^3 + 3x^2 - 12x - 2\right) = 6x^2 + 6x - 12$ 提公因數並因式分解： $f'(x) = 6(x^2 + x - 2) = 6(x + 2)(x - 1)$ 令 $f'(x) = 0$，解得臨界點候選值為： $x = 1 \quad \text{或} \quad x = -2$

• 步驟二：篩選落於指定區間 $[0, 10]$ 內的內部臨界點

• $x = 1 \in (0, 10)$，為區間內部之有效臨界點。

• $x = -2 \notin [0, 10]$，落在討論區間之外，不予列入考慮。

• 步驟三：計算候選點與端點之函數值 將內部臨界點 $x = 1$ 以及區間兩端點 $x = 0, 10$ 分別代回原函數 $f(x)$：

1. 內部臨界點： $f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 2 = 2 + 3 - 12 - 2 = -9$
2. 左端點： $f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) - 2 = -2$
3. 右端點：

核心觀念

本題主要測驗微積分中不定積分的基本性質與**分部積分法（Integration by Parts）**的熟練度，涉及以下核心觀念與公式：

1. 不定積分的線性性質（Linearity of Integration）：

$$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$

2. 分部積分法公式：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

（選取 $u$ 與 $dv$ 的優先順序通常遵循「LIATE 原則」：對數 Logarithmic、反三角 Inverse trigonometric、代數 Algebraic、三角 Trigonometric、指數 Exponential）。 3. 循環型分部積分： 指數函數與三角函數相乘之不定積分（$\int e^{ax}\sin bx\,dx$），通常需實施兩次分部積分使原積分形式重現，再藉由代數移項求解。

---

解題方法

由積分的線性性質，可將原式拆解為兩個獨立的積分分別求解：

$$I = \int\left(xe^x+e^x\sin x\right)\,dx = \underbrace{\int xe^x\,dx}_{I_1} + \underbrace{\int e^x\sin x\,dx}_{I_2}$$

步驟一：計算第一部分 $I_1 = \int xe^x\,dx$

利用分部積分法：

• 令 $u = x \implies du = dx$
• 令 $dv = e^x\,dx \implies v = e^x$

代入分部積分公式：

$$I_1 = \int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C_1 = (x - 1)e^x + C_1$$

步驟二：計算第二部分 $I_2 = \int e^x\sin x\,dx$

此為標準的循環型分部積分：

1. 第一次分部積分：

• 令 $u = \sin x \implies du = \cos x\,dx$
• 令 $dv = e^x\,dx \implies v = e^x$

$$I_2 = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

2. 對 $\int e^x\cos x\,dx$ 進行第二次分部積分：

• 令 $u = \cos x \implies du = -\sin x\,dx$
• 令 $dv = e^x\,dx \implies v = e^x$

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x - \int e^x(-\sin x)\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx$$

3. 代回原式移項： 將上述結果代回 $I_2$：

$$I_2 = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + I_2\right) = e^x(\sin x - \cos x) - I_2$$

兩邊同加 $I_2$ 並整理：

核心觀念

本題評量多變數微積分中多變數函數之偏導數、**合成函數的連鎖律（Chain Rule）以及乘積法則（Product Rule）**之運算能力：

1. 偏導函數定義：

• 對 $x$ 偏微（$\frac{\partial f}{\partial x}$）時，將 $y$ 視為常數，僅對變數 $x$ 進行微分。
• 對 $y$ 偏微（$\frac{\partial f}{\partial y}$）時，將 $x$ 視為常數，僅對變數 $y$ 進行微分。

2. 合成函數連鎖律： 若令 $u = u(x, y)$，且 $f = g(u) = u + e^u$，則其一階偏導數為：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{dg}{du} \frac{\partial u}{\partial x} = (1 + e^u)\frac{\partial u}{\partial x}$$

3. 二階偏導數之連鎖律與乘積法則： 對一階偏導函數再次對 $x$ 微分，依乘積法則與連鎖律：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (1 + e^u)\frac{\partial u}{\partial x} \right] = \frac{\partial (1 + e^u)}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x} + (1 + e^u) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = e^u \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + (1 + e^u) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

