107 關務特考三等 輻射安全技術工程 密封放射性物質(包括非密封放射性物質) 考古題詳解

核心觀念

本題評量放射性核種偵測核心技術——閃爍偵檢器（Scintillation Counter）​與液態閃爍計數器（LSC）​的物理原理與實務限制。涉及的核心觀念包括：

1. 輻射能量轉換機制：游離輻射游離/激發閃爍物質 $\to$ 退激發放射螢光光子 $\to$ 光陰極產生光電子（光電效應） $\to$ 倍增極二次電子發射級聯放大 $\to$ 陽極輸出電脈衝。
2. 無機與有機閃爍體之物理特性對比：固態能帶理論（發光中心）與分子 $\pi$ 電子躍遷機制的差異，直接決定兩者在有效原子序（$Z_\text{eff}$）、密度、發光產額、衰減時間（decay time）及適用輻射種類上的消長。
3. 液態閃爍計數的能量轉移與淬熄（Quenching）效應：擦拭測試常用於偵測極低能量 $\beta$ 核種（如 ${}^3\text{H}$、${}^{14}\text{C}$），能量轉移路徑為「$\beta$ 粒子 $\to$ 溶劑分子 $\to$ 閃爍溶質 $\to$ 螢光光子 $\to$ PMT」。任何干擾該路徑導致光子數或脈衝高度降低的物理/化學過程即為淬熄。

解題方法

1. 子題 (一) 切入點：

• 採「能量轉換鏈」為骨架，依序寫出四階段物理歷程（吸收游離 $\to$ 螢光放射 $\to$ 光電轉換 $\to$ 電子倍增），點明輸出電壓脈衝與沉積能量呈正比的線性特點。
• 閃爍物質依「無機閃爍體」與「有機閃爍體」兩大類進行系統化橫向對比，對比維度包含：發光機制、主要特性（原子序、密度、發光效率、衰減時間）及典型代表材料與應用。

2. 子題 (二) 切入點：

• 先以一句話界定「淬熄」的定義（能量轉換受阻導致發光產額降低或光子受阻）。
• 將淬熄明確分類為三大機制：化學淬熄（Chemical Quenching）、顏色淬熄（Color Quenching）​及相淬熄（Phase Quenching），並分別闡述其分子層次的干擾機制與對偵測效率的影響。

試題架構與評分解析

本科目為申論題，配分比重與作答策略如下：

• 第 (一) 小題（10 分）：
• 工作原理占 4～5 分：需寫出光電倍增管（PMT）的光陰極光電效應及倍增極電子倍增過程。
• 種類與特性占 5～6 分：需明確列出無機與有機二分法，並具體列出代表材料（如 $\text{NaI(Tl)}$ 與塑膠/液態閃爍體）之關鍵物理參數對比。
• 第 (二) 小題（5 分）：
• 核心在於淬熄分類與機制說明。化學淬熄與顏色淬熄為必答核心（各占 2 分），相淬熄或自淬熄為補強要點（占 1 分），答出受干擾的階段（激發態能量轉移階段 vs 光子傳播階段）是拿滿分的關鍵。

解題技巧

1. 名詞標準化：光電倍增管（PMT）、光陰極（Photocathode）、倍增極（Dynode）、光電效應（Photoelectric effect）、二次電子發射（Secondary electron emission）、活化劑（Activator），閱卷委員依關鍵字給分。
2. 答題結構化：使用條列與項目分點，避免大段敘述；閃爍體特性採條列對比，突出「無機看原子序與光電截面、有機看時間反應速度與帶電粒子偵測」。
3. 淬熄機制的區別口訣：

• 化學淬熄：光還沒生出來就被吃掉（激發能量被雜質奪走變熱能）。
• 顏色淬熄：光生出來了但在路上被吸走（溶液顏色吸收特定波長光子）。
• 相淬熄：樣品沒混進去，射線根本打不到閃爍分子（二相分離、自吸收）。

