109 年身心障礙特考四等機械工程考古題與詳解

Question 1

一個質量為 $m$ 的球體被兩條通過球心的繩索 $AB$、$CD$ 懸吊於天花板，如圖一所示。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試求繩索 $AB$ 被剪斷前及被剪斷後的瞬間，繩索 $CD$ 的張力。

Accepted Answer

核心觀念 這題考兩種受力狀態：剪斷前球體靜止，須滿足平衡條件 $\sum Fx=\sum Fy=0$；剪斷後，球體受剩餘繩索約束而開始擺動，須沿繩索方向套用牛頓第二定律。 依圖判讀，繩索 $AB$、$CD$ 與水平天花板的夾角分別為 $60^\circ$、$75^\circ$。 解題方法 剪斷前，令兩繩張力分別為 $T{AB}$、$T{CD}$。取水平向右、鉛直向上為正方向，平衡方程式為 $$ T{AB}\cos60^\circ=T{CD}\cos75^\circ $$ $$ T{AB}\sin60^\circ+T{CD}\sin75^\circ=mg $$ 由第一式得 $$ T{AB}=\frac{T{CD}\cos75^\circ}{\cos60^\circ} $$ 代入鉛直方向方程式： $$ T{CD}\left(\frac{\cos75^\circ\sin60^\circ}{\cos60^\circ} +\sin75^\circ\right)=mg $$

Question 2

一支長度為 $L$、質量為 $m$ 的均質長棒，其全長的 $\frac{2}{3}$ 伸出於桌面外，如圖二所示，桌緣與長棒的靜摩擦係數為 $\mus$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 長棒自靜止位置釋放後，承受重力作用發生旋轉，試求長棒開始滑移的角度 $	heta$。重力加速度以 $g$ 表示。

Accepted Answer

核心觀念

長棒尚未滑移時，桌緣接觸點 $O$ 保持固定，可將長棒視為繞 $O$ 轉動。用轉動方程與機械能求出角加速度、角速度，再由質心加速度求桌緣所需的摩擦力 $F$ 與正向力 $N$ 。開始滑移的條件為

\frac{|F|}{N}=\mu_s

圖中桌緣左側棒長為 $L/3$ ，右側伸出 $2L/3$ ，故長棒質心在 $O$ 右方 $L/6$ 。

解題方法

令 $\theta$ 為長棒由水平位置順時針轉下的角度，並令順時針角加速度為 $\alpha$ 。長棒對 $O$ 的轉動慣量為

I_O=I_G+m\left(\frac{L}{6}\right)^2 =\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{36} =\frac{mL^2}{9}

重力對 $O$ 的力矩大小為 $mg(L/6)\cos\theta$ ，因此

I_O\alpha=mg\frac{L}{6}\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\frac{3g}{2L}\cos\theta

由靜止釋放，重力位能減少量等於轉動動能增加量：

mg\frac{L}{6}\sin\theta=\frac12 I_O\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2=\frac{3g}{L}\sin\theta

質心距 $O$ 為 $L/6$ 。取水平向右、鉛直向上為正，質心加速度分量為

a_x=-\frac{L}{6}\left(\omega^2\cos\theta+\alpha\sin\theta\right) =-\frac{3g}{4}\sin\theta\cos\theta

a_y=\frac{L}{6}\left(\omega^2\sin\theta-\alpha\cos\theta\right) =\frac{g}{2}\sin^2\theta-\frac{g}{4}\cos^2\theta

因此，水平方向摩擦力與鉛直方向正向力分別為

F=ma_x=-\frac{3mg}{4}\sin\theta\cos\theta

Question 3

一根長度為 $L$ 的細長直梁，截面尺寸為 $b	imes h$ 之長方形，承受偏心軸力負荷 $P$，如圖三所示。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試求固定端兩頂點 $A$、$B$ 的應力。座標系統原點位於梁末端截面的形心。

Accepted Answer

核心觀念 偏心軸力可分解成通過截面形心的軸力，以及繞形心的彎矩。截面正應力是軸向平均應力與雙軸彎曲應力的疊加。 依圖示座標，$x$ 軸正向向左，故向右的負荷 $P$ 為壓縮軸力。截面形心為原點，$y$ 軸沿截面寬度 $b$，$z$ 軸沿截面高度 $h$。以拉應力為正，截面正應力為 $$ \sigmax(y,z) =-\frac{P}{A} -\frac{P ey y}{Iz} -\frac{P ez z}{Iy}, $$ 其中 $(ey,ez)$ 是負荷作用線相對形心的位置。 解題方法 圖中負荷作用於截面上方、且位於與 A、B 相對的寬度邊，因此 $$ ey=-\frac b2,\qquad ez=\frac h2. $$ A、B 位於另一側邊，座標分別為 $$ A:\left(y,z\right)=\left(\frac b2,\frac h2\right),\qquad B:\left(y,z\right)=\left(\frac b2,-\frac h2\right). $$ 截面面積及對形心軸的慣性矩為 $$ A=bh,\qquad Iy=\frac{bh^3}{12},\qquad Iz=\frac{hb^3}{12}. $$ 代入應力式：

Question 4

三根長度不等、截面積為 $A$、楊氏係數為 $E$ 的桿件組成一個直角三角形桁架 $ABC$，節點 $B$ 為鉸支承，節點 $C$ 為滾支承，節點 $A$ 受鉛垂力 $P$ 作用，如圖四所示。 圖示桿件長度為 $AB=\frac{4L}{5}$、$AC=\frac{3L}{5}$、$BC=L$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試求各桿件承受的張力或壓力大小，以及節點 $C$ 的水平位移。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查平面桁架的節點平衡、桿件軸力符號，以及軸向變形與虛功法。以拉力為正、壓力為負；桿件軸向變形為 $\delta=NL/(AE)$ 。

解題方法

由 $AB=4L/5$ 、 $AC=3L/5$ 、 $BC=L$ 可知 $AB^2+AC^2=BC^2$ ，所以直角位於 $A$ 。以 $BC$ 為水平底邊，幾何關係給出兩桿方向餘弦：

$AB$ ：水平、鉛直分量比例為 $4/5、3/5$ 。
$AC$ ：水平、鉛直分量比例為 $3/5、4/5$ 。

在節點 $A$ 假設兩桿均受拉，列平衡式：

-\frac45N_{AB}+\frac35N_{AC}=0

-\frac35N_{AB}-\frac45N_{AC}-P=0

解得

N_{AB}=-\frac{3P}{5},\qquad N_{AC}=-\frac{4P}{5}.

負號表示兩桿均受壓，因此 $AB$ 壓力為 $3P/5$ ， $AC$ 壓力為 $4P/5$ 。

求 $BC$ 軸力時，取整體對 $B$ 點力矩。由 $A$ 的水平座標為 $16L/25$ ，得

C_yL-P\left(\frac{16L}{25}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad C_y=\frac{16P}{25}.

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