108 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

108 年・專利師・高等考試・專利師(選試專業英文及工程力學)
試題代碼 工程力學

第 一 題20 分

如圖所示之均勻桿件於底部 OO 點銷接可轉動，並裝設一彈簧常數為 KK 之扭轉彈簧支撐。桿件質量為 mm、長度為 ll，並與垂直方向重力（重力加速度為 gg）之夾角座標為 θ\theta，θ=0∘\theta=0^\circ 時彈簧沒有扭轉力矩。

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試求 θ=0∘\theta=0^\circ 為其靜平衡位置且為穩定平衡（stable equilibrium）時，桿件長度之限制。

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核心觀念

本題考察以位能判斷平衡穩定性。平衡位置需使總位能的一階導數為零；穩定平衡則要求該位置是位能的局部極小值。

桿件均勻，質心距銷接點 OO 為 l/2l/2。由於 θ=0\theta=0 時桿件直立向上，重力位能在此附近會隨偏轉而降低，因此重力對直立平衡具有不穩定作用；扭轉彈簧則提供恢復作用。

解題方法

取 θ=0\theta=0 時的桿件質心高度為 l/2l/2，總位能可寫成

U(θ)=12Kθ2+mgl2cos⁡θ.U(\theta)=\frac{1}{2}K\theta^2+\frac{mgl}{2}\cos\theta.

其中第一項是扭轉彈簧位能，第二項是重力位能。對 θ\theta 微分：

dUdθ=Kθ−mgl2sin⁡θ.\frac{dU}{d\theta}=K\theta-\frac{mgl}{2}\sin\theta.

代入 θ=0\theta=0，得 dUdθ=0\frac{dU}{d\theta}=0，故此位置確為平衡位置。再求二階導數：

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第 二 題20 分

如圖中有一質點質量為 0.75 kg0.75\ \mathrm{kg}，在圖中水平面上之圓形溝槽藉由搖桿移動（即重力垂直於圖面）。圓形溝槽之半徑為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}。

當逆時針旋轉 θ=30∘\theta=30^\circ 之瞬間，搖桿之角速度為 2 rad/s2\ \mathrm{rad/s}，角加速度為 0.4 rad/s20.4\ \mathrm{rad/s^2}，在無摩擦之情形下，試求溝槽作用於質點之力量。

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核心觀念

質點同時受搖桿與圓形溝槽限制。先由幾何關係求出質點沿搖桿的位置，再以極座標求其加速度；最後用牛頓第二定律，分解搖桿與溝槽對質點的作用力。

取搖桿轉軸 OO 為原點，xx 軸向右、yy 軸向上。圖示圓形溝槽的圓心 CC 在 OO 右方 0.5 m0.5\ \mathrm m，溝槽半徑也是 0.5 m0.5\ \mathrm m；θ\theta 自水平向右的方向逆時針量起。

解題方法

質點位於搖桿射線上，距 OO 為 rr。由圖中幾何關係，質點位置為 (rcos⁡θ,rsin⁡θ)(r\cos\theta,r\sin\theta)，且與圓心 C=(0.5,0)C=(0.5,0) 的距離為 0.5 m0.5\ \mathrm m：

(rcos⁡θ−0.5)2+(rsin⁡θ)2=(0.5)2(r\cos\theta-0.5)^2+(r\sin\theta)^2=(0.5)^2

整理得 r2−rcos⁡θ=0r^2-r\cos\theta=0，因此

r=cos⁡θr=\cos\theta

代入 θ=30∘\theta=30^\circ：

r=0.8660 mr=0.8660\ \mathrm m

由 θ˙=2 rad/s\dot\theta=2\ \mathrm{rad/s}、θ¨=0.4 rad/s2\ddot\theta=0.4\ \mathrm{rad/s^2}，對 r=cos⁡θr=\cos\theta 微分：

r˙=−sin⁡θ θ˙=−1.000 m/s\dot r=-\sin\theta\,\dot\theta=-1.000\ \mathrm{m/s} r¨=−cos⁡θ θ˙2−sin⁡θ θ¨=−3.664 m/s2\ddot r=-\cos\theta\,\dot\theta^2-\sin\theta\,\ddot\theta =-3.664\ \mathrm{m/s^2}

極座標加速度為

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第 三 題20 分

如圖所示之半圓形柱，質量為 15 kg15\ \mathrm{kg}，對其質心 GG 之質量慣性矩 IG=0.25 kg⋅m2I_G=0.25\ \mathrm{kg\cdot m^2}。假設柱體與地面接觸間可產生純滾動而不滑動，並由圖示之位置靜止釋放。

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試求從靜止釋放後在垂直重力作用下，當柱體逆時針旋轉 90∘90^\circ 後之瞬間 AA 點的速度大小。

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核心觀念

本題考查剛體純滾動的運動學與能量守恆：

  • 純滾動時，半圓弧的圓心 OO 平移速度大小為 vO=Rωv_O=R\omega，方向與轉動造成的接觸點速度相反。
  • 剛體動能可寫成質心平移動能與繞質心轉動動能之和： T=12mvG2+12IGω2.T=\frac12mv_G^2+\frac12I_G\omega^2.
  • 靜摩擦力在純滾動接觸點不作功，因此以重力位能減少量等於動能增加量。

解題方法

圖示半圓弧半徑為 R=0.20 mR=0.20\ \mathrm{m}。質心 GG 位於圓心 OO 左方 0.15 m0.15\ \mathrm{m}，故 OG=0.15 mOG=0.15\ \mathrm{m}。

柱體逆時針轉過 90∘90^\circ 時，向量 OG→\overrightarrow{OG} 由水平向左轉為鉛直向下。圓心 OO 的高度維持為 RR，所以質心下降高度為

Δh=0.15 m.\Delta h=0.15\ \mathrm{m}.

