112 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及工程力學) 工程力學 考古題詳解

核心觀念

兩端銷接的柱子可用歐拉公式計算彈性挫屈臨界載荷：

其中銷接柱的有效長度係數 $K=1$。矩形截面的兩個主軸慣性矩不同，須採用較小的慣性矩，因為柱子會先朝較弱的方向挫屈。另可用降伏載荷 $P_Y=\sigma_Y A$ 檢查材料是否先降伏。

解題方法

依圖示，柱長 $L=3\,\text{m}=3000\,\text{mm}$，矩形截面尺寸為 $100\,\text{mm}\times 50\,\text{mm}$。材料楊氏係數換算為 $E_w=12\,\text{GPa}=12{,}000\,\text{N/mm}^2$。

矩形截面的兩個主軸慣性矩為：

核心觀念

本題考查偏心軸力與橫向力造成的軸向正應力，以及矩形截面的彎曲應力。截面正應力由軸力與彎矩疊加：

其中 $x$ 為截面上測點相對形心的位置。橫向剪力 $F$ 造成的剪應力，在矩形截面的左右邊緣為零。

解題方法

取 $a-a$ 截面，分析截面下方構件。依圖將 $A$、$B$ 視為截面右、左邊緣；截面寬度為 $18\text{ mm}$，厚度為 $12\text{ mm}$。圖示 $32\text{ mm}$ 為 $P$ 作用線至截面右邊緣的距離，因此其至形心的偏心距為 $32-9=23\text{ mm}$。

截面性質為

軸力 $P$ 造成拉應力：

$F$ 與 $P$ 對截面形心造成的彎矩方向相同，故

彎曲應力大小為

核心觀念

電纜的法向應變為長度變化量除以初始長度：

題目指出 $P=0$ 時電纜未受拉伸，因此初始長度就是電纜的原長。剛性構件 $CBD$ 以 $C$ 為轉軸旋轉，$B$ 與 $C$ 的距離保持 $300\ \text{mm}$。

解題方法

以 $C$ 為座標原點，令向右為 $x$ 軸正向、向上為 $y$ 軸正向。由圖可知 $A=(-400,0)\ \text{mm}$。初始時 $B=(0,300)\ \text{mm}$，故電纜原長為

令構件依圖示方向順時針轉動 $\theta$，則旋轉後

因此電纜的新長度為

核心觀念

本題分兩階段使用能量法，並以制動手柄的力矩平衡求正向力：

• 未制動時，物塊的重力位能轉為物塊平動動能與剎車鼓轉動動能。
• 制動時，物塊重力所作的功由剎車片的摩擦力作功消耗。
• 繩索不滑動，故物塊速度與剎車鼓角速度滿足 $v=r\omega$；物塊位移與剎車鼓轉角滿足 $s=r\theta$。
• 剎車鼓對銷軸 $O$ 的轉動慣量為 $I_O=mk_O^2$。

解題方法

（一）物塊下落 $3\ \text{m}$ 的速度

剎車鼓的轉動慣量為

繩索繞在半徑 $r=0.15\ \text{m}$ 處，因此

物塊下落 $3\ \text{m}$，重力位能減少量等於物塊平動動能與剎車鼓轉動動能之和：

代入 $g=9.81\ \text{m/s}^2$：

（二）使物塊再下降 $3\ \text{m}$ 後停止所需的制動力

先求制動手柄施於剎車片的正向力 $N$。以 $A$ 點取力矩，制動力 $P$ 的力臂為 $AD=AC+CD=1.25\ \text{m}$，正向力 $N$ 的力臂為 $AC=0.5\ \text{m}$。因手柄厚度忽略，接觸處的垂直摩擦力作用線通過 $A$ 至 $C$ 的手柄軸線，對 $A$ 不產生力矩。因此手柄力矩平衡為