【答案】

(一) 閃爍偵檢器之工作原理及閃爍物質種類與特性

1. 工作原理

閃爍偵檢器係利用游離輻射進入閃爍物質後產生微弱閃爍光，再經光電轉換放大為電脈衝信號進行量測，完整歷程包含四個主要步驟：

1. 輻射能量沉積與分子激發：入射輻射（如 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$）穿透閃爍物質，經由游離與激發作用將能量轉移給閃爍晶體或分子。
2. 螢光光子釋放：受激發之原子、分子或發光中心於極短時間內（退激發）躍遷回基態，釋放出波長介於紫外線至可見光波段的螢光光子。
3. 光電轉換：光子經由光導引導至光電倍增管（Photomultiplier Tube, PMT）之光陰極（Photocathode），藉由光電效應轉換釋出初始光電子。

核心觀念

本題為輻射度量學與密封射源管制的經典計算題，考核重點涵蓋「計數器幾何與偵測效率計算」以及「射源表面擦拭測試（Wipe test）之污染活度換算與法規限值判定」。

1. 淨計數率（Net Count Rate, $R_n$）： $R_n = R_g - R_b = \frac{N_g}{t_g} - \frac{N_b}{t_b}$ 其中 $R_g$ 與 $R_b$ 分別為毛計數率（Gross count rate）與背景計數率（Background count rate），計數單位通常轉換為每秒計數（$\mathrm{cps}$）或每分鐘計數（$\mathrm{cpm}$）。

2. 計數效率（Counting Efficiency, $\epsilon$）： 在輻射偵測中，計數效率有兩種常見的定義層次：

• 對光子發射之偵測效率（$\epsilon_\gamma$）：考慮核種的加馬射線放射率（分歧比 $Y$），即計數器對射源實際發射出之光子數的偵測機率： $\epsilon_\gamma = \frac{R_n}{A \times Y}$
• 對射源衰變活度之總效率（$\epsilon_{act}$）：直接以射源總活度（每秒衰變次數，$\mathrm{dps}$）為基準： $\epsilon_{act} = \frac{R_n}{A} = \epsilon_\gamma \times Y$ 題目特別附註「Cs-137 之 $662\ \mathrm{keV}$ 加馬射線放射率為 $90\%$」，顯示閱卷標準以要求計算「光子計數效率 $\epsilon_\gamma$」為主，作答時將兩者一併列出最為周全。

3. 擦拭測試之表面污染度換算： 擦拭測試係藉由擦拭濾紙取樣表面之鬆散污染，其表面污染密度 $C$（$\mathrm{Bq/cm^2}$）公式為： $C = \frac{R_{n, \text{wipe}}}{\epsilon_\gamma \times Y \times \epsilon_w \times S} = \frac{R_{n, \text{wipe}}}{\epsilon_{act} \times \epsilon_w \times S}$ 其中：

• $R_{n, \text{wipe}}$：擦拭紙測得之淨計數率（$\mathrm{cps}$）
• $\epsilon_w$：擦拭效率（Wipe efficiency，取樣因子）
• $S$：擦拭面積（$\mathrm{cm^2}$）

4. 法規限值與除污判定： 本題以命題當年（民國 107 年）法規為準，通常依題目給定之基準進行符合性判定。將計算求得之污染值與題目給定限值（$2\ \mathrm{Bq/cm^2}$）比較，若高於限值則必須進行除污。

解題方法

(一) 計算固體閃爍計數器之計數效率

1. 計算標準射源之毛計數率（$R_g$）與背景計數率（$R_b$）：

• 計數時間換算： $t_g = 5\ \text{min} = 300\ \text{s}$ $t_b = 10\ \text{min} = 600\ \text{s}$
• 各計數率分別為： $R_g = \frac{180{,}000\ \text{counts}}{300\ \text{s}} = 600\ \mathrm{cps}$ $R_b = \frac{15{,}000\ \text{counts}}{600\ \text{s}} = 25\ \mathrm{cps}$

