112 身心障礙特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

112 年・身心障礙特考・四等・經建行政
試題代碼 統計學概要

第 一 題30 分

109 年的調查顯示，國人平均每人每次至連鎖便利商店消費金額為 84.16 元。某連鎖便利商店之店長隨機抽取 30 位顧客，得到顧客之平均消費金額為 87.57 元，標準差為 6.8 元。若假設國人至連鎖便利商店消費金額為常態分配。

（一）在 0.05 的顯著性水準下，檢定此樣本結果是否支持該便利商店之顧客的母體平均消費金額高於國人平均數。

（二）計算此假設檢定的 pp 值（pp-value）約是多少。

（三）若該店長希望在 99% 的信心水準下，所得之平均消費金額的估計誤差在 1.5 元之內，則其需要多少的樣本數？

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核心觀念

本題考查單一母體平均數的單尾檢定，以及常態母體平均數的信賴區間樣本數估計。

母體標準差未知、樣本數為 n=30n=30，且題目假設消費金額為常態分配，因此使用單一樣本 tt 檢定，檢定統計量為

t=xˉ−μ0s/n,df=n−1.t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad df=n-1.

第三小題要求平均數估計誤差不超過指定值。以樣本標準差 ss 估計母體標準差，採用常態臨界值計算所需樣本數，再向上取整。

解題方法

（一）在 0.05 顯著水準下檢定

令 μ\mu 為該連鎖便利商店顧客的母體平均消費金額。題目要檢定平均消費是否高於國人平均數 84.1684.16 元，因此設：

H0:μ≤84.16,H1:μ>84.16.H_0:\mu\leq 84.16, \qquad H_1:\mu>84.16.

計算檢定統計量：

t=87.57−84.166.8/30=3.411.241≈2.75.t =\frac{87.57-84.16}{6.8/\sqrt{30}} =\frac{3.41}{1.241} \approx 2.75.

自由度為 df=30−1=29df=30-1=29。右尾檢定在 α=0.05\alpha=0.05 下的臨界值約為 t0.95,29=1.699t_{0.95,29}=1.699。因為

2.75>1.699,2.75>1.699,

故拒絕虛無假設。此樣本結果在 0.05 顯著水準下支持該店顧客的母體平均消費金額高於 84.1684.16 元。

（二）計算 pp 值

pp 值是虛無假設成立時，得到目前檢定統計量或更極端結果的右尾機率：

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第 二 題20 分

某電話行銷專員過去的每通電話行銷成功之機率是 25%，現公司經理欲分析其績效表現，將該專員最近一個月所有撥打之電話行銷視為樣本，經統計分析得到其行銷成功樣本比例之標準誤（standard error）為 0.0625。

（一）計算此分析中使用的樣本為多少？即該專員在一個月內打了多少通行銷電話。

（二）若 pˉ\bar{p} 表示該專員行銷成功之樣本比例，計算該專員行銷成功比例大於 30% 的機率。

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核心觀念

本題考查樣本比例的標準誤，以及樣本比例的抽樣分配。設每通電話是否行銷成功為伯努利試驗，成功機率為 p=0.25p=0.25，一個月共撥打 nn 通電話，則樣本成功比例 pˉ\bar p 的標準誤為

SE(pˉ)=p(1−p)n.SE(\bar p)=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

當樣本數夠大時，樣本比例可近似服從常態分配：

pˉ≈N(p,p(1−p)n).\bar p \approx N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).

解題方法

（一）求樣本數

已知 SE(pˉ)=0.0625SE(\bar p)=0.0625，代入標準誤公式：

0.0625=0.25(1−0.25)n=0.1875n.0.0625=\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{n}} =\sqrt{\frac{0.1875}{n}}.

兩邊平方並解出 nn：

0.06252=0.1875n,n=0.18750.06252=48.0.0625^2=\frac{0.1875}{n}, \qquad n=\frac{0.1875}{0.0625^2}=48.

因此，該專員一個月撥打了 4848 通電話。

（二）行銷成功樣本比例大於 30%30\% 的機率

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第 三 題20 分

某部門有 5 名職員，其年齡依序分別為 29、35、38、47 及 52 歲。現以簡單隨機抽樣方式抽取 3 名職員，若 MM 代表所選取的隨機樣本之年齡中位數。

（一）寫出 MM 的相對次數分配表。

（二）計算 MM 的期望值及變異數。

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核心觀念

本題考查簡單隨機抽樣下，樣本統計量的抽樣分配，以及離散型隨機變數的期望值與變異數。

抽出 33 人後，年齡中位數是將三人的年齡由小到大排列後的第二個數。從 55 人中等機率抽取 33 人，可能的樣本數為

(53)=10.\binom{5}{3}=10.

