113 身心障礙特考三等 電力工程 工程數學 考古題詳解

核心觀念

將方程式寫成微分形式 $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$。若在考慮區域內

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},$$

則此方程式為正合方程式，存在勢函數 $F(x,y)$ 使得 $dF=M\,dx+N\,dy$；其通解為 $F(x,y)=C$。

解題方法

原式為

$$2x\cos(3y)-3x^2\sin(3y)\frac{dy}{dx}=0。$$

兩邊乘以 $dx$，整理成

$$2x\cos(3y)\,dx-3x^2\sin(3y)\,dy=0。$$

因此

$$M(x,y)=2x\cos(3y),\qquad N(x,y)=-3x^2\sin(3y)。$$

（一）證明為正合方程式

分別對 $y$ 與 $x$ 偏微分：

$$\frac{\partial M}{\partial y} =-6x\sin(3y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =-6x\sin(3y)。$$

兩者相等，因此此方程式為正合方程式。

（二）求一般解

由 $F_x=M$，對 $x$ 積分：

$$F(x,y)=\int 2x\cos(3y)\,dx =x^2\cos(3y)+g(y),$$

其中 $g(y)$ 是僅依賴 $y$ 的函數。再對 $y$ 微分，並令 $F_y=N$：

$$F_y=-3x^2\sin(3y)+g'(y) =-3x^2\sin(3y)。$$

核心觀念

本題考查矩陣可逆的判別、行列式與反矩陣的計算，以及行列式在矩陣乘冪下的性質。對方陣 $A$：

• $A$ 可逆若且唯若 $\det(A)\ne 0$。
• $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$，其中 $\operatorname{adj}(A)$ 為伴隨矩陣。
• $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$，且 $\det(B^n)=(\det B)^n$。

解題方法

先用三階行列式展開求 $\det(A)$，據此證明 $A$ 可逆。接著計算餘因子矩陣並轉置，求出伴隨矩陣與反矩陣。最後利用行列式的乘法性質計算 $\det(B^4)$，無須直接求出 $B^4$。

（一）證明 $A$ 可逆

沿第一列展開：

$$\begin{aligned} \det(A) &=7 \begin{vmatrix} -2&4\\ 2&-1 \end{vmatrix} -(-3) \begin{vmatrix} 5&4\\ 1&-1 \end{vmatrix} +(-2) \begin{vmatrix} 5&-2\\ 1&2 \end{vmatrix}\\ &=7\bigl[(-2)(-1)-4(2)\bigr] +3\bigl[5(-1)-4(1)\bigr] -2\bigl[5(2)-(-2)(1)\bigr]\\ &=7(-6)+3(-9)-2(12)\\ &=-93. \end{aligned}$$

因為 $\det(A)=-93\ne 0$，所以 $A$ 為可逆矩陣。

（二）計算 $\det(A)$

由上列展開結果：

$$\boxed{\det(A)=-93}$$

（三）求 $A$ 的反矩陣

各元素的餘因子為：

核心觀念

1. 矩陣秩（Rank）的定義： 矩陣 $A$ 的秩記為 $\text{rank}(A)$，定義為矩陣中「線性獨立的列向量（Row vector）最大數目」，亦等於「線性獨立的行向量（Column vector）最大數目」（即列秩等於行秩）。
2. 秩的維度上限定理： 若矩陣 $A$ 的大小為 $m \times n$，則其秩受限於列數與行數的較小者，即： $\text{rank}(A) \le \min(m, n)$ 本題矩陣 $A$ 為 $5 \times 4$ 矩陣，故 $\text{rank}(A) \le \min(5, 4) = 4$。
3. 高斯消去法與列梯階形式（Row Echelon Form, REF）： 基本列運算（Elementary Row Operations）不改變矩陣的秩。將矩陣經由基本列運算化為列梯階形式後，「非零列的數目」即為該矩陣的秩。

