108 關務特考三等 輻射安全技術工程 密封放射性物質(包括非密封放射性物質) 考古題詳解

核心觀念

1. 蓋格計數器之死時間模型（非癱瘓型，Non-paralyzable Model） 蓋格計數器（GM Counter）在游離腔發生氣體放電後，因大量正離子鞘移動緩慢而造成陽極電場驟降，在回復正常電位前（死時間 $\tau$ 內）無法響應任何入射輻射；且後續入射之輻射不會使死時間延長。因此，蓋格計數器在計數管原理上嚴格遵循**非癱瘓型（Non-paralyzable）**計數模型。

• 真計數率（校正計數率）與儀器觀測讀值關係式： $n = \frac{m}{1 - m\tau}$
• 由真計數率推求儀器觀測讀值關係式： $m = \frac{n}{1 + n\tau}$ 其中：
• $n$：真計數率（True count rate / 校正計數率），單位為 $\mathrm{cps}$。
• $m$：儀器觀測計數率（Observed count rate / 計數率讀值），單位為 $\mathrm{cps}$。
• $\tau$：無感時間（Dead time 或 Resolving time），單位為 $\mathrm{s}$。

2. 計數統計與誤差傳遞（Error Propagation） 放射性衰變為卜瓦松分佈（Poisson distribution）。若計測時間為 $t$ 秒，觀測總計數為 $N = m \cdot t$，其標準差為 $\sigma_N = \sqrt{N} = \sqrt{mt}$，故觀測計數率之標準差為： $\sigma_m = \frac{\sigma_N}{t} = \sqrt{\frac{m}{t}}$ 依據單變數誤差傳播定律，真計數率 $n$ 的標準不確定度（誤差）$\sigma_n$ 為： $\sigma_n = \left| \frac{dn}{dm} \right| \sigma_m = \frac{1}{(1 - m\tau)^2} \sigma_m = \frac{\sqrt{m/t}}{(1 - m\tau)^2}$

• 題目若未明給計測時間 $t$，在國家考試慣例上應列出含計測時間 $t$ 之解析通式，並以標準計測時間 $t = 1\ \mathrm{s}$（或直接求取相對誤差）給出具體數值。

3. 真計數率的線性疊加性 在忽略背景計數率的條件下，放射源強度在空間中獨立衰變，真計數率具可加性： $n_{A+B} = n_A + n_B \implies n_B = n_{A+B} - n_A$

• 注意：儀器觀測讀值 $m$ 受死時間非線性壓抑影響，不具可加性（即 $m_{A+B} \neq m_A + m_B$）。

解題方法

(一) 計算 $A$ 射源的校正計數率與誤差

1. 計算校正計數率 $n_A$ 已知觀測計數率 $m_A = 1996\ \mathrm{cps}$，無感時間 $\tau = 1.11 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}$。 代入非癱瘓型無感時間修正公式： $m_A \tau = 1996 \times (1.11 \times 10^{-4}) = 0.221556$ $1 - m_A \tau = 1 - 0.221556 = 0.778444$ $n_A = \frac{m_A}{1 - m_A \tau} = \frac{1996}{0.778444} \approx 2564.1\ \mathrm{cps}$

2. 計算誤差（標準差 $\sigma_{n_A}$） 微分推導轉換係數： $\frac{dn}{dm} = \frac{d}{dm}\left[ \frac{m}{1 - m\tau} \right] = \frac{(1 - m\tau) - m(-\tau)}{(1 - m\tau)^2} = \frac{1}{(1 - m\tau)^2}$ 代入已知值： $\frac{1}{(1 - m_A \tau)^2} = \frac{1}{(0.778444)^2} = \frac{1}{0.605975} \approx 1.6502$

• 解析通式（假設計測時間為 $t$ 秒）： $\sigma_{n_A} = \frac{\sqrt{m_A / t}}{(1 - m_A \tau)^2} = \frac{\sqrt{1996 / t}}{0.605975} \approx \frac{73.7}{\sqrt{t}}\ \mathrm{cps}$

