110 年身心障礙特考四等經建行政考古題與詳解

Question 1

擲一個不公平骰子，奇數點（$1,3,5$）出現的機率與點數的兩倍成正比，偶數點（$2,4,6$）出現的機率與點數成正比。 (一) 請寫出此骰子的機率分配函數。（10 分） (二) 請算出此骰子點數的期望值與變異數。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考離散型隨機變數的機率分配，以及期望值、變異數的計算。機率分配須符合兩項條件：各點的機率皆非負，且總和為 $1$ 。若隨機變數 $X$ 的可能取值為 $1,2,\ldots,6$ ，則

E(X)=\sum_x xP(X=x),\qquad \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.

解題方法

題目給的是比例關係，先依奇偶點分別寫出權重，再以總權重正規化，使六個點數的機率總和為 $1$ 。

奇數點的機率與點數的兩倍成正比，因此 $1,3,5$ 的權重依序為 $2,6,10$ ；偶數點的機率與點數成正比，因此 $2,4,6$ 的權重依序為 $2,4,6$ 。總權重為

2+6+10+2+4+6=30.

所以各點的機率是其權重除以 $30$ 。

（一）機率分配函數

令 $X$ 表示骰子點數，機率質量函數為

P(X=x)= \begin{cases} \dfrac{1}{15}, & x=1,\\[4pt] \dfrac{1}{15}, & x=2,\\[4pt] \dfrac{1}{5}, & x=3,\\[4pt] \dfrac{2}{15}, & x=4,\\[4pt] \dfrac{1}{3}, & x=5,\\[4pt] \dfrac{1}{5}, & x=6,\\[4pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}

檢查機率總和：

Question 2

為了解某大型公共工程的承包廠商的施工人員是否有足夠的安全知識，政府委託第三方進行檢測。隨機抽出 $50$ 位施工人員，結果有 $30$ 人通過安全知識檢測。假設全體員工的安全知識檢測通過率為 $p$ 。

(一) 請運用上述檢測的資料，計算通過率 $p$ 的 $95\%$ 信賴區間。（12 分）

(二) 如果政府希望通過率 $p$ 的估計值誤差在 $10\%$ 之內，在 $95\%$ 的信賴水準下，請問受託第三方至少應抽出多少位員工進行檢測？（13 分）

$Z$ 分配臨界點表： $P(Z>Z_{\alpha})=\alpha$

$\alpha$	$0.025$	$0.05$	$0.09$	$0.10$	$0.25$
$Z_{\alpha}$	$1.96$	$1.645$	$1.3408$	$1.2816$	$0.6745$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查母體比例 $p$ 的信賴區間，以及在指定信賴水準與估計誤差下所需的樣本數。以樣本比例 $\hat p$ 估計母體比例時，常態近似的 $95\%$ 信賴區間為 $$ \hat p \pm Z{0.025}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, $$ 樣本數公式為 $$ n=\frac{Z{0.025}^{\,2}\hat p(1-\hat p)}{E^2}, $$ 其中 $E$ 是容許的估計誤差。題目表中 $Z{0.025}=1.96$。 解題方法 樣本中有 $30$ 人通過，總共抽查 $50$ 人，因此 $$ \hat p=\frac{30}{50}=0.6,\qquad 1-\hat p=0.4. $$ （一）通過率 $p$ 的 $95\%$ 信賴區間 代入比例信賴區間公式： $$ 0.6\pm 1.96\sqrt{\frac{0.6(0.4)}{50}} =0.6\pm 1.96\sqrt{0.0048}. $$ 標準誤約為 $$ \sqrt{0.0048}\approx 0.0693, $$ 誤差界限約為 $$ 1.96(0.0693)\approx 0.1358. $$ 因此信賴區間為