2. 計算標準射源之淨計數率（$R_n$）： $R_n = R_g - R_b = 600 - 25 = 575\ \mathrm{cps}$

3. 計算計數效率：

• 已知 Cs-137 標準射源活度 $A = 3700\ \mathrm{Bq}$，加馬射線放射率 $Y = 90\% = 0.90$。
• 射源每秒發射之 $662\ \mathrm{keV}$ 加馬光子數： $S_\gamma = A \times Y = 3700 \times 0.90 = 3330\ \text{photons/s}$
• 加馬射線計數效率（$\epsilon_\gamma$）： $\epsilon_\gamma = \frac{R_n}{S_\gamma} = \frac{575}{3330} \approx 0.1727 = 17.27\%$
• （註：若定義為對總衰變活度之計數效率 $\epsilon_{act} = \frac{R_n}{A} = \frac{575}{3700} \approx 15.54\%$）

(二) 計算密封射源污染程度並判定是否需要除污

核心觀念

本題評量公職輻射安全工程人員對於輻射安全源頭管制法規與例行輻射監測規範之熟稔度。兩子題均為法規背誦題，以命題當年（民國 107 年）法規為準：

1. 子題 (一)：考查「放射性物質與可發生游離輻射設備及其輻射作業管理辦法」中關於進口（輸入）放射性物質的書件審查要件。主管機關為落實射源流向管制與安全把關，要求輸入者必須檢附規格說明、射源完整性證明（擦拭測試）與國外合法來源證明等文件。

現行法已配合行政院組織改造將主管機關由「行政院原子能委員會」改制為「核能安全委員會」，但實質申請要件內容相同，本解題仍以命題當年法規為準。

2. 子題 (二)：考查「游離輻射防護法」第 32 條關於設施經營者在運作階段的法定偵測義務。法定年度／定期偵測涵蓋工作場所內部環境、射源密封性、排放監測至廠外環境輻射。

解題方法

1. 子題 (一) 切入點： 依據「放射性物質與可發生游離輻射設備及其輻射作業管理辦法」第 24 條規定，申請放射性物質之輸入，應填具申請書，並依物質類別檢附對應證明文件。作答時必須列出標準應備文件，並特別指出密封放射性物質關鍵的「擦拭測試報告」及法定免附之例外情形。
2. 子題 (二) 切入點： 依據「游離輻射防護法」第 32 條第 1 項，直接精確列舉法定之定期或年度偵測五大要項，切忌漏項或與一般「人員劑量監測」混淆。

解題技巧

• 輸入檢附文件記憶口訣：「書、規、擦、商、他」
• 書：申請書。
• 規：規格說明書或型錄。
• 擦：密封射源原廠擦拭測試報告（氣體、氚管或未達豁免管制量者免附）。

核心觀念

本題評量放射化學計量、同位素豐度以及放射活度基本定義之綜合計算能力，核心公式與觀念如下：

1. 放射活度（Activity, $A$）基本定義： $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$

• $\lambda$：衰變常數（$\text{s}^{-1}$）。
• $T_{1/2}$：半衰期（單位須換算為「秒」以求得貝克 $\text{Bq} = \text{次/秒}$）。
• $N$：放射性核種之原子核數目。

2. 化合物化學計量（Stoichiometry）： 樣品為二氧化鈾（$\text{UO}_2$），需先透過原子量計算平均分子量，由樣品總質量推算鈾元素的莫耳數及總原子數。
3. 同位素豐度與總活度可加性： 依核工慣例，未特別載明時同位素百分比指原子數百分比（Atom Percent, $\text{at}\%$）。混合放射性核種之總放射活度為各同位素活度之代數和： $A_{\text{total}} = A_{^{235}\text{U}} + A_{^{238}\text{U}}$