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解題方法

本題採用**基本列運算（高斯消去法）**將矩陣 $A$ 化簡為列梯階形式，並計算非零列數：

給定矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -1\\ -3 & -6 & -6 & 3\\ 4 & 9 & 9 & -4\\ -2 & -1 & -1 & 2\\ 5 & 8 & 9 & -5 \end{bmatrix}$$

步驟一：以第 1 列為樞紐，消去第 1 行其他元素 執行以下列運算：

• $R_2 + 3R_1 \to R_2$
• $R_3 - 4R_1 \to R_3$
• $R_4 + 2R_1 \to R_4$
• $R_5 - 5R_1 \to R_5$

計算各列變化：

• $R_2$：$[-3, -6, -6, 3] + 3[1, 2, 2, -1] = [0, 0, 0, 0]$
• $R_3$：$[4, 9, 9, -4] - 4[1, 2, 2, -1] = [0, 1, 1, 0]$
• $R_4$：$[-2, -1, -1, 2] + 2[1, 2, 2, -1] = [0, 3, 3, 0]$
• $R_5$：$[5, 8, 9, -5] - 5[1, 2, 2, -1] = [0, -2, -1, 0]$

矩陣變為：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

步驟二：將零列移至最下方並以第 2 個非零列進行消去 交換列位置，將全零列 $R_2$ 移至底端，依序排列非零列：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

以新的第 2 列 $[0, 1, 1, 0]$ 為基準消去其下方元素：

• $R_3 - 3R_2 \to R_3$：$[0, 3, 3, 0] - 3[0, 1, 1, 0] = [0, 0, 0, 0]$
• $R_4 + 2R_2 \to R_4$：$[0, -2, -1, 0] + 2[0, 1, 1, 0] = [0, 0, 1, 0]$

矩陣變為：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

核心觀念

本題屬於柯西—尤拉常微分方程式（Cauchy-Euler Differential Equation，又稱等維線性微分方程式）的齊次求解問題。

標準二階柯西—尤拉方程式型態為： $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + a x \frac{dy}{dx} + b y = 0$

其核心解題觀念如下：

1. 假設解的形式：令 $y = x^m$（假設 $x > 0$），代入原方程式即可將微分方程式轉換為求未知數 $m$ 的代數特徵方程式（Auxiliary/Indicial Equation）。
2. 輔助特徵方程式公式： $m(m-1) + a m + b = 0 \iff m^2 + (a-1)m + b = 0$
3. 相異實根通解定理：若特徵方程式之根為兩相異實根 $m_1 \neq m_2$，則微分方程式之通解為： $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ 其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數。

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解題方法

步驟一：設定試驗解並求各階導函數 設試驗解為 $y = x^m$，對其連續求導： $\frac{dy}{dx} = m x^{m-1}$ $\frac{d^2y}{dx^2} = m(m-1)x^{m-2}$

步驟二：代入原微分方程式 將 $y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}$ 代回題目原式： $x^2 \left[ m(m-1)x^{m-2} \right] - x \left[ m x^{m-1} \right] - 3\left[ x^m \right] = 0$

利用指數律整理各項（每一項的 $x$ 次方皆為 $m$）： $m(m-1)x^m - m x^m - 3x^m = 0$ $\left[ m(m-1) - m - 3 \right] x^m = 0$

步驟三：求解特徵方程式 因 $x^m \neq 0$，可得指標特徵方程式： $m^2 - m - m - 3 = 0$ $m^2 - 2m - 3 = 0$

進行因式分解： $(m - 3)(m + 1) = 0$ 解得兩相異實根： $m_1 = -1, \quad m_2 = 3$

步驟四：寫出齊次通解 對應之兩個線性獨立解（基底）為 $y_1 = x^{-1}$ 與 $y_2 = x^3$。由線性疊加原理，該二階常微分方程式之通解為： $y = c_1 x^{-1} + c_2 x^3$