Question 3

為了解員工是否過胖，人事單位隨機抽出基層員工男女各 $20$ 位，其 BMI 測量結果顯示，男、女性的平均值 $\pm$ 標準差分別為 $28.1\pm5.6$、$31.7\pm4.1$。 (一) 請問男性基層員工的 BMI 值之 $95\%$ 信賴區間為何？（9 分） (二) 請估計全體員工之 BMI 值的平均數及標準差，並計算全體基層員工的 BMI 值之 $95\%$ 信賴區間為何？（16 分） 自由度為 $
u$ 的 $T$ 分配臨界點表：$P(T{
u}t{
u,\alpha})=\alpha$ | $\mathrm{df}$ | $18$ | $19$ | $20$ | $38$ | $39$ | $40$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | $t{
u,0.05}$ | $1.7341$ | $1.7291$ | $1.7247$ | $1.6860$ | $1.6849$ | $1.6839$ | | $t{
u,0.025}$ | $2.1009$ | $2.0930$ | $2.0860$ | $2.0244$ | $2.0227$ | $2.0211$ |

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體平均數的 $t$ 信賴區間，以及如何由分組樣本的摘要統計量合併估計整體平均數與標準差。母體標準差未知時，平均數的 $95\%$ 信賴區間為

\bar{x}\pm t_{n-1,\,0.025}\frac{s}{\sqrt{n}},

其中 $s$ 是樣本標準差； $95\%$ 雙尾信賴區間的兩尾各為 $0.025$ 。

解題方法

（一）男性基層員工 BMI 的 $95\%$ 信賴區間

男性樣本數 $n=20$ 、樣本平均數 $\bar{x}=28.1$ 、樣本標準差 $s=5.6$ ，自由度為 $19$ 。由題目表查得 $t_{19,0.025}=2.0930$ 。

\begin{aligned} \bar{x}\pm t_{19,0.025}\frac{s}{\sqrt{n}} &=28.1\pm 2.0930\frac{5.6}{\sqrt{20}}\\ &=28.1\pm 2.621\\ &=(25.479,\ 30.721). \end{aligned}

因此，男性基層員工 BMI 平均數的 $95\%$ 信賴區間約為 $(25.48,\ 30.72)$ 。

（二）全體員工 BMI 的平均數、標準差與 $95\%$ 信賴區間

題目未提供全體員工中男性與女性所占比例，因此無法據此求出按實際性別比例加權的全體平均數。以下依男女各占一半、將 $40$ 人合併估計的假設作答。

兩組樣本數相同，合併平均數為

\bar{x} =\frac{20(28.1)+20(31.7)}{40} =29.9.

合併樣本標準差須同時計入各組內的變異及男女平均數差異：

Question 4

隨機抽出六都之 $30$ 戶家庭所得及消費之平均數、離差平方和，及共離差平方和如下表：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$S_{XX}$	$S_{YY}$	$S_{XY}$
$118.3$	$94.6$	$716.3$	$925.1$	$556.96$

其中：

$S_{XX}=\sum(x_i-\bar{x})^2,\qquad S_{YY}=\sum(y_i-\bar{y})^2,\qquad S_{XY}=\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

(一) 請問家庭所得及消費的樣本變異數分別為何？相關係數為何？（12 分）

(二) 請問以家庭所得預測消費的最小平方法迴歸模型為何？（13 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查樣本變異數、皮爾森相關係數，以及以最小平方法建立簡單線性迴歸模型。樣本數為 $n=30$ ，因此樣本變異數的分母為 $n-1=29$ 。

解題方法

（一）樣本變異數與相關係數

依樣本變異數定義：

s_x^2=\frac{S_{XX}}{n-1} =\frac{716.3}{29} =24.7

s_y^2=\frac{S_{YY}}{n-1} =\frac{925.1}{29} =31.9

相關係數以共離差平方和除以兩變數離差平方和乘積的平方根：

r_{XY} =\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}} =\frac{556.96}{\sqrt{716.3\times925.1}} \approx 0.6842

所以所得與消費呈中度正相關。

（二）最小平方法迴歸模型

以所得 $x$ 預測消費 $y$ 的迴歸斜率為：

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核心觀念

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