112 身心障礙特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜力平衡、繩索張力，以及二力構件。忽略滑輪摩擦時，同一條繩索的張力相同；可動滑輪 $E$ 由兩段繩索支承。桿件平衡須滿足：

$BD$ 桿兩端均以銷接且沒有其他外力，因此是二力構件，桿力沿 $BD$ 方向。

解題方法與自由體圖

1. 可動滑輪 $E$

設繩索張力為 $T$。滑輪中心受 $20\ \mathrm{kN}$ 向下力，兩段繩索各提供向上張力：

2. 固定滑輪 $C$ 與水平桿 $AC$

對固定滑輪而言，繩索對其作用力為水平向左 $T$、鉛直向下 $T$。兩力分別作用在滑輪上方切點與右側切點，對滑輪中心的力矩大小均為 $TR$、方向相反，故彼此抵消。半徑 $R=0.4\ \mathrm{m}$ 不影響合力矩。

可動滑輪 E： ↑ T ↑ T
 [ E ]
 ↓ 20 kN

水平桿 AC：
A（Ax, Ay）──B────────────C
 ↖ F_BD ← T
 ↓ T

取 $+x$ 向右、$+y$ 向上。從 $B$ 指向 $D$ 的方向向量為 $(-1.5,\,2)$，其長度為 $2.5\ \mathrm{m}$，故沿 $BD$ 的單位方向向量為 $(-0.6,\,0.8)$。先假設桿 $BD$ 對水平桿的作用力沿 $B\to D$，記為 $F_{BD}$。

水平桿以 $A$ 點取矩；滑輪的兩個繩力對輪心的力矩互相抵消，因此：

正值表示假設方向正確，所以 $BD$ 桿受拉力。它在 $B$ 點對水平桿的分力為：

核心觀念

本題考查牛頓第二運動定律、靜摩擦力的上限，以及滑動後的動摩擦力。靜摩擦力會配合運動狀態調整，但最大值為

若維持箱車相對靜止所需的摩擦力超過此上限，貨物箱便會滑動；滑動後則使用

以下取向右為正，並採用 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

解題方法與自由體圖

先假設貨物箱 $A$ 與平台車 $C$ 沒有相對滑動，求出維持共同加速度所需的靜摩擦力，再與最大靜摩擦力比較。確認滑動後，分別對箱子與平台車使用牛頓第二定律；最後以箱子相對平台車的加速度求滑動時間。

自由體圖各力如下：

• **貨物箱 $A$：**重量 $W_A=200g$ 向下、平台對箱子的正向力 $N$ 向上、摩擦力向右。
• **平台車 $C$：**外力 $F=1500\ \mathrm{N}$ 向右、箱子對平台車的摩擦力向左；另有平台車重量 $300g$ 向下、箱子施於平台的正向力 $N$ 向下，以及地面正向力向上。題目忽略車輪與地面間摩擦力。

（一）判斷貨物箱是否滑動

假設箱子與平台車一起運動，整體加速度為

要讓箱子以此加速度向右，所需的靜摩擦力為

箱子受平台的正向力為

因此最大靜摩擦力為

由於 $600>588.6$，所需靜摩擦力超過最大值，箱子會相對平台車開始滑動。

（二）求箱子與平台車的加速度

箱子滑動後，箱子受平台的動摩擦力向右：

核心觀念

本題考簡支梁的支承反力、剪力與彎矩分布。採用剪力正號為「截面左側向上」、彎矩正號為「下凹（sagging）」；沿梁由左向右有

$\frac{dM}{dx}=V,\qquad \frac{dV}{dx}=-w$

其中 $V$ 為剪力、$M$ 為彎矩、$w$ 為向下分布負荷強度。集中力會使剪力跳變，集中力矩才會使彎矩跳變。

解題方法

令左端集中力作用處為 $x=0$，則支點 $A$ 在 $x=4\ \mathrm{m}$、支點 $B$ 在 $x=10\ \mathrm{m}$，右端集中力作用處在 $x=14\ \mathrm{m}$。均布負荷只作用在 $A$、$B$ 之間，合力為

$150(6)=900\ \mathrm{N}$

作用於該區段中央，即 $x=7\ \mathrm{m}$。

先由整梁平衡求支承反力。取向上為正，並以 $A$ 點取矩：

$R_A+R_B=250+900+250=1400$

$1000-900(3)-250(10)+6R_B=0$

因此

$R_B=700\ \mathrm{N},\qquad R_A=700\ \mathrm{N}$

以左側梁段列剪力與彎矩，分區段寫式如下。

剪力與彎矩分布方程式

$0<x<4$：

$V(x)=-250\ \mathrm{N}$

$M(x)=-250x\ \mathrm{N\cdot m}$

在 $A$ 點，支承反力使剪力由 $-250$ 跳升至 $-250+700=450\ \mathrm{N}$；彎矩連續，$M(4)=-1000\ \mathrm{N\cdot m}$。

$4<x<10$：

$V(x)=450-150(x-4)\ \mathrm{N}$

$M(x)=-1000+450(x-4)-75(x-4)^2\ \mathrm{N\cdot m}$

其中彎矩式由 $M(4)=-1000\ \mathrm{N\cdot m}$，並積分 $dM/dx=V$ 得到。到 $B$ 點左側，剪力為 $V(10^-)=-450\ \mathrm{N}$，彎矩為 $M(10)=-1000\ \mathrm{N\cdot m}$。

$10<x<14$：

$V(x)=250\ \mathrm{N}$

$M(x)=-1000+250(x-10)\ \mathrm{N\cdot m}$

在 $B$ 點，反力使剪力由 $-450$ 跳升至 $-450+700=250\ \mathrm{N}$；彎矩仍連續。右端集中力使剪力由 $250$ 降至零，且端點彎矩為零。

截面高、寬資料與本題的剪力圖及彎矩圖無關；若求應力才需要使用截面尺寸。

剪力圖與彎矩圖

主要位置的內力值如下。端點集中力作用處，表中剪力採取梁內側的值。

核心觀念

本題考查圓柱受軸力、橫向力與偏心力矩時，截面上的正向應力與剪應力。先將端面載重移至截面形心，再以力與力矩平衡求截面內力；應力由軸力、彎矩及扭矩分別計算。

圓柱半徑為 $r=3\ \mathrm{cm}$。實心圓截面的面積慣性矩與極慣性矩為

截面距端面 $L=15\ \mathrm{cm}$。端面向下的 $300\ \mathrm{N}$ 力使截面承受橫向剪力 $V=300\ \mathrm{N}$，並產生彎矩 $M=VL$；由於作用線與軸線相距 $e=3\ \mathrm{cm}$，另產生扭矩 $T=Ve$。端面中心的軸向拉力則造成軸力 $N=300\ \mathrm{N}$。

解題方法

1. 計算截面幾何性質

2. 求正向應力

軸向拉力造成均勻拉應力：

向下端力對距端面 $15\ \mathrm{cm}$ 處的截面造成彎矩：

依圖中 $A$ 位於截面頂點，該點彎曲應力為拉應力，大小為