核心觀念

本題考核核種衰變圖的判讀：用質量數與原子序守恆判定子核，依能階差求放射能量，並區分衰變分支率與輻射產率。β 衰變放出的電子或正子具有連續能譜，因此圖示的 β 能量通常指最大動能。

解題方法

銅-64 的母核為 ${}^{64}_{29}\mathrm{Cu}$。由衰變圖判讀，左側子核 $X$ 的原子序比銅少 1，右側子核 $Y$ 的原子序比銅多 1；質量數均維持 64。因此：

$X$ 的激發態能階為 $1.346\ \mathrm{MeV}$，母核與基態的能量差為 $1.675\ \mathrm{MeV}$。圖示的 $E_1$ 為電子捕獲至該激發態時中微子的能量：

$E_2$ 為正子衰變的最大動能。正子衰變須先扣除正子生成所需的 $2m_ec^2=1.022\ \mathrm{MeV}$：

衰變與輻射產率

• 電子捕獲（EC）至鎳-64： 發生率為 $43.53\%$。直接至基態時，能量主要由中微子帶走，約為 $1.675\ \mathrm{MeV}$；

核心觀念

本題為放射防護與射源屏蔽設計之經典計算題，涵蓋兩大核心原理：

1. 曝露量（Exposure）與空氣吸收劑量（Absorbed Dose in Air）之物理量轉換： 題目給予之加馬常數 $\Gamma$ 定義於曝露率（單位為 $\mathrm{mR/h}$），而量測值為吸收劑量率（單位為 $\mu\mathrm{Gy/h}$）。兩者轉換需運用空氣產生一離子對所需之平均能量 $\bar{W}/e$（$33.97\ \mathrm{eV/ip} = 33.97\ \mathrm{J/C}$）以及倫琴之電荷定義（$1\ \mathrm{R} = 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg}$）： $1\ \mathrm{R} = 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg} \times 33.97\ \mathrm{J/C} = 8.764 \times 10^{-3}\ \mathrm{J/kg} = 8.764 \times 10^{-3}\ \mathrm{Gy} = 8.764\ \mathrm{mGy}$ 即 $1\ \mathrm{mR} = 8.764\ \mu\mathrm{Gy}$。
2. 點射源曝露率與活度之關係： $\dot{X} = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2}$ 其中 $\dot{X}$ 為曝露率、$\Gamma$ 為特定加馬射線常數、$A$ 為射源活度、$d$ 為量測距離。
3. 距離平方反比定律（Inverse Square Law）： 在無屏蔽之均勻介質中，點射源之劑量率與距離平方成反比： $\frac{\dot{D}_1}{\dot{D}_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$
4. 射線指數衰減與半值層（Half-Value Layer, HVL）： 題目指示不考慮增建因數（$B = 1$），單能或窄射束之衰減遵循指數律： $\dot{D} = \dot{D}_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{x / \mathrm{HVL}} = \dot{D}_0 \, e^{-\mu x}$

解題方法

(一) 計算 $\mathrm{Cs}$-137 點射源活度（$\mathrm{mCi}$）

1. 推導劑量率與曝露率之轉換係數： 根據題目給定條件：

• $1\ \mathrm{R} = 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg}$
• 空氣電離平均能量 $W = 33.97\ \mathrm{eV} = 33.97 \times 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$，而單位基本電荷 $e = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，故 $\dfrac{\bar{W}}{e} = 33.97\ \mathrm{J/C}$。

$1\ \mathrm{R}$ 照射量對應之空氣吸收劑量為： $D_{\text{air}} = 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg} \times 33.97\ \mathrm{J/C} = 8.7643 \times 10^{-3}\ \mathrm{Gy} = 8.7643\ \mathrm{mGy}$ 兩邊同乘 $10^{-3}$，得： $1\ \mathrm{mR} = 8.7643\ \mu\mathrm{Gy}$

