115 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

115 年・專利師・高等考試・專利師(選試專業英文及工程力學)
試題代碼 工程力學

第 一 題25 分

如圖所示，有三個剛性齒輪安裝於一個鋼軸上，並承受扭矩 TBT_B 與 TCT_C，試求下列問題。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 若 TBT_B 為 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}、TCT_C 為 150 N⋅m150\ \mathrm{N\cdot m}，鋼軸直徑為 20 mm20\ \mathrm{mm}，ABAB 與 BCBC 之間鋼軸所承受之扭轉剪應力為何？（15 分）

(二) 承上題，若鋼軸能承受的最大剪應力為 40 MPa40\ \mathrm{MPa}，鋼軸直徑至少為何較為安全？（10 分）

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核心觀念

本題考查圓軸扭轉的內力分析與最大扭轉剪應力公式。

實心圓軸外表面的最大剪應力為

τmax⁡=TcJ\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}

其中，實心圓軸之

c=d2,J=πd432c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}

因此可整理為

τmax⁡=16Tπd3\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^3}

其中 TT 必須使用 N⋅mm\mathrm{N\cdot mm}，dd 使用 mm\mathrm{mm}，所得剪應力單位為 N/mm2=MPa\mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}。

解題方法

依圖示，TBT_B 與 TCT_C 方向相反。對鋼軸任一截面取扭矩平衡，即可求得各段軸內的扭矩。

（一）求 ABAB 與 BCBC 段之扭轉剪應力

已知

TB=100 N⋅m,TC=150 N⋅mT_B=100\ \mathrm{N\cdot m},\qquad T_C=150\ \mathrm{N\cdot m}

1. ABAB 段內力矩

在 ABAB 段任取截面，截面右側之外力矩為 TBT_B 與 TCT_C，方向相反，因此

TAB=∣TC−TB∣T_{AB}=|T_C-T_B| TAB=∣150−100∣=50 N⋅mT_{AB}=|150-100|=50\ \mathrm{N\cdot m}

換算為

TAB=50×103=50 000 N⋅mmT_{AB}=50\times 10^3=50\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

鋼軸直徑為

d=20 mmd=20\ \mathrm{mm}

故

τAB=16TABπd3=16(50 000)π(20)3\tau_{AB} =\frac{16T_{AB}}{\pi d^3} =\frac{16(50\,000)}{\pi(20)^3} τAB=31.8 MPa\boxed{\tau_{AB}=31.8\ \mathrm{MPa}}

2. BCBC 段內力矩

在 BCBC 段任取截面，截面右側只有 TCT_C，因此

TBC=TC=150 N⋅mT_{BC}=T_C=150\ \mathrm{N\cdot m}

換算為

TBC=150×103=150 000 N⋅mmT_{BC}=150\times10^3=150\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

所以

τBC=16TBCπd3=16(150 000)π(20)3\tau_{BC} =\frac{16T_{BC}}{\pi d^3} =\frac{16(150\,000)}{\pi(20)^3}
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第 二 題25 分

如圖所示，一簡支樑承受兩集中負載與一力矩，截面為 40 mm40\ \mathrm{mm} 的正方形，試求下列問題。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中樑之配置與載重如下：BB 點承受向下 1000 N1000\ \mathrm{N} 集中力，CC 點承受向下 500 N500\ \mathrm{N} 集中力，DD 點承受 1000 N⋅m1000\ \mathrm{N\cdot m} 力矩；AB=2 mAB=2\ \mathrm{m}、BC=5 mBC=5\ \mathrm{m}、CD=4 mCD=4\ \mathrm{m}、DE=5 mDE=5\ \mathrm{m}。

(一) BB 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處與 DD 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處之剪力與彎矩為何？（15 分）

(二) BB 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處與 DD 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處之最大彎曲應力為何？（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 簡支樑支承反力。
  2. 剪力圖與彎矩圖的截面法。
  3. 集中力造成剪力跳躍；集中力矩造成彎矩跳躍，但不影響剪力。
  4. 矩形截面的最大彎曲應力：
σmax⁡=McI\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}