解題方法

步驟一：計算二氧化鈾（$\text{UO}_2$）之平均分子量與原子總數

1. 鈾元素的平均原子量（$M_{\text{U}}$）： $M_{\text{U}} = 0.03 \times 235.0 + 0.97 \times 238.0 = 7.05 + 230.86 = 237.91 \text{ g/mol}$
2. 二氧化鈾的分子量（$M_{\text{UO}_2}$）（取氧原子量 $\text{O} = 16.00 \text{ g/mol}$）： $M_{\text{UO}_2} = M_{\text{U}} + 2 \times 16.00 = 237.91 + 32.00 = 269.91 \text{ g/mol}$
3. $1.0 \text{ kg}$（$1000 \text{ g}$）$\text{UO}_2$ 中所含之鈾莫耳數（$n_{\text{U}}$）： $n_{\text{U}} = \frac{1000 \text{ g}}{269.91 \text{ g/mol}} \approx 3.705 \text{ mol}$
4. 鈾原子總數（$N_{\text{total}}$）（取亞佛加厥常數 $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$）： $N_{\text{total}} = 3.705 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.231 \times 10^{24} \text{ 個}$

步驟二：計算各同位素之原子數（$N$）

• 鈾-235 原子數（$N_{235}$）： $N_{235} = 2.231 \times 10^{24} \times 3\% = 6.693 \times 10^{22} \text{ 個}$
• 鈾-238 原子數（$N_{238}$）： $N_{238} = 2.231 \times 10^{24} \times 97\% = 2.164 \times 10^{24} \text{ 個}$

步驟三：換算半衰期並計算衰變常數（$\lambda$）

依標準天文年換算，取 $1 \text{ 年} = 365.25 \text{ 日} = 3.156 \times 10^7 \text{ 秒}$（若取 365 日換算為 $3.154 \times 10^7 \text{ 秒}$，計算結果差異小於 $0.1\%$）：

1. 鈾-235：

核心觀念

本題考查放射性物質的連續衰變（Successive Decay）、分支衰變（Branching Decay）​與暫態平衡（Transient Equilibrium）​的定量計算，核心觀念包含：

1. 核種與衰變路徑辨識：

• 母核 ${}^{A}_{Z}X$ 的半衰期 $T_1 = 8\text{ 天}$。
• 子核介穩態 ${}^{Am}_{Z+1}Y$（題幹符號為 ${}^{Am+1}_{Z}Y$，對照核反應與 $\gamma$ 衰變生成物 ${}^{A}_{Z+1}Y$ 可知，此為 $\beta^-$ 衰變生成的同質異構介穩態）的半衰期 $T_2 = 1\text{ 天}$。
• 母核以分支比 $f = 70\%$ 衰變至介穩態 ${}^{Am}_{Z+1}Y$，$30\%$ 衰變至基態 ${}^{A}_{Z+1}Y$。

2. 貝特曼方程式（Bateman Equation）： 初始條件純母核（$N_1(0) = N_{10}$，$N_2(0) = 0$），母核衰變常數為 $\lambda_1$，子核衰變常數為 $\lambda_2$。子核數量之微分方程式為：

求解得子核活度 $A_2(t) = \lambda_2 N_2(t)$ 與母核活度 $A_1(t) = \lambda_1 N_1(t)$ 的關係式：

兩者活度比為：

3. 子核活度極大值時間（$t_m$）： 由 $\frac{dA_2(t)}{dt} = 0$ 可導出達到最大活度的時間公式：

4. 暫態平衡（Transient Equilibrium）： 因母核半衰期大於子核半衰期（$T_1 > T_2$），經長時間存放後（$t \gg t_m$），$e^{-(\lambda_2 - \lambda_1)t} \to 0$，活度比趨近於固定常數：