2. 計算距射源 $3\ \mathrm{m}$ 處之曝露率 $\dot{X}_1$： $\dot{X}_1 = \frac{60\ \mu\mathrm{Gy/h}}{8.7643\ \mu\mathrm{Gy/mR}} \approx 6.846\ \mathrm{mR/h}$

核心觀念

本題評量放射性衰變鏈之「放射平衡」理論、母子核活度關係，以及活度定義與原子蛻變數之計算。

1. 放射平衡（Radioactive Equilibrium）的判定：

• 母核 ${}^{90}\mathrm{Sr}$ 之半衰期 $T_1 = 28.6\text{ 年}$。
• 子核 ${}^{90}\mathrm{Y}$ 之半衰期 $T_2 = 64\text{ 小時} \approx 2.67\text{ 天}$。
• 由於母核半衰期遠大於子核半衰期（$T_1 \gg T_2$，相差近 4000 倍），此衰變鏈將達到永久平衡（Secular Equilibrium，或稱長期平衡）。

2. 達成永久平衡的時間條件：

• 由貝特曼方程式（Bateman equation），從純母核開始，子核活度累積達到與母核平衡約需經歷 $7 \sim 10$ 個子核半衰期： $t_{\text{eq}} \approx 7 \times T_2 = 7 \times 64\text{ 小時} \approx 448\text{ 小時} \approx 18.7\text{ 天}$
• 題目所求時間點 $t_1 = 28.6\text{ 年}$ 遠大於 $18.7\text{ 天}$，故在 $t_1$ 時母子核早已處於穩固的永久平衡狀態。

3. 永久平衡下的活度關係：

• 在永久平衡下，子核活度等於母核活度： $A_2(t) \approx A_1(t)$

4. 活度（Activity）的定義與蛻變數積分：

• 活度代表單位時間內的原子蛻變次數（$1\text{ Bq} = 1\text{ 次蛻變/秒}$）： $A(t) = \left|\frac{dN_{\text{蛻變}}}{dt}\right|$
• 在時間區間 $[t_1, t_2]$ 內，子核蛻變的總原子數 $\Delta N$ 為活度對時間的積分： $\Delta N = \int_{t_1}^{t_2} A_2(t)\, dt$

解題方法

步驟一：計算第 28.6 年（$t_1$）時母核與子核的活度

母核 ${}^{90}\mathrm{Sr}$ 的半衰期為 $28.6\text{ 年}$，經過 $t_1 = 28.6\text{ 年}$ 恰好為一個半衰期（$n = \frac{28.6}{28.6} = 1$）。 此時母核的活度 $A_1(t_1)$ 為： $A_1(t_1) = A_1(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 2000\text{ Bq} \times 0.5 = 1000\text{ Bq}$

因系統處於永久平衡，子核 ${}^{90}\mathrm{Y}$ 的活度與母核相等： $A_2(t_1) \approx A_1(t_1) = 1000\text{ Bq}$

步驟二：評估 32 小時區間內的活度變化

自 $t_1$（28.6 年）至 $t_2$（28.6 年又 32 小時），經歷時間區間 $\Delta t = 32\text{ 小時}$。 相較於母核的半衰期 $28.6\text{ 年} \approx 250,536\text{ 小時}$： $\Delta t \ll T_1$ 在這 32 小時內，母核 ${}^{90}\mathrm{Sr}$ 衰變的比例為：

核心觀念

本題結合了中子活化分析法（Neutron Activation Analysis, NAA）與逆同位素稀釋分析法（Reverse Isotope Dilution Analysis, RIDA），評量考生在輻射化學分離及放射性活度計算的綜合應用能力。

1. 同位素稀釋分析原理（比活度守恆）： 經熱中子照射後的金屬薄片中，鈷元素已轉化出放射性產物 $^{60}\mathrm{Co}$。在溶解樣品後加入已知質量的非放射性穩定鈷作為「載體（Carrier）」，使其與樣品中的放射性鈷充分混合達到同位素交換平衡。 不論後續離子交換純化的**化學產率（回收率）為何，純化分離出的純鈷其比活度（Specific Activity, $S$）**與混合溶液整體之比活度恆等： $S = \frac{\text{放射性活度}}{\text{鈷金屬總質量}} = \frac{A_{\text{分離}}}{m_{\text{分離}}} = \frac{A_0}{x + w_c}$