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選項分析

核心觀念

本題評量線性代數中線性映射（Linear Transformation）的基本性質與基本子空間維度，涵蓋以下核心定理與定義：

1. 標準矩陣（Standard Matrix）： 對於線性映射 $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，存在唯一的標準矩陣 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 使得 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$。
2. 矩陣的秩（Rank）與列空間維度： 矩陣 $A$ 的「列空間（Row space）」與「行空間（Column space）」維度皆等於矩陣的秩，即：

$$\dim(\operatorname{Row}(A)) = \dim(\operatorname{Col}(A)) = \operatorname{rank}(A)$$

3. 維度定理（Rank-Nullity Theorem）： 若 $T: V \to W$ 為線性映射，則：

$$\operatorname{rank}(T) + \operatorname{nullity}(T) = \dim(V)$$

其中 $\operatorname{nullity}(T) = \dim(\operatorname{Ker}(T))$ 為零核空間（Null space）之維度。 4. 一對一（Injective）的充要條件： 線性映射 $T$ 是一對一函數的充要條件為其零核空間僅包含零向量，即 $\operatorname{Ker}(T) = \{\mathbf{0}\}$（亦即 $\operatorname{nullity}(T) = 0$）。

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解題方法

步驟一：求出線性映射 $T$ 的標準矩陣 $A$

題目給定線性映射 $T(x,y) = (2x+y,\ 3x+4y)$，以行向量形式表示為：

$$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3x + 4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

因此，$T$ 的標準矩陣為：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

步驟二：計算矩陣的行列式與判斷可逆性

計算方陣 $A$ 的行列式：

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5 \neq 0$$

由於 $\det(A) \neq 0$，$A$ 為非奇異矩陣（可逆矩陣），此二階方陣為滿秩（Full rank）。

步驟三：推導各子空間的維度

1. 秩（Rank）：

$$\operatorname{rank}(T) = \operatorname{rank}(A) = 2$$

2. 零核空間維度（Nullity）： 由維度定理可知：

核心觀念

1. 斜對稱矩陣（Skew-Symmetric Matrix）的定義 若一實數方陣 $A$ 滿足其轉置矩陣等於其負矩陣，即： $A^T = -A$ 則稱 $A$ 為斜對稱矩陣（亦稱反對稱矩陣）。
2. 元素間的對偶關係 以矩陣元素表示，對所有列指標 $i$ 與行指標 $j$： $a_{ji} = -a_{ij} \quad \text{或} \quad a_{ij} + a_{ji} = 0$

• 主對角線元素：當 $i = j$ 時，$a_{ii} = -a_{ii} \implies 2a_{ii} = 0 \implies a_{ii} = 0$（主對角線元素必全為 $0$）。
• 非對角線元素：以主對角線為對稱軸，相對應位置的元素互為相反數（相加為 $0$）。

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解題方法

題目給定 $3 \times 3$ 矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3\\ a & 0 & 3\\ b & c & 0 \end{bmatrix}$$

已知 $A$ 為斜對稱矩陣，直接利用非對角線對稱元素關係 $a_{ji} = -a_{ij}$ 列式求解：

1. 求實常數 $a$： 對應第 2 列第 1 行與第 1 列第 2 行元素： $a = -(-2) = 2$
2. 求實常數 $b$： 對應第 3 列第 1 行與第 1 列第 3 行元素： $b = -(-3) = 3$
3. 求實常數 $c$： 對應第 3 列第 2 行與第 2 列第 3 行元素：

核心觀念

本題評量行列式的化簡與計算技巧，為線性代數（工程數學）常考的標準題型。主要涉及以下核心定理與觀念：

1. 行列式的基本運算性質：

• 將矩陣某一列（行）的常數倍加至另一列（行），其行列式值維持不變。
• 矩陣某一列（行）若有公因式，可直接提出至行列式外。

2. 特殊結構矩陣化簡法：若矩陣各列（或各行）元素總和相等，可將其餘各行（列）全部加至同一行（列），提出公因式後製造出大量具相同元素的列（行），進而藉由相減化為上三角矩陣。
3. 特徵值與矩陣行列式引理（Matrix Determinant Lemma）：若將矩陣視為純量矩陣加上秩為 1 的外積矩陣 $A = xI + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$，則其特徵值可直接透過外積矩陣的跡數（Trace）與秩數判定，行列式即為所有特徵值之連乘積。

