114 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查滑輪系統的繩長約束與機械能守恆。圖中有三個隨物塊 $B$ 移動的動滑輪；物塊 $B$ 每移動一段距離，支承它的六段繩長都會等量改變。

解題方法

取向下為正，令 $y_A$、$y_B$ 分別表示物塊 $A$、$B$ 的位置。繩長固定，因此

對時間微分，得到速度約束：

當 $B$ 向下的速度為 $0.5\ \mathrm{m/s}$ 時，

負號表示 $A$ 向上，因此 $A$ 的速度大小為 $3.0\ \mathrm{m/s}$。

核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡、三角形分布載重的等效合力，以及繩索張力的分解。桿件平衡須滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M_O=0$。支承 $O$ 視為鉸支承，因此自由體圖中有水平反力 $O_x$ 與垂直反力 $O_y$。

自由體圖與等效載重

將桿件單獨取出，受力如下：

• $O$ 點反力：$O_x$、$O_y$。
• $A$ 點繩索張力 $T$，沿繩索方向指向右上方。依 $3$-$4$-$5$ 比例，$T_x=\frac{3}{5}T$、$T_y=\frac{4}{5}T$。
• 向下的三角形分布載重，最大值 $600\ \mathrm{N/m}$，作用長度 $6\ \mathrm{m}$。

分布載重的等效合力為三角形面積：

合力作用在載重較大的一端起算 $1/3$ 載重長度處，即距載重起點 $2\ \mathrm{m}$。載重起點距 $O$ 水平 $3\ \mathrm{m}$，故合力作用線距 $O$ 水平 $5\ \mathrm{m}$。

$A$ 點距 $O$ 水平距離為 $3+6+12=21\ \mathrm{m}$，且高於 $O$ 點 $3\ \mathrm{m}$。

解題方法

以 $O$ 點取力矩，可消去 $O_x$、$O_y$。逆時針為正：

核心觀念

桁架各桿件視為兩力構件，桿力沿桿件軸線作用。以節點法分析時，先假設各桿均受拉，桿力由節點向外；計算結果為正表示拉力，為負表示壓力。

圖中 $D$、$E$、$B$ 形成邊長 $6\text{ m}$ 的正三角形，因此斜桿與水平線夾角為 $60^\circ$。$CE$ 也與水平線夾角為 $60^\circ$。此外，圖中尚有水平桿 $BC$，分析節點 $C$ 時需將其納入。

解題方法

令桿力以拉力為正。先由節點 $C$ 求出 $BC$、$CE$，再依序分析節點 $E$ 與 $B$，即可求得題目所問的五支桿件。

節點 $C$：

節點 $C$ 受向下 $12\text{ kN}$ 外力，桿 $BC$ 為水平桿，桿 $CE$ 與水平夾角為 $60^\circ$。

負號表示 $CE$ 受壓。再由水平方向平衡：

因此 $BC$ 受拉。

節點 $E$：

節點 $E$ 有 $BE$、$CE$、$DE$ 三桿。由垂直方向平衡：

因此 $BE$ 受拉。水平方向平衡為：

核心觀念

平面應力的莫耳圓以兩個互相垂直面的應力狀態為直徑端點：

圓心與半徑為：

主應力是莫耳圓與正應力軸的交點；圓半徑則是最大平面剪應力。

解題方法

依圖中箭頭判讀，以拉應力為正、壓應力為負。$x$ 方向正應力向外，故 $\sigma_x=8\ \mathrm{MPa}$；$y$ 方向正應力箭頭指向元素內部，故 $\sigma_y=-6\ \mathrm{MPa}$。圖中上側（$+y$ 面）的剪力向右，右側（$+x$ 面）的剪力向上，故依上述慣例 $\tau_{xy}=+10\ \mathrm{MPa}$。

圓心為：

半徑為：

因此主應力為：

主應力方向由應力轉換式求得：