• $x$：$100\ \mathrm{mg}$ 樣品中原有的非放射性鈷質量（$\mathrm{mg}$）
• $w_c$：加入之穩定純鈷載體質量（$\mathrm{mg}$）
• $A_0$：$100\ \mathrm{mg}$ 樣品在照射後所具備的 $^{60}\mathrm{Co}$ 初始總活度（$\mathrm{Bq}$）
• $m_{\text{分離}}$、$A_{\text{分離}}$：純化後實際稱得之鈷金屬重與量測之放射活度

2. 中子活化放射活度生成公式： 熱中子捕獲反應 $^{59}\mathrm{Co}(n, \gamma)^{60}\mathrm{Co}$ 在照射結束瞬間的放射活度公式為： $A_0 = N \sigma \phi \left(1 - e^{-\lambda t_{\text{irr}}}\right)$

• $N$：靶核 $^{59}\mathrm{Co}$ 的原子個數
• $\sigma$：熱中子捕獲反應截面（$\mathrm{cm^2}$）
• $\phi$：熱中子通率（$\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}$）
• $\lambda$：生成核種 $^{60}\mathrm{Co}$ 的衰變常數（$\mathrm{s^{-1}}$），$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
• $t_{\text{irr}}$：反應堆照射時間（$\mathrm{s}$）

解題方法

(一) 計算金屬薄片中鈷的重量百分比

1. 建立樣品一與樣品二之比活度方程式： 設每份 $100\ \mathrm{mg}$ 樣品中原生鈷質量為 $x\ (\mathrm{mg})$，照射後產生的 $^{60}\mathrm{Co}$ 放射活度為 $A_0\ (\mathrm{Bq})$。

• 樣品一：加入載體 $w_{c1} = 20\ \mathrm{mg}$，純化得 $m_1 = 12.48\ \mathrm{mg}$，活度 $A_1 = 2.98\times 10^5\ \mathrm{Bq}$。 分離所得純鈷之比活度 $S_1$ 為： $S_1 = \frac{A_1}{m_1} = \frac{2.98\times 10^5\ \mathrm{Bq}}{12.48\ \mathrm{mg}} \approx 23878.21\ \mathrm{Bq/mg}$ 由比活度守恆： $A_0 = S_1 (x + 20) \quad \text{--- (式 1)}$

• 樣品二：加入載體 $w_{c2} = 40\ \mathrm{mg}$，純化得 $m_2 = 26.84\ \mathrm{mg}$，活度 $A_2 = 3.49\times 10^5\ \mathrm{Bq}$。 分離所得純鈷之比活度 $S_2$ 為： $S_2 = \frac{A_2}{m_2} = \frac{3.49\times 10^5\ \mathrm{Bq}}{26.84\ \mathrm{mg}} \approx 13002.98\ \mathrm{Bq/mg}$ 由比活度守恆： $A_0 = S_2 (x + 40) \quad \text{--- (式 2)}$

2. 聯立求解 $x$ 與 $A_0$： 將 (式 1) 與 (式 2) 等置： $S_1 (x + 20) = S_2 (x + 40)$ $(S_1 - S_2) x = 40 S_2 - 20 S_1$ $x = \frac{40 S_2 - 20 S_1}{S_1 - S_2}$

代入各比活度數值： $40 S_2 = 40 \times 13002.98 = 520119.2\ \mathrm{Bq}$ $20 S_1 = 20 \times 23878.21 = 477564.2\ \mathrm{Bq}$ $S_1 - S_2 = 23878.21 - 13002.98 = 10875.23\ \mathrm{Bq/mg}$

解得原生鈷質量 $x$： $x = \frac{520119.2 - 477564.2}{10875.23} = \frac{42555.0}{10875.23} \approx 3.913\ \mathrm{mg}$

