111 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面剛體靜力平衡、銷支承反力，以及理想繩索與無摩擦滾輪的受力分析。各桿件須分開畫自由體圖，並使用：

懸掛物體靜止，繩索張力為 $T=mg$。無摩擦滾輪兩側張力相等，滾輪所受繩索力可合併為作用於輪心的合力；兩側張力對輪心的力矩互相抵消。

解題方法

取向右、向上為正，逆時針力矩為正。由圖中尺寸，令 $D=(0,0)$，則 $C=(2,1)$、$E=(2,0)$、$A=(4,0)$、$B=(4,2)$。因此 $DC$ 方向的單位向量為

懸掛物重為

在 $D$ 滾輪，繩索兩段分別朝向 $C$ 與懸掛物，因此繩索作用力為

在 $C$ 滾輪，繩索兩段分別朝向 $D$ 與 $E$，故作用力為

繩索固定於 $E$，對 AED 桿施加向上的 $T$。

令 $D$ 銷對 BCD 桿的作用力為 $(Q_x,Q_y)$，則對 AED 桿的作用力為 $(-Q_x,-Q_y)$。

先對 BCD 桿取 $D$ 點力矩。$C$ 點繩索力對 $D$ 的力矩為

因此

核心觀念

繩索斷裂後，桿件以銷支撐點 $B$ 為固定轉軸轉動。此瞬間桿件角速度仍為零，因此質心加速度只有切向分量。對 $B$ 點取力矩，可直接求角加速度；再由質心的運動方程求銷支撐反力。

解題方法

由圖可知桿長 $10\ \mathrm{m}$，$B$ 距離桿左端 $2\ \mathrm{m}$，所以 $B$ 至桿件質心的距離為

桿件質量為 $6\ \mathrm{kg}$，重量為

以逆時針為正方向。繩索斷裂後，桿件所受重力對 $B$ 點產生順時針力矩，因此

利用平行軸定理計算桿件對 $B$ 點的轉動慣量：

因此

核心觀念

剪力圖由梁的垂直力平衡求得：集中力會使剪力圖產生跳躍，均布載重會使剪力沿梁長線性變化。彎矩圖的斜率等於剪力；因此剪力為零的位置是彎矩的極值位置。

依圖示，$B$ 點的 $80\ \mathrm{N}$ 集中力方向向上，$BC$ 段的 $50\ \mathrm{N/m}$ 均布載重方向向下。取 $A$ 點為 $x=0$，則 $B$ 點在 $x=6\ \mathrm{m}$，$C$ 點在 $x=10\ \mathrm{m}$。

解題方法

先把 $BC$ 段的均布載重換成合力：

合力作用於 $BC$ 中點，即距 $A$ 點 $8\ \mathrm{m}$ 處。設支承反力向上為正，由整梁平衡：

因此 $A$、$C$ 支承反力分別為 $8\ \mathrm{N}$、$112\ \mathrm{N}$，方向皆向上。

剪力圖

以左側截面向上的合力為正。從 $A$ 到 $B$ 前，剪力等於 $A_y$；在 $B$ 點受到向上的集中力，剪力向上跳 $80\ \mathrm{N}$。在 $BC$ 段，均布載重使剪力以每公尺 $50\ \mathrm{N}$ 的幅度線性下降：

剪力圖主要數值如下：

V (N)
 +88 ● B+
 \
 +8 ●──────────○ B− \
 \
 0 ─────────────────────×──────── x
 7.76 m \
 ● C− −112

核心觀念

面積對 $x$ 軸的慣性矩為 $I_x=\int y^2\,dA$。灰色面積可視為「整個矩形減去上方挖除的半圓」，因此

矩形的 $x$ 軸位於底邊；半圓的直徑則位於 $y=12\ \mathrm{m}$，計算半圓對底部 $x$ 軸的慣性矩時須考慮軸距。

解題方法

矩形寬 $b=30\ \mathrm{m}$、高 $h=12\ \mathrm{m}$，對底邊的慣性矩為

半圓半徑 $r=9\ \mathrm{m}$。以半圓直徑所在的水平線為基準，令 $u$ 表示向下的距離，底部 $x$ 軸上的點與半圓內點的垂直距離為 $12-u$。因此

半圓對直徑的慣性矩、面積及形心至直徑的距離分別為