解題方法

基本參數計算

• 母核衰變常數：

• 子核衰變常數：

• 衰變常數之差：

• 係數項：

搭配分支比 $f = 70\% = 0.7$：

(一) 計算同位素 ${}^{A}_{Z}X$ 與 ${}^{Am}_{Z+1}Y$ 活度比為 $5:1$ 所需天數

題目要求母核與子核活度比為 $A_1(t) : A_2(t) = 5 : 1$，即：

將活度比通式代入：

兩邊取自然對數：

代入數值（$\ln 2 \approx 0.69315$、$\ln 3 \approx 1.09861$、$\ln 4 \approx 1.38629$）：

核心觀念

本題為典型的加馬射線屏蔽厚度設計與複合屏蔽計算題，主要評量以下核心觀念與法規規範：

1. 點射源未屏蔽劑量率公式： $\dot{D}_0 = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2}$ 其中 $\Gamma$ 為加馬常數（特定加馬射線常數）、$A$ 為射源活度、$d$ 為射源至計算點之距離。
2. 輻射工作人員職業曝露劑量限度（法規基準以命題當年民國 107 年為準）： 依「游離輻射防護安全標準」第 7 條規定，輻射工作人員職業曝露之劑量限度為：

• 每連續五年週期內之有效劑量不得超過 $100\ \text{mSv}$（即年平均限度不得超過 $20\ \text{mSv}$）。
• 任何單一年內之有效劑量不得超過 $50\ \text{mSv}$。 在輻射防護設施工程屏蔽設計實務中，為確保連續五年不超標，設計基準劑量限度（Design Limit）標準取年平均限度 $H_{\text{limit}} = 20\ \text{mSv/年}$；常規全職工作人員之工作時數標準設定為每年 50 週、每週 40 小時，即 $t = 2000\ \text{h/年}$。 （註：現行法對於眼球水晶體之等效劑量已修正，但全身有效劑量限度規定依然相同。）

3. 屏蔽衰減與增建因數（Buildup Factor）： 考慮射源之使用因數 $U$、人員占用因數 $T$、增建因數 $B$ 及半值層 $\text{HVL}$，屏蔽後之年劑量當量 $H$ 為： $H = \dot{D}_0 \cdot t \cdot U \cdot T \cdot B \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{\text{HVL}}}$
4. 多層複合屏蔽之等效半值層置換： 當額外覆蓋一層厚度為 $x_{\text{Pb}}$、半值層為 $\text{HVL}_{\text{Pb}}$ 且不考慮增建因數之鉛板時，該鉛層提供之半值層數可直接折抵原混凝土之半值層數。

解題方法

(一) 計算混凝土屏蔽所需之最小厚度

步驟 1：單位換算與未屏蔽點劑量率計算

• 射源活度 $A$： $A = 1000\ \text{Ci} = 1000 \times 3.7 \times 10^{10}\ \text{Bq} = 3.7 \times 10^{13}\ \text{Bq} = 3.7 \times 10^7\ \text{MBq}$
• 距離 $d = 4\ \text{m}$，加馬常數 $\Gamma = 3.7 \times 10^{-4}\ \text{mSv}\cdot\text{m}^2/(\text{MBq}\cdot\text{h})$。
• 距離射源 $4\ \text{m}$ 處之未屏蔽劑量率 $\dot{D}_0$： $\dot{D}_0 = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2} = \frac{3.7 \times 10^{-4} \times 3.7 \times 10^7}{4^2} = \frac{13690}{16} = 855.625\ \text{mSv/h}$

步驟 2：計算無屏蔽時之操作室人員年曝露劑量

• 工時基準取全職工作人員 $t = 2000\ \text{h/年}$。
• 使用因數 $U = 1$、占用因數 $T = \frac{1}{4}$。
• 無屏蔽時的年有效劑量 $H_0$： $H_0 = \dot{D}_0 \cdot t \cdot U \cdot T = 855.625 \times 2000 \times 1 \times \frac{1}{4} = 427,812.5\ \text{mSv/年}$

步驟 3：引入混凝土屏蔽計算所需厚度

• 設混凝土屏蔽厚度為 $x$（公分），半值層 $\text{HVL}_{\text{conc}} = 7\ \text{cm}$，增建因數 $B_{\text{conc}} = 2$。
• 依游離輻射防護安全標準第 7 條之連續五年週期年平均限度 $H_{\text{limit}} = 20\ \text{mSv/年}$： $H = H_0 \cdot B_{\text{conc}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{7}} \le 20\ \text{mSv/年}$ $427,812.5 \times 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{7}} \le 20$ $855,625 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{7}} \le 20$ $2^{\frac{x}{7}} \ge \frac{855,625}{20} = 42,781.25$