3. 求鈷的重量百分比： 取樣分析的樣品重量為 $100\ \mathrm{mg}$，且題目假設鈷均勻分散於金屬薄片中： $\text{鈷重量百分比} = \frac{x}{100\ \mathrm{mg}} \times 100\% = \frac{3.913\ \mathrm{mg}}{100\ \mathrm{mg}} \times 100\% \approx 3.91\%$

4. 計算 $100\ \mathrm{mg}$ 樣品之放射活度 $A_0$（供第二小題使用）： 將 $x = 3.913\ \mathrm{mg}$ 代回 (式 1)： $A_0 = 23878.21\ \mathrm{Bq/mg} \times (3.913 + 20)\ \mathrm{mg} \approx 5.710\times 10^5\ \mathrm{Bq}$ （若代入式 2 驗算：$A_0 = 13002.98 \times 43.913 \approx 5.710\times 10^5\ \mathrm{Bq}$，完全吻合）。

(二) 計算熱中子通率 $\phi$

以 $100\ \mathrm{mg}$ 樣品為基準，整理各項物理參數（採 $\mathrm{CGS}$ / $\mathrm{SI}$ 常用制，時間換算為秒）：

核心觀念

1. 題目語意辨析： 題幹雖敘述為「累積之吸收劑量率」，但其指定單位為戈雷（$\mathrm{Gy}$），而非劑量率單位（如 $\mathrm{Gy/h}$ 或 $\mathrm{Gy/day}$）。在放射物理與輻射劑量學的國家考試中，此為常見之用詞筆誤，依據物理因次與單位，本題實質考查為甲狀腺在 14 天內的**「累積吸收劑量」（Cumulative Absorbed Dose, $D$）**。

2. 有效半衰期（Effective Half-life, $T_e$）： 放射性核種進入人體器官後，同時受物理放射衰變（物理半衰期 $T_p$）與人體代謝排泄（生物半衰期 $T_b$）影響，其有效衰變常數 $\lambda_e$ 與有效半衰期 $T_e$ 滿足調和平均關係： $\frac{1}{T_e} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b} \implies T_e = \frac{T_p \cdot T_b}{T_p + T_b}$ $\lambda_e = \frac{\ln 2}{T_e}$

3. 累積活度（Cumulated Activity, $\tilde{A}$）： 某時間區間 $[0, t]$ 內器官內核種發生的總衰變次數，即活度對時間的積分： $\tilde{A}(t) = \int_0^t A(\tau)\,d\tau = \int_0^t A_0 e^{-\lambda_e \tau}\,d\tau = \frac{A_0}{\lambda_e} \left(1 - e^{-\lambda_e t}\right)$

4. 每次衰變組織吸收之有效能量（$\bar{E}_{\text{abs}}$）： 結合射線能量與吸收分率（Absorbed Fraction, $\phi$）： $\bar{E}_{\text{abs}} = \bar{E}_\beta \cdot \phi_\beta + \bar{E}_\gamma \cdot \phi_\gamma$

5. 吸收劑量（Absorbed Dose, $D$）： 組織吸收之總輻射能量除以組織質量（$m$）： $D = \frac{\tilde{A}(t) \cdot \bar{E}_{\text{abs}}}{m}$

解題方法

步驟一：求甲狀腺內的初始活度（$A_0$）

口服活度為 $100\ \mu\mathrm{Ci}$，其中 15% 立即被甲狀腺攝取： $A_0 = 100\ \mu\mathrm{Ci} \times 15\% = 15\ \mu\mathrm{Ci}$ 轉換為國際標準單位制（$\mathrm{Bq}$，即每秒衰變次數）： $1\ \mu\mathrm{Ci} = 3.7 \times 10^4\ \mathrm{Bq}$ $A_0 = 15 \times 3.7 \times 10^4\ \mathrm{Bq} = 5.55 \times 10^5\ \mathrm{Bq}\ (\text{或 }\mathrm{s}^{-1})$