---

解題方法

令中間變數：

$$u(x, y) = 5 + xy^2 + yx^2$$

則原函數可簡記為：

$$f(x, y) = u + e^u$$

步驟一：求 $\frac{\partial f}{\partial x}$

先計算 $u(x, y)$ 對 $x$ 的一階偏導數（此時 $y$ 視為常數）：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(5 + xy^2 + yx^2\right) = 0 + y^2 + 2xy = 2xy + y^2$$

由連鎖律：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial x} = (1 + e^u)\frac{\partial u}{\partial x}$$

代回 $u(x, y)$，得：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = (2xy + y^2)\left(1 + e^{5+xy^2+yx^2}\right)$$

---

步驟二：求 $\frac{\partial f}{\partial y}$

計算 $u(x, y)$ 對 $y$ 的一階偏導數（此時 $x$ 視為常數）：

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(5 + xy^2 + yx^2\right) = 0 + 2xy + x^2 = x^2 + 2xy$$

由連鎖律：

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial y} = (1 + e^u)\frac{\partial u}{\partial y}$$

代回 $u(x, y)$，得：

$$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^2 + 2xy)\left(1 + e^{5+xy^2+yx^2}\right)$$

---

步驟三：求 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

核心觀念

本題評量多變數微積分中「等值曲面的切平面方程式（Tangent Plane to a Level Surface）」與「梯度向量（Gradient Vector）」的應用。

1. 等值曲面的法向量： 設曲面由隱函數方程式 $F(x, y, z) = c$ 所給定，若 $F$ 在點 $P(x_0, y_0, z_0)$ 處連續且可微，則 $F$ 在該點的梯度向量 $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ 必垂直於通過該點的等值曲面，即為該曲面在點 $P$ 的法向量 $\mathbf{n}$：

$$\mathbf{n} = \nabla F(x_0, y_0, z_0) = \left( \frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0), \, \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0), \, \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) \right)$$

2. 切平面方程式（點法式）： 若切平面的法向量為 $\mathbf{n} = (A, B, C)$ 且通過切點 $P(x_0, y_0, z_0)$，則其切平面方程式為：

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

---

解題方法

步驟一：定義隱函數並確認點 $P$ 在曲面上 令

$$F(x, y, z) = 4x^2 + 3y^2 + z^2$$

將給定點 $P(1, 2, 2)$ 代入驗證：

$$F(1, 2, 2) = 4(1)^2 + 3(2)^2 + (2)^2 = 4(1) + 3(4) + 4 = 4 + 12 + 4 = 20$$

點 $P(1, 2, 2)$ 確實位於曲面 $F(x, y, z) = 20$ 上。

步驟二：計算各偏導函數以求取梯度向量 對 $x, y, z$ 分別進行偏微分：

$$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4x^2 + 3y^2 + z^2) = 8x$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^2 + 3y^2 + z^2) = 6y$$ $$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(4x^2 + 3y^2 + z^2) = 2z$$

因此，曲面上任意點的梯度向量為：

核心觀念

本題考查多變數微積分中的「二重積分極坐標變換」與「單變數分部積分法」，具體核心觀念如下：

1. 二重積分的極坐標變換（Polar Coordinates Transformation）： 當積分區域呈現圓形、同心圓環或扇形，且被積函數包含 $x^2+y^2$ 或其根式時，極坐標變換為最標準且高效率的解題路徑。

• 變換關係：$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$，因此 $x^2+y^2 = r^2$ 且 $\sqrt{x^2+y^2} = r$（其中 $r \geq 0$）。
• 面積元素（Area Element）：由雅可比行列式（Jacobian determinant）可得： $dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta$

2. 可分離變數型重積分： 當二重積分的積分上下限皆為常數，且被積函數可拆解為 $f(x, y) = g(r)h(\theta)$ 時，二重積分可直接拆為兩個獨立單變數定積分的乘積： $\iint_D g(r)h(\theta)\,r\,dr\,d\theta = \left(\int_{\theta_1}^{\theta_2} h(\theta)\,d\theta\right) \left(\int_{r_1}^{r_2} r g(r)\,dr\right)$
3. 分部積分法（Integration by Parts）： 針對代數多項式與三角函數乘積 $\int r\sin r\,dr$ 的標準不定積分技巧： $\int u\,dv = uv - \int v\,du$

