113 身心障礙特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

四面公平骰子的四個結果 $1,2,3,4$ 等機率出現，因此 $X$ 服從離散均等分配。各結果的機率總和為 $1$，期望值是各結果的機率加權平均，變異數則衡量各結果相對於期望值的離散程度。

解題方法

每一面出現的機率相同，且四種結果互斥、涵蓋所有情形，所以每一點數的機率為 $1/4$。

期望值為：

變異數公式為：

代入期望值 $E(X)=5/2$：

核心觀念

本題考「隨機變數的平均」及其機率分配。每次試驗同時丟 $4$ 個公正銅板，正面個數 $X_i$ 服從二項分配：

兩次試驗的平均正面數為

由於兩次試驗互相獨立，$X_1+X_2$ 可視為 $8$ 個公正銅板的正面總數，因此

解題方法

單次試驗出現 $k$ 個正面的機率為

令 $S=X_1+X_2$，則 $S$ 是 $8$ 個公正銅板出現正面的總數，故

又 $\bar X=S/2$，所以 $\bar X$ 的可能值為 $0,\frac12,1,\frac32,2,\frac52,3,\frac72,4$，且 $P(\bar X=s/2)=P(S=s)$。

（一）$\bar X$ 的可能值及其機率

各機率的分子依序為 $\binom{8}{s}$，其中 $s=0,\ldots,8$。機率總和為

（二）$\bar X$ 的期望值

每次丟 $4$ 個公正銅板，正面個數的期望值為

核心觀念

本題考查集中量數、離散量數與次數分配表：

• 眾數：出現次數最多的數值。
• 中位數：資料排序後位於中央的數值；資料筆數為偶數時，取中央兩數的平均。
• 平均數：資料總和除以資料筆數。
• 樣本變異數：以樣本平均數為中心，計算平方離差和；採用不偏估計時，分母為 $n-1$。
• 次數分配表：依各組的區間範圍，計算落入該組的資料筆數。本題組距採左閉右開，例如 $[90,100)$ 包含 $90$，不包含 $100$。

解題方法與計算

將 20 筆資料由小到大排列：

(一) 眾數

$85$ 與 $92$ 都各出現 2 次，其餘數值各出現 1 次，因此本組資料有兩個眾數：

(二) 中位數

資料筆數 $n=20$，為偶數，因此取第 10 個與第 11 個數的平均：

(三) 平均數

資料總和為 $1880$，因此：

(四) 變異數

各數值與平均數 $94$ 的離差平方和為：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中的離差平方和、共離差平方和，以及迴歸斜率。令 $n=5$，各量以原始觀測值的總和計算：

以 $X$ 預測 $Y$ 的最小平方法迴歸線斜率為：

解題方法與計算

（一）求 $SS_{xx}$

將 $X$ 的平方總和扣除平均數所造成的修正項：

（二）求 $SS_{yy}$

將 $Y$ 的平方總和扣除平均數所造成的修正項：

（三）求 $SS_{xy}$

以乘積總和扣除兩變數平均數乘積所造成的修正項：