113 身心障礙特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

光滑球碰撞時，碰撞衝量沿兩球球心連線，也就是衝擊線方向。本題衝擊線沿 $y$ 軸，因此只有 $y$ 方向速度會因碰撞改變；垂直於衝擊線的 $x$ 方向速度保持不變。

沿衝擊線使用動量守恆與恢復係數關係：

解題方法

取向上為 $y$ 軸正方向。碰撞前：

令碰撞後兩球的 $y$ 方向速度分別為 $v_{Ay}$、$v_{By}$。沿 $y$ 方向守恆動量：

恢復係數為 $e=0.5$，故：

聯立兩式，得：

$x$ 方向速度不受衝量影響，因此：

核心觀念

面積慣性矩（亦稱截面二次矩）的定義為：面積微元到指定軸的垂直距離平方乘上面積微元，再對整個面積積分。

$I_x=\int_A y^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x^2\,dA$

圖中陰影區位於曲線 $y^2=\dfrac{h^2}{b}x$ 的右側、$x=b$ 的左側，且在 $x$ 軸上方。曲線可改寫為

$x=\frac{b}{h^2}y^2,\qquad 0\le y\le h.$

因此，取水平狹長面積微元時，其寬度為 $b-\dfrac{b}{h^2}y^2$，面積為

$dA=\left(b-\frac{b}{h^2}y^2\right)dy.$

解題方法

（一）陰影面積

以水平狹長微元積分：

（二）陰影面積對 $x$ 軸的慣性矩

水平微元上各點到 $x$ 軸的距離皆為 $y$，所以

核心觀念

本題考查均布載重懸臂樑的剪力、彎矩、彎曲正向應力與撓度。取固定端為 $x=0$、自由端為 $x=L$，$y$ 軸向上；均布載重 $q$ 向下，故撓度向下為負。彎矩以正值代表下凹（正彎矩）。

解題方法

在距固定端 $x$ 處切開樑，右側剩餘長度為 $L-x$，其均布載重合力為 $q(L-x)$，作用於該段中央。由截面內力平衡可得剪力與彎矩；再用矩形截面的慣性矩及彎曲公式求最大應力。撓度則由 $EI\,y''=M(x)$，配合固定端的零斜率與零位移條件求得。

（一）剪力圖及彎矩圖

截面剪力為

因此剪力圖為一直線：固定端剪力 $V(0)=qL$，自由端剪力 $V(L)=0$。

截面彎矩為

因此彎矩圖為負值拋物線：固定端彎矩 $M(0)=-qL^2/2$，自由端彎矩 $M(L)=0$。負號表示固定端為上拱（負彎矩）彎曲。

（二）最大彎曲正向應力

矩形截面寬 $b=h$、高 $2h$，對中性軸的截面二次矩為

最外側纖維距中性軸 $c=h$。最大彎矩發生於固定端，大小為 $|M_{\max}|=qL^2/2$。依彎曲應力公式：

核心觀念

本題考查動摩擦力造成的減速度，以及等加速度運動公式。物體滑動時，動摩擦力大小為

其中 $\mu_k=0.3$，$N$ 為正向力。由牛頓第二定律求出減速度，再用

計算物體速度降至零前移動的距離。此式適用於加速度固定的運動。

解題方法

（一）沿水平表面移動

水平面上，正向力為

動摩擦力大小為

摩擦力方向與運動方向相反，因此減速度大小為

取運動方向為正，則 $a=-2.94\ \mathrm{m/s^2}$。物體停止時 $v=0$，初速度 $v_0=15\ \mathrm{m/s}$：

（二）沿 $37^\circ$ 坡面向上移動

物體向上滑動時，沿坡面向下的重力分量與動摩擦力都阻礙運動。正向力為