末瞬間 OG→\overrightarrow{OG} 向下，而 OO 向左平移，因此質心速度大小為

vG=vO−ω(OG)=Rω−(0.15)ω=(0.20−0.15)ω=0.05ω.v_G=v_O-\omega(OG) =R\omega-(0.15)\omega =(0.20-0.15)\omega =0.05\omega.
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第 四 題20 分

如圖所示之兩根實心軸由軸端凸緣（flange）及螺栓連接，但因螺栓與凸緣孔間有些許間隙，因此造成兩凸緣在受力矩耦合前會有 1.5∘1.5^\circ 的相對空轉。

已知材料剪力模數 G=77 GPaG=77\ \mathrm{GPa}，試求如圖施加 T=570 N⋅mT=570\ \mathrm{N\cdot m} 力矩後，兩根軸分別之最大扭轉剪應力。

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核心觀念

本題考查兩根固定端實心軸的扭轉剛度與間隙接觸後的扭矩分配。凸緣尚未接觸時，兩軸各自扭轉；相對轉角達到 1.5∘1.5^\circ 後，凸緣接觸，兩軸共同抵抗外加扭矩。

實心圓軸的極慣性矩、扭轉角與最大扭轉剪應力為

J=πd432,θ=TLGJ,τmax⁡=TcJ=16Tπd3.J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad \theta=\frac{TL}{GJ},\qquad \tau_{\max}=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}.

解題方法

依圖，外加扭矩 T=570 N⋅mT=570\ \mathrm{N\cdot m} 作用於右側凸緣 CC。左軸 ABAB 長 600 mm600\ \mathrm{mm}、直徑 30 mm30\ \mathrm{mm}；右軸 CDCD 長 900 mm900\ \mathrm{mm}、直徑 36 mm36\ \mathrm{mm}。兩軸遠端固定。

先求兩軸的扭轉剛度 k=GJ/Lk=GJ/L：

JAB=π(30)432=79,522 mm4,kAB=77,000JAB600=10.205×106 N⋅mm/radJ_{AB}=\frac{\pi(30)^4}{32}=79{,}522\ \mathrm{mm^4}, \qquad k_{AB}=\frac{77{,}000J_{AB}}{600} =10.205\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm/rad} JCD=π(36)432=164,934 mm4,kCD=77,000JCD900=14.111×106 N⋅mm/rad.J_{CD}=\frac{\pi(36)^4}{32}=164{,}934\ \mathrm{mm^4}, \qquad k_{CD}=\frac{77{,}000J_{CD}}{900} =14.111\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm/rad}.

若右軸單獨承受全部外加扭矩，其扭轉角會超過間隙角，因此凸緣會接觸。間隙角為

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第 五 題20 分

如圖所示有三集中力作用於一 100 mm100\ \mathrm{mm} 直徑之圓盤上，此圓盤固定於一 45 mm45\ \mathrm{mm} 直徑之實心圓軸 ABAB 上。試求在軸表面上 HH 點處之應力分量狀態，以及其對應之主應力（principal stresses）及最大剪應力（maximum shear stress）。

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核心觀念

本題考查圓軸的軸力、彎矩、扭矩與橫向剪力所造成的應力，以及由平面應力狀態求主應力與最大剪應力。圓軸截面性質為

A=πd24,I=πd464,J=πd432A=\frac{\pi d^2}{4},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}

其中 AA 為截面積，II 為截面二次矩，JJ 為極慣性矩。

解題方法

取距圓盤下方 200 mm200\ \mathrm{mm} 的軸截面，依圖示 HH 點位於軸的 +x+x 表面。兩個 25 kN25\ \mathrm{kN} 向下力作用於軸心兩側，各距 50 mm50\ \mathrm{mm}；其彎矩大小相等、方向相反，彼此抵銷。因此，截面軸力為 50 kN50\ \mathrm{kN} 壓力。

10 kN10\ \mathrm{kN} 水平力作用於圓盤邊緣，對軸心產生扭矩；它也在軸截面造成彎矩與剪力。依圖中位置，該彎矩繞 xx 軸，而 HH 點位於 +x+x 表面，故其相對此彎矩的截面座標 z=0z=0，彎曲正應力為零。HH 在圓軸外表面，橫向剪力造成的剪應力亦為零；此處剪應力只由扭矩造成。

截面內力與應力為

N=−50 kN,T=(10 kN)(50 mm)=500 kN⋅mmN=-50\ \mathrm{kN},\qquad T=(10\ \mathrm{kN})(50\ \mathrm{mm})=500\ \mathrm{kN\cdot mm}

圓軸直徑 d=45 mmd=45\ \mathrm{mm}，因此

A=π(45)24=1590.43 mm2,J=π(45)432=402 567.4 mm4A=\frac{\pi(45)^2}{4}=1590.43\ \mathrm{mm^2},\qquad J=\frac{\pi(45)^4}{32}=402\,567.4\ \mathrm{mm^4}

軸向正應力為

σy=NA=−50 0001590.43=−31.44 MPa\sigma_y=\frac{N}{A} =\frac{-50\,000}{1590.43} =-31.44\ \mathrm{MPa}

負號代表壓應力。扭轉剪應力大小為

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