其中 MM 為截面彎矩、cc 為中性軸至最外纖維距離、II 為截面慣性矩。

圖示 DD 點之 1000 N⋅m1000\ \mathrm{N\cdot m} 力矩取順時針為正負號中的負值。

解題方法

取 AA 點為座標原點：

xA=0,xB=2,xC=7,xD=11,xE=16 mx_A=0,\quad x_B=2,\quad x_C=7,\quad x_D=11,\quad x_E=16\ \mathrm{m}

設支承反力為 AyA_y、EyE_y。水平方向無外力，因此：

Ax=0A_x=0

1. 求支承反力

垂直力平衡：

Ay+Ey−1000−500=0A_y+E_y-1000-500=0 Ay+Ey=1500A_y+E_y=1500

以 AA 點取力矩，逆時針為正：

16Ey−1000(2)−500(7)−1000=016E_y-1000(2)-500(7)-1000=0

因此：

16Ey=2000+3500+1000=650016E_y=2000+3500+1000=6500 Ey=406.25 NE_y=406.25\ \mathrm{N}

故：

Ay=1500−406.25=1093.75 NA_y=1500-406.25=1093.75\ \mathrm{N}

（一）求兩截面之剪力與彎矩

甲、BB 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處

該截面位置為：

x=2+3=5 mx=2+3=5\ \mathrm{m}

此截面位於 BB、CC 之間。

剪力

取截面左側，截面左側包含 AyA_y 與 BB 點集中力：

V5=Ay−1000V_5=A_y-1000 V5=1093.75−1000V_5=1093.75-1000 V5=+93.75 N\boxed{V_5=+93.75\ \mathrm{N}}

正號表示依採用的符號約定，剪力為正。

彎矩

截面左側對該截面取矩：

M5=Ay(5)−1000(5−2)M_5=A_y(5)-1000(5-2) M5=1093.75(5)−1000(3)M_5=1093.75(5)-1000(3) M5=5468.75−3000M_5=5468.75-3000 M5=2468.75 N⋅m\boxed{M_5=2468.75\ \mathrm{N\cdot m}}

此處彎矩為正彎矩，即下凹型彎曲。

乙、DD 點右方 3 m3\ \mathrm{m} 處

該截面位置為：

x=11+3=14 mx=11+3=14\ \mathrm{m}

此截面位於 DD、EE 之間。

剪力

DD 點的集中力矩不會造成剪力改變，因此：

V14=Ay−1000−500V_{14}=A_y-1000-500 V14=1093.75−1000−500V_{14}=1093.75-1000-500 V14=−406.25 N\boxed{V_{14}=-406.25\ \mathrm{N}}

負號表示剪力方向與正剪力約定相反。

彎矩

取截面左側對該截面取矩。順時針集中力矩在此計算中造成彎矩項 +1000 N⋅m+1000\ \mathrm{N\cdot m}：

M14=Ay(14)−1000(14−2)−500(14−7)+1000M_{14} =A_y(14)-1000(14-2)-500(14-7)+1000 M14=1093.75(14)−1000(12)−500(7)+1000M_{14} =1093.75(14)-1000(12)-500(7)+1000 M14=15312.5−12000−3500+1000M_{14}=15312.5-12000-3500+1000
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第 三 題25 分

如圖所示，有一質量為 30 g30\ \mathrm{g} 的子彈以 400 m/s400\ \mathrm{m/s} 的速度射入一質量為 3 kg3\ \mathrm{kg} 的物塊，試求物塊的初速度與停止時所滑行的距離（假設重力加速度為 10 m/s210\ \mathrm{m/s^2}，地面的動摩擦係數為 0.20.2）。

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核心觀念

本題分為兩個階段：

  1. 子彈射入物塊的瞬間：碰撞時間極短，水平方向外力衝量可忽略，故使用動量守恆。
  2. 子彈與物塊結合後滑行至停止：受地面動摩擦力作用，使用牛頓第二定律或運動學公式求滑行距離。