因此，每一個三人組合的機率都是 1/101/10。

解題方法

將職員按年齡由小到大編號：

x1=29,x2=35,x3=38,x4=47,x5=52.x_1=29,\quad x_2=35,\quad x_3=38,\quad x_4=47,\quad x_5=52.

逐一列出全部 1010 個三人樣本，並取各樣本的中位數：

抽出的年齡中位數 MM
29,35,3829,35,383535
29,35,4729,35,473535
29,35,5229,35,523535
29,38,4729,38,473838
29,38,5229,38,523838
29,47,5229,47,524747
35,38,4735,38,473838
35,38,5235,38,523838
35,47,5235,47,524747
38,47,5238,47,524747

因此，M=35M=35、3838、4747 各出現 33 次，M=29M=29、5252 各出現 00 次。

（一）MM 的相對次數分配表

相對次數等於該中位數出現次數除以樣本總數 1010：

MM次數相對次數 P(M)P(M)
29290000
3535333/103/10
3838444/104/10
4747333/103/10
52520000
合計101

（二）期望值與變異數

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第 四 題30 分

某銀行經理想了解顧客使用手機操作轉帳所需時間（單位：秒），隨機抽取 20 位顧客，記錄顧客的年齡（Age，單位：歲），及因不同手機所對應之三款（分別為 A、B、C）轉帳的應用程式設計。觀察其操作轉帳時間作為反應變數，得到以下迴歸估計結果：

EstimateStandard error
Intercept10.7450.389
Age3.5431.233
B-0.9050.680
C1.8090.639

及變異數分析（Analysis of variance，ANOVA）表呈現如下：

變異來源平方和（SS）自由度均方（MS）FF 值
Regression（1）（3）（6）（8）
Error（2）（4）（7）
Total188（5）

（一）詳細說明 Age、B 與 C 三項所估計的迴歸係數值的意義。

（二）若此迴歸模型的判定係數（coefficient of determination）是 0.74，詳細計算（1）至（8）的結果。

（三）計算 Age 之迴歸係數的 99% 信賴區間估計，並依信賴區間估計之結果決定係數的顯著性。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查多元線性迴歸、類別變數的虛擬變數編碼、迴歸 ANOVA 表，以及迴歸係數的信賴區間與顯著性判斷。

題目列出手機方案 B、C 的係數，表示以方案 A 作為參照組，模型可寫成：

轉帳時間^=10.745+3.543(Age)−0.905B+1.809C\widehat{\text{轉帳時間}} =10.745+3.543(\text{Age})-0.905B+1.809C

其中，使用方案 B 時 B=1B=1、否則為 00；使用方案 C 時 C=1C=1、否則為 00。使用方案 A 時，B=C=0B=C=0。

（一）迴歸係數的意義

  • **Age 的係數 3.5433.543：**在手機方案相同的條件下，年齡每增加 1 歲，估計平均轉帳時間增加 3.5433.543 秒。這是控制手機方案後的年齡與轉帳時間之條件關聯。
  • **B 的係數 −0.905-0.905：**在年齡相同的條件下，使用方案 B 的估計平均轉帳時間，比使用方案 A 少 0.9050.905 秒。
  • **C 的係數 1.8091.809：**在年齡相同的條件下，使用方案 C 的估計平均轉帳時間，比使用方案 A 多 1.8091.809 秒。

（二）計算 ANOVA 表中的（1）至（8）

樣本數 n=20n=20，解釋變數為年齡及兩個虛擬變數，共 p=3p=3 個。因此：

迴歸自由度=p=3\text{迴歸自由度}=p=3 誤差自由度=n−p−1=20−3−1=16\text{誤差自由度}=n-p-1=20-3-1=16 總自由度=n−1=19\text{總自由度}=n-1=19

判定係數的定義為：

R2=SSRSSTR^2=\frac{SSR}{SST}

已知 R2=0.74R^2=0.74、SST=188SST=188，所以：

SSR=0.74(188)=139.12SSR=0.74(188)=139.12 SSE=SST−SSR=188−139.12=48.88SSE=SST-SSR=188-139.12=48.88

再計算均方與 FF 值：

MSR=SSRdfRegression=139.123=46.3733MSR=\frac{SSR}{df_{\text{Regression}}} =\frac{139.12}{3}=46.3733
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