兩邊取自然對數解 $\frac{x}{7}$： $\frac{x}{7} \ge \frac{\ln(42,781.25)}{\ln 2} \approx \frac{10.6639}{0.69315} \approx 15.385$ $x \ge 15.385 \times 7 \approx 107.69\ \text{cm}$

(補充說明：若評閱標準僅以單一年限度上限 $50\ \text{mSv/年}$ 評估，則 $2^{\frac{x}{7}} \ge \frac{855,625}{50} = 17,112.5 \implies \frac{x}{7} \ge 14.063 \implies x \ge 98.44\ \text{cm}$。在工程設計規範上，應以較嚴格之 $20\ \text{mSv/年}$ 為主基準。)

核心觀念

本題考查中子活化分析（Neutron Activation Analysis, NAA）​之活化生成與放射衰變原理，核心概念包含：

1. 中子照射活化反應：樣品在中子通率 $\phi$ 下照射時間 $t_i$，靶核 $^{50}A$ 經由 $(n,\gamma)$ 反應生成放射性核種 $^{51}A$。在照射期間，生成速率與自身的放射衰變同時進行，照射結束時（$t_i$）之活度為： $A(t_i) = \sigma \phi N_0 \left(1 - e^{-\lambda t_i}\right)$ 其中：

• $\sigma$：熱中子反應截面（cross section，單位 $\mathrm{cm^2}$，$1\ \mathrm{b} = 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$）
• $\phi$：熱中子通率（neutron flux，單位 $\mathrm{cm^{-2}\,s^{-1}}$）
• $N_0$：樣品中目標靶核（$^{50}A$）之原子核總數
• $\lambda$：生成核種（$^{51}A$）之衰變常數，$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $(1 - e^{-\lambda t_i})$：飽和因子（saturation factor）

2. 冷卻衰變（Cooling Decay）：樣品離開反應爐後靜置時間 $t_d$，僅發生放射衰變，度量時的活度 $A(t_i + t_d)$ 為： $A(t_i + t_d) = A(t_i) e^{-\lambda t_d} = \sigma \phi N_0 \left(1 - e^{-\lambda t_i}\right) e^{-\lambda t_d}$

3. 微觀原子數與宏觀質量關係： $N_0 = \frac{m \cdot \theta \cdot N_A}{M}$ 其中：

• $m$：樣品中 $A$ 元素的總質量（$\mathrm{g}$）
• $\theta$：目標同位素 $^{50}A$ 之天然豐度（isotopic abundance）
• $N_A$：亞佛加厥常數（$6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$）
• $M$：$A$ 元素之平均原子量（$\mathrm{g/mol}$）

解題方法

步驟一：整理已知數值與單位統一

• 熱中子通率：$\phi = 2 \times 10^{12}\ \mathrm{cm^{-2}\,s^{-1}}$
• 反應截面：$\sigma = 13\ \mathrm{b} = 13 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$
• 半衰期：$T_{1/2} = 7\ \text{天}$，衰變常數 $\lambda = \frac{\ln 2}{7}\ \mathrm{day^{-1}}$
• 照射時間：$t_i = 2\ \text{週} = 14\ \text{天} = 2\,T_{1/2}$
• 冷卻時間：$t_d = 2\ \text{天}$
• 度量時之活度：$A(t_i + t_d) = 36{,}000\ \mathrm{Bq}$
• $^{50}A$ 天然豐度：$\theta = 30\% = 0.30$
• $A$ 元素平均原子量：$M = 50.4\ \mathrm{g/mol}$
• 亞佛加厥常數：$N_A = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$