步驟二：計算有效半衰期（$T_e$）與有效衰變常數（$\lambda_e$）

已知物理半衰期 $T_p = 8\ \text{天}$，生物半衰期 $T_b = 80\ \text{天}$： $T_e = \frac{8 \times 80}{8 + 80} = \frac{640}{88} = \frac{80}{11} \approx 7.2727\ \text{天}$ 有效衰變常數： $\lambda_e = \frac{\ln 2}{T_e} = \frac{0.69315}{7.2727\ \text{天}} \approx 0.09531\ \text{天}^{-1}$ 換算至以秒（$\mathrm{s}$）為單位： $\lambda_e = \frac{0.09531}{86400\ \mathrm{s}} \approx 1.1031 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}^{-1}$

步驟三：計算 14 天內甲狀腺之累積衰變次數（$\tilde{A}$）

設定時間 $t = 14\ \text{天}$，衰變指數項為： $\lambda_e \cdot t = 0.09531\ \text{天}^{-1} \times 14\ \text{天} \approx 1.3343$ $e^{-\lambda_e t} = e^{-1.3343} \approx 0.2633$ 累積衰變次數： $\tilde{A}(14\ \text{天}) = \frac{A_0}{\lambda_e} \left(1 - e^{-\lambda_e t}\right) = \frac{5.55 \times 10^5\ \mathrm{s}^{-1}}{1.1031 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}^{-1}} \times (1 - 0.2633)$

核心觀念

本題評量放射物理與輻射防護之基礎衰減計算，核心觀念包含：

1. 微觀反應截面與質量衰減係數之關係： 單一元素的質量衰減係數（Mass Attenuation Coefficient, $\mu/\rho$）與其原子微觀反應截面（Microscopic Cross Section, $\sigma$）之關係式為： $\frac{\mu}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{A} \cdot \sigma$ 其中 $N_{\mathrm{A}}$ 為亞佛加厥常數（取 $6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$），$A$ 為原子量（$\mathrm{g/mol}$），$\sigma$ 為微觀反應截面（$\mathrm{cm^2/atom}$，$1\ \text{barn} = 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$）。

2. 混合物（合金）的布拉格加成法則（Bragg's Additivity Rule）： 合金整體的質量衰減係數，等於各組成元素質量衰減係數的質量加權平均： $\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\text{alloy}} = \sum w_i \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i = w_{\mathrm{Cu}}\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{Cu}} + w_{\mathrm{Al}}\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{Al}}$ 其中 $w_{\mathrm{Cu}}$ 與 $w_{\mathrm{Al}}$ 分別為銅與鋁的質量分率，且滿足 $w_{\mathrm{Cu}} + w_{\mathrm{Al}} = 1$。

3. 直線衰減係數與密度之關係： $\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\text{alloy}} = \frac{\mu_{\text{alloy}}}{\rho_{\text{alloy}}}$

解題方法

步驟一：計算銅與鋁之個別質量衰減係數

已知 $1\ \text{barn} = 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$，取 $N_{\mathrm{A}} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$。

1. 銅（Cu）： $\sigma_{\mathrm{Cu}} = 9.54\ \text{barn} = 9.54 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$，$A_{\mathrm{Cu}} = 63.6\ \mathrm{g/mol}$ $\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{Cu}} = \frac{6.02 \times 10^{23} \times 9.54 \times 10^{-24}}{63.6} = 0.0903\ \mathrm{cm^2/g}$

2. 鋁（Al）： $\sigma_{\mathrm{Al}} = 4.15\ \text{barn} = 4.15 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$，$A_{\mathrm{Al}} = 27.0\ \mathrm{g/mol}$ $\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{Al}} = \frac{6.02 \times 10^{23} \times 4.15 \times 10^{-24}}{27.0} \approx 0.09253\ \mathrm{cm^2/g}$

步驟二：計算合金整體的質量衰減係數

已知合金直線衰減係數 $\mu_{\text{alloy}} = 0.664\ \mathrm{cm^{-1}}$，合金密度 $\rho_{\text{alloy}} = 7.3\ \mathrm{g/cm^3}$：