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解題方法

方法一：基本列／行運算化簡為上三角矩陣（考試標準解法）

步驟 1：觀察矩陣元素特性 觀察矩陣各列元素之和：

• 第 1 列元素和：$(1+x) + 2 + 3 + 4 = 10 + x$
• 第 2 列元素和：$1 + (2+x) + 3 + 4 = 10 + x$
• 第 3 列元素和：$1 + 2 + (3+x) + 4 = 10 + x$
• 第 4 列元素和：$1 + 2 + 3 + (4+x) = 10 + x$

各列元素總和皆為 $10+x$。

步驟 2：利用行運算提出公因式 將第 2、3、4 行（Column）依序加至第 1 行（記為 $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$），行列式值不變：

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 10+x & 2 & 3 & 4 \\ 10+x & 2+x & 3 & 4 \\ 10+x & 2 & 3+x & 4 \\ 10+x & 2 & 3 & 4+x \end{vmatrix}$$

將第 1 行的公因式 $(10+x)$ 提出：

$$\det(A) = (10+x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2+x & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3+x & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4+x \end{vmatrix}$$

步驟 3：利用列運算化為上三角矩陣 以第 1 列為基準，將第 2、3、4 列分別減去第 1 列（記為 $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$、$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$、$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$）：

$$\det(A) = (10+x) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}$$

步驟 4：計算上三角矩陣的行列式 此時矩陣已化為上三角矩陣，其行列式值即為主對角線元素相乘：

$$\det(A) = (10+x) \cdot (1 \cdot x \cdot x \cdot x) = x^3(10+x)$$

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方法二：矩陣行列式引理／特徵值拆解法（進階速解法）

核心觀念

本題評量特徵向量（固有向量，Eigenvector）與特徵值（固有值，Eigenvalue）的基本定義。

設 $A$ 為 $n \times n$ 的方陣，若存在一非零向量 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 與一純量 $\lambda$，滿足線性關係式： $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 則稱 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的特徵值，非零向量 $\mathbf{x}$ 為矩陣 $A$ 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量。

幾何意涵上，特徵向量經矩陣 $A$ 變換後，其方向保持不變（僅被放大或縮小 $\lambda$ 倍，若 $\lambda < 0$ 則反向）。因此，只要矩陣與向量的乘積 $A\mathbf{x}$ 與原向量 $\mathbf{x}$ 不成等比例，該向量即非特徵向量。

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解題方法

本題為單選題，且已給出四個候選向量。在國考考場上，**「由定義直接驗證（代入法）」**遠比「先解特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 再反求特徵空間」更快速且不易計算錯誤。

解題步驟如下：

1. 將各選項之向量 $\mathbf{x}$ 分別與矩陣 $A$ 相乘，計算 $A\mathbf{x}$。
2. 觀察結果向量 $A\mathbf{x}$ 與原向量 $\mathbf{x}$ 是否滿足 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$（即各對應分量的比值是否皆為同一常數 $\lambda$）。
3. 比值不一致者，即非特徵向量。

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選項分析

給定矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

• (A) 選項錯誤（$I$ 是特徵向量）：

$$A I = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0(-1) - 1(1) - 3(1) \\ 2(-1) + 3(1) + 3(1) \\ -2(-1) + 1(1) + 1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 4 I$$

$A I = 4 I$，故 $I$ 為 $A$ 對應於特徵值 $\lambda = 4$ 的特徵向量。

• (B) 選項錯誤（$J$ 是特徵向量）：

核心觀念

1. 矩陣可對角化（Diagonalizability）之充要條件： $n \times n$ 矩陣 $M$ 可對角化的充分必要條件為 $M$ 具有 $n$ 個線性獨立的特徵向量（Eigenvectors）。換言之，對 $M$ 的每一個特徵值 $\lambda$，其幾何重數（Geometric Multiplicity, GM）必須等於代數重數（Algebraic Multiplicity, AM）：

$$\text{GM}(\lambda) = \text{nullity}(M - \lambda I) = n - \text{rank}(M - \lambda I) = \text{AM}(\lambda)$$