步驟二：回推照射剛結束時的活度 $A(t_i)$

度量活度與照射結束時活度的關係為： $A(t_i + t_d) = A(t_i) \cdot e^{-\lambda t_d} = A(t_i) \cdot 2^{-t_d / T_{1/2}}$ 代入 $t_d = 2\ \text{天}$、$T_{1/2} = 7\ \text{天}$： $e^{-\lambda t_d} = 2^{-2/7} \approx 0.8203$ 故照射剛結束時之活度： $A(t_i) = \frac{36{,}000}{2^{-2/7}} = 36{,}000 \times 2^{2/7} \approx 43{,}885\ \mathrm{Bq}$

核心觀念

本題評量放射性母子核種連續衰變（$A \to B \to \dots$）之動態平衡觀念與數學推導能力，涉及以下核心原理與公式：

1. 半衰期與衰變常數的關係： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 由題意，$T_{1/2, A} = 97.4 \, T_{1/2, B}$，故衰變常數之比為： $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{T_{1/2, A}}{T_{1/2, B}} = 97.4 \implies \lambda_B = 97.4 \, \lambda_A$

2. 貝特曼方程式（Bateman Equation）： 密封容器初始僅有核種 $A$（即 $N_A(0) = N_{A0}$，$N_B(0) = 0$），在時間 $t$ 時兩核種的原子數分別為： $N_A(t) = N_{A0} e^{-\lambda_A t}$ $N_B(t) = \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} N_{A0} \left( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t} \right)$ 兩者的放射活度（$A_A = \lambda_A N_A$，$A_B = \lambda_B N_B$）分別為： $A_A(t) = \lambda_A N_{A0} e^{-\lambda_A t}$ $A_B(t) = \frac{\lambda_B \lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} N_{A0} \left( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t} \right) = \frac{\lambda_B}{\lambda_B - \lambda_A} A_A(t) \left( 1 - e^{-(\lambda_B - \lambda_A) t} \right)$

3. 母子活度相等之物理意涵： 當母核種半衰期大於子核種半衰期時（屬暫態平衡體系），子核種活度 $A_B(t)$ 會先隨時間上升至極大值後再隨母核種衰變而下降。對 $A_B(t)$ 微分求極值： $\frac{d A_B(t)}{dt} = 0 \iff \lambda_A e^{-\lambda_A t_m} = \lambda_B e^{-\lambda_B t_m}$ 此條件恰好滿足 $A_A(t_m) = A_B(t_m)$。換言之，子核種活度達到最大值的時間點 $t_m$，即為母子核種放射活度相等的時刻。

解題方法

(一) 求核種 $A$ 與 $B$ 的半衰期

1. 推導活度相等的時間條件： 令 $A_A(t) = A_B(t)$： $\lambda_A N_{A0} e^{-\lambda_A t} = \frac{\lambda_B \lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} N_{A0} \left( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t} \right)$ 兩邊同除以 $\lambda_A N_{A0}$ 並展開： $(\lambda_B - \lambda_A) e^{-\lambda_A t} = \lambda_B e^{-\lambda_A t} - \lambda_B e^{-\lambda_B t}$ 移項化簡得： $\lambda_A e^{-\lambda_A t} = \lambda_B e^{-\lambda_B t} \implies e^{(\lambda_B - \lambda_A) t} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ 兩邊取自然對數： $t = \frac{\ln\left(\frac{\lambda_B}{\lambda_A}\right)}{\lambda_B - \lambda_A}$

2. 代入已知數據求解衰變常數： 已知 $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = 97.4$，故 $\lambda_B - \lambda_A = 97.4 \, \lambda_A - \lambda_A = 96.4 \, \lambda_A$。 活度相等時間 $t = 113.5\text{ 小時}$： $113.5 = \frac{\ln(97.4)}{96.4 \, \lambda_A}$ $\lambda_A = \frac{\ln(97.4)}{96.4 \times 113.5} = \frac{4.5788}{10941.4} \approx 4.1849 \times 10^{-4}\text{ hr}^{-1}$

3. 計算半衰期：

• 核種 $A$ 的半衰期：