115 身心障礙特考四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考聯合機率質量函數（joint probability mass function）的邊際分配、事件機率，以及條件機率與條件期望值。

對離散型隨機變數，常用公式如下：

解題方法與計算

（一）求 $X$ 的邊際機率質量函數

固定 $x$，將所有可能的 $y$ 值加總：

因此，

故邊際機率質量函數為

（二）求 $P(X\leq 3-Y)$

依不等式 $X\leq 3-Y$，逐一列出符合條件的 $(x,y)$：

• $y=1$ 時，$x\leq 2$，故 $x=1,2$。
• $y=2$ 時，$x\leq 1$，故 $x=1$。
• $y=3$ 時，$x\leq 0$，沒有符合的 $x$。
• $y=4$ 時，$x\leq -1$，沒有符合的 $x$。

因此事件包含 $(1,1),(2,1),(1,2)$，其機率為

核心觀念

本題考查常態母體下樣本平均數的抽樣分配與標準常態分配的計算。母體為常態分配時，樣本平均數也服從常態分配，其期望值與標準差為

本題 $\mu=75$、$\sigma=15$、$n=25$，因此樣本平均數的標準差（亦稱標準誤）為 $15/\sqrt{25}=3$。

解題方法

（一）抽樣分配

由於母體為常態分配：

此處 $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二個參數表示變異數。

（二）$P(70.14\leq\overline{X}\leq82.14)$

將上下界標準化，令

下界的 $Z$ 值為

上界的 $Z$ 值為

因此

機率約為 $0.9387$，即 $93.87\%$。

（三）$P(\overline{X}>82.65)$

標準化得

核心觀念

母體年齡服從常態分配，但母體平均數 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$ 均未知，且樣本數僅 $n=5$，因此使用單一母體平均數的單尾 $t$ 檢定。檢定統計量為

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數，$s^2$ 為樣本變異數，$\mu_0$ 為虛無假設下的母體平均數。

解題方法與計算

樣本資料為 $20,18,17,22,18$，故

離均差平方和為

以 $n-1$ 為分母計算樣本變異數及標準差：

（一）研究者主張平均年齡顯著小於 $21$ 歲，因此採左尾檢定：

計算檢定統計量時，使用虛無假設的邊界值 $\mu_0=21$。

（二）代入公式：

自由度為

核心觀念

本題考查：

1. 自變數與依變數的判定。
2. 最小平方法估計簡單線性迴歸式。
3. 利用迴歸式進行點預測。
4. 迴歸斜率的 $t$ 檢定。

令：

• $X$：每週讀書時數，為自變數。
• $Y$：考試成績，為依變數。

（一）自變數與依變數

讀書時數會影響考試成績，因此：

為自變數（independent variable）；而

為依變數（dependent variable）。

（二）求簡單線性迴歸方程式

迴歸模型為：

資料如下：

首先計算平均數：

斜率估計值為：

截距估計值為：

因此，簡單線性迴歸方程式為：

斜率 $6.7$ 的意義是：每週讀書時數增加 $1$ 小時，預測考試成績平均增加 $6.7$ 分。

（三）讀書 6 小時的預測成績

將 $X=6$ 代入迴歸方程式：

因此，讀書 $6$ 小時的預測考試成績為：

（四）檢定迴歸線斜率是否等於零

1. 提出假設

檢定斜率是否等於零，採雙尾檢定：