若存在某個特徵值滿足 $\text{GM} < \text{AM}$，則該矩陣稱為缺陷矩陣（Defective Matrix），不可對角化。

2. 可對角化之重要充分條件：

• 若 $n \times n$ 矩陣具有 $n$ 個相異的特徵值，則必可對角化。
• 若實數矩陣為實對稱矩陣（$M = M^T$），根據譜定理（Spectral Theorem），必可正交對角化（Orthogonally Diagonalizable）。

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解題方法

判斷 $2 \times 2$ 矩陣是否可對角化的標準程序：

1. 求特徵方程式 $\det(M - \lambda I) = 0$，解出特徵值 $\lambda$。
2. 若特徵值為兩個相異值（相異實數或相異複數），則必可對角化。
3. 若特徵值為重根（$\text{AM} = 2$），計算其幾何重數 $\text{GM} = 2 - \text{rank}(M - \lambda I)$：

• 若 $\text{rank}(M - \lambda I) = 0$（即 $M = \lambda I$ 為純量矩陣），則 $\text{GM} = 2$，可對角化。
• 若 $\text{rank}(M - \lambda I) = 1$，則 $\text{GM} = 1 < \text{AM}$，不可對角化。

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選項分析

• (A) 選項錯誤（可對角化）： 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ 的特徵多項式為：

$$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - (3)(1) = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0$$

解得相異特徵值 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5$。 因為 $A$ 具有 2 個相異特徵值，故矩陣 $A$ 可對角化。

• (B) 選項錯誤（可對角化）： 矩陣 $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 的特徵多項式為：

$$\det(B - \lambda I) = (-\lambda)(-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 + 1 = 0$$

解得相異虛特徵值 $\lambda_1 = i, \lambda_2 = -i$。 在複數純量場 $\mathbb{C}$ 下具有 2 個相異特徵值（且 $B$ 為反對稱矩陣，屬於正規矩陣 Normal Matrix），故矩陣 $B$ 可對角化。

核心觀念

空間解析幾何中，判斷空間 $\mathbb{R}^3$ 中相異四點 $A, B, C, D$ 是否共平面（Coplanar），主要依據以下兩個等價的數學條件：

1. 向量純量三重積（Scalar Triple Product）為零： 以其中一點（如點 $A$）為共同始點，建立三個向量 $\vec{AB}$、$\vec{AC}$、$\vec{AD}$。四點共平面之充要條件為此三向量所張成之平行六面體體積為零，即三階行列式值為零： $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \det \begin{bmatrix} \vec{AB} \\ \vec{AC} \\ \vec{AD} \end{bmatrix} = 0$

2. 空間平面方程式與法向量： 若點 $A, C, D$ 三點不共線，則可由外積求出該平面之法向量 $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD}$，再建立平面方程式 $E$。四點共平面即代表第四點 $B$ 必定滿足平面方程式 $E$（亦即 $\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0$）。

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解題方法

本題提供兩種常規且高效的解法，考生可依個人習慣擇一作答。

方法一：純量三重積（行列式法）

1. 求出各向量座標： 以點 $A(1, 0, 1)$ 為參考基準點：

• $\vec{AB} = B - A = (2 - 1, x - 0, 4 - 1) = (1, x, 3)$
• $\vec{AC} = C - A = (5 - 1, 5 - 0, 7 - 1) = (4, 5, 6)$
• $\vec{AD} = D - A = (8 - 1, 8 - 0, 10 - 1) = (7, 8, 9)$

2. 建立四點共平面方程式：

$$\det \begin{bmatrix} 1 & x & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = 0$$

3. 依第一列展開（Cofactor Expansion）計算：

$$1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 0$$

分別計算二階行列式：

• $\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3$
• $\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6$
• $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3$