---

解題方法

步驟一：確定積分區域與極坐標範圍

題目給定積分區域為： $D = \left\{(x,y)\mid \pi \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq 2\pi\right\}$ 此區域為原點中心、內徑為 $\pi$、外徑為 $2\pi$ 的完整圓環。對應的極坐標變數範圍為：

• 半徑範圍：$\pi \leq r \leq 2\pi$
• 角度範圍：$0 \leq \theta \leq 2\pi$

步驟二：改寫為極坐標累次積分

將被積函數與面積元素代入極坐標形式：

• 被積函數：$\sin\sqrt{x^2+y^2} = \sin r$
• 面積元素：$dA = r\,dr\,d\theta$

原積分式化為： $\iint_D \sin\sqrt{x^2+y^2}\,dA = \int_0^{2\pi} \int_\pi^{2\pi} r\sin r\,dr\,d\theta$

因變數完全分離，拆解為兩單變數定積分相乘：

核心觀念

本題的核心為**多元微積分中的條件極值（Constrained Extrema）**問題，主要運用以下定義與定理：

1. 極值定理（Extreme Value Theorem）： 約束集合 $G=\left\{(x,y,z)\mid 2x^2+y^2+3z^2=1\right\}$ 在三維歐氏空間 $\mathbb{R}^3$ 中為一封閉且有界的橢球面（緊緻集，Compact Set）。目標函數 $f(x,y,z)=y^2-x^2$ 為多項式函數，在 $\mathbb{R}^3$ 上處處連續，因此由極值定理保證，$f$ 在 $G$ 上必定存在絕對最大值與絕對最小值。
2. 拉格朗日乘數法（Method of Lagrange Multipliers）： 設目標函數為 $f(x,y,z)$，平滑約束條件為 $g(x,y,z)=2x^2+y^2+3z^2-1=0$。若 $\nabla g(x,y,z) \neq \mathbf{0}$，則極值點必定滿足梯度共線條件：

$$\nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z)$$

其中 $\lambda$ 為拉格朗日乘數。

---

解題方法

採用國家考試標準的拉格朗日乘數法求解，步驟如下：

步驟一：列出約束條件與梯度向量

令約束函數為：

$$g(x,y,z) = 2x^2 + y^2 + 3z^2 - 1 = 0$$

分別計算目標函數 $f$ 與約束函數 $g$ 的梯度：

$$\nabla f(x,y,z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (-2x, 2y, 0)$$ $$\nabla g(x,y,z) = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right) = (4x, 2y, 6z)$$

在橢球面 $G$ 上，只有當 $x=y=z=0$ 時 $\nabla g = \mathbf{0}$，但原點不在 $G$ 上，故在 $G$ 上 $\nabla g \neq \mathbf{0}$ 恆成立。

步驟二：建立聯立方程式

由 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 及約束條件，可得方程式系統：

1. $-2x = 4\lambda x \iff 2x(1 + 2\lambda) = 0$
2. $2y = 2\lambda y \iff 2y(1 - \lambda) = 0$
3. $0 = 6\lambda z \iff \lambda z = 0$
4. $2x^2 + y^2 + 3z^2 = 1$

步驟三：分類討論求解臨界點

由第 (3) 式 $\lambda z = 0$，分為兩種情況討論：

• 情況一：$\lambda = 0$
• 代入第 (1) 式：$2x(1 + 0) = 0 \implies x = 0$。
• 代入第 (2) 式：$2y(1 - 0) = 0 \implies y = 0$。
• 將 $x = 0, y = 0$ 代入第 (4) 式：

$$3z^2 = 1 \implies z = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

• 此時得到候選點 $\left(0, 0, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$，其函數值為：

$$f\left(0, 0, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0^2 - 0^2 = 0$$

• 情況二：$z = 0$ 若 $z = 0$，則由第 (1) 式與第 (2) 式分別可得：
• 由第 (1) 式：$x = 0$ 或 $\lambda = -\frac{1}{2}$
• 由第 (2) 式：$y = 0$ 或 $\lambda = 1$

進一步配對討論：

1. 若 $x = 0$ 且 $y = 0$：代入約束條件得 $0 = 1$（矛盾，無解）。
2. 若 $x = 0$ 且 $\lambda = 1$： 此時 $y$ 可不為 $0$。將 $x = 0, z = 0$ 代入第 (4) 式：

$$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$$

得到候選點 $(0, \pm 1, 0)$，其函數值為：