「子彈射入物塊」表示碰撞後子彈嵌入物塊，屬於完全非彈性碰撞。

解題方法

設：

  • 子彈質量：m=30 g=0.03 kgm=30\ \mathrm{g}=0.03\ \mathrm{kg}
  • 子彈初速度：u=400 m/su=400\ \mathrm{m/s}
  • 物塊質量：M=3 kgM=3\ \mathrm{kg}
  • 物塊原先靜止
  • 動摩擦係數：μk=0.2\mu_k=0.2
  • 重力加速度：g=10 m/s2g=10\ \mathrm{m/s^2}

一、求物塊的初速度

碰撞前後水平方向動量守恆：

mu+M(0)=(m+M)vmu+M(0)=(m+M)v

代入數值：

0.03(400)=(0.03+3)v0.03(400)=(0.03+3)v 12=3.03v12=3.03v

因此碰撞後子彈與物塊的共同速度為：

v=123.03≈3.96 m/sv=\frac{12}{3.03} \approx 3.96\ \mathrm{m/s}

所以物塊的初速度為：

3.96 m/s\boxed{3.96\ \mathrm{m/s}}

方向與子彈原來的運動方向相同。

二、求停止時所滑行的距離

碰撞後，地面對子彈與物塊的動摩擦力為：

fk=μkN=μk(m+M)gf_k=\mu_k N=\mu_k(m+M)g

其造成的減速度為：

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第 四 題25 分

如圖所示，兩連桿連接一滑塊 CC，試求當滑塊 CC 以 4 m/s4\ \mathrm{m/s} 的速度向下移動時，連桿 ABAB 之角速度 ωAB\omega_{AB} 為何？（25 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中，ABAB 為水平桿，AB=2 mAB=2\ \mathrm{m}；滑塊 CC 的垂直運動線與點 BB 的水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}，點 CC 與點 BB 的垂直距離為 3 m3\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查平面剛體運動中「相對速度法」：

  1. 桿 ABAB 以固定端點 AA 為轉軸，因此點 BB 的速度垂直於 ABAB。
  2. 連桿 BCBC 的兩端點速度滿足 v⃗C=v⃗B+ω⃗BC×r⃗C/B.\vec v_C=\vec v_B+\vec\omega_{BC}\times\vec r_{C/B}.
  3. 滑塊 CC 僅能沿垂直方向運動，因此 vCx=0,vCy=−4 m/s.v_{Cx}=0,\qquad v_{Cy}=-4\ \mathrm{m/s}.

取向右為 xx 軸正向、向上為 yy 軸正向，逆時針角速度為正。

解題方法

由圖可知，ABAB 為水平桿，且

AB=2 m,r⃗C/B=3i+3j m.AB=2\ \mathrm{m},\qquad \vec r_{C/B}=3\mathbf i+3\mathbf j\ \mathrm{m}.

因為 AA 為固定鉸支點，桿 ABAB 繞 AA 轉動，所以

v⃗B=ω⃗AB×r⃗B/A.\vec v_B=\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}.

又

r⃗B/A=2i,ω⃗AB=ωABk,\vec r_{B/A}=2\mathbf i,\qquad \vec\omega_{AB}=\omega_{AB}\mathbf k,

故

v⃗B=ωABk×2i=2ωABj.\vec v_B=\omega_{AB}\mathbf k\times 2\mathbf i =2\omega_{AB}\mathbf j.

因此 BB 點沒有水平速度：

vBx=0,vBy=2ωAB.v_{Bx}=0,\qquad v_{By}=2\omega_{AB}.

對連桿 BCBC 使用相對速度式：

v⃗C=v⃗B+ωBCk×(3i+3j).\vec v_C=\vec v_B+\omega_{BC}\mathbf k\times(3\mathbf i+3\mathbf j).

計算叉積：

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