4. 解一元一次方程式：

$$1(-3) - x(-6) + 3(-3) = 0$$ $$-3 + 6x - 9 = 0 \implies 6x - 12 = 0 \implies x = 2$$

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方法二：外積法向量與平面方程式（幾何法）

核心觀念

本題評量**一階線性常微分方程式（First-Order Linear Ordinary Differential Equation）**的標準求解流程與初值問題（IVP）：

1. 標準型態：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

2. 積分因子（Integrating Factor, $I(x)$）：

$$I(x) = e^{\int P(x)\,dx}$$

3. 通解公式：

$$y(x) = \frac{1}{I(x)}\left[\int I(x)Q(x)\,dx + C\right]$$

4. 初值條件求特解：利用給定的初值 $y(x_0) = y_0$ 決定積分常數 $C$，再與題意給定之形式比對未定係數與次數。

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解題方法

步驟一：將方程式整理為一階線性標準型 原方程式為：

$$(y+x^3)\,dx = x\,dy$$

移項整理得：

$$x\frac{dy}{dx} - y = x^3$$

兩邊同除以 $x$（初始條件點 $x=1 \neq 0$）：

$$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^2$$

此時對照標準型，得 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x^2$。

步驟二：求積分因子 $I(x)$ 因為初始條件在 $x = 1 > 0$，考慮 $x > 0$ 之範圍：

$$I(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$$

步驟三：求解通解 方程式兩邊同乘積分因子 $\frac{1}{x}$：

$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = x \implies \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = x$$

兩邊對 $x$ 積分：

$$\frac{y}{x} = \int x\,dx + C = \frac{1}{2}x^2 + C$$

兩邊同乘 $x$，得通解：

$$y(x) = \frac{1}{2}x^3 + Cx$$

步驟四：代入初值條件並比對係數 代入初值 $y(1) = 2$：

$$2 = \frac{1}{2}(1)^3 + C(1) \implies 2 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{3}{2}$$

核心觀念

1. 週期與對稱性判定：

• 週期 $T = 2L = 2 \implies L = 1$。
• 函數在區間 $(-1, 1)$ 滿足 $f(-x) = -f(x)$，為標準奇函數（Odd Function）。

2. 傅立葉級數（Fourier Series）展開性質：

• 奇函數展開後僅含正弦項（即傅立葉正弦級數），餘弦項係數 $a_0 = 0$ 且 $a_n = 0$。
• 正弦項係數公式： $b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

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解題方法

步驟一：判斷函數特性與半週期

由題目給定條件：

• 週期 $T = 2$，半週期 $L = \frac{T}{2} = 1$。
• 在 $-1 < x < 0$ 時 $f(x) = -1$，在 $0 < x < 1$ 時 $f(x) = 1$。
• 滿足 $f(-x) = -f(x)$，此為標準對稱方波（奇函數）。

因 $f(x)$ 為奇函數，其傅立葉級數不含餘弦項與常數項，即： $a_0 = 0, \quad a_n = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$

步驟二：計算傅立葉正弦係數 $b_n$

帶入傅立葉正弦係數公式：

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{2}{1}\int_{0}^{1} (1)\cdot\sin(n\pi x)\,dx \\ &= 2\left[ -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{n\pi}\left(1 - \cos(n\pi)\right) \\ &= \frac{2}{n\pi}\left(1 - (-1)^n\right) \end{aligned}$$

由此可得各階次係數規律：

• 當 $n$ 為偶數（$n = 2, 4, 6, \cdots$）時：$(-1)^n = 1 \implies b_n = 0$
• 當 $n$ 為奇數（$n = 1, 3, 5, \cdots$）時：$(-1)^n = -1 \implies b_n = \frac{4}{n\pi}$

具體前四項係數為：

• $b_1 = \frac{4}{\pi}$
• $b_2 = 0$
• $b_3 = \frac{4}{3\pi}$
• $b_4 = 0$

步驟三：比對題目形式並求係數和

將求得之 $b_n$ 帶入傅立葉級數展開式：