111 身心障礙特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查楔形塊的極限摩擦平衡。重物即將向右移動，因此：

• 重物與地面間的摩擦力向左。
• 上方楔塊受力向下移動，並沿斜面向左滑動。
• 斜面摩擦力方向與楔塊相對運動方向相反。
• 所有接觸面均採用摩擦係數 $\mu=0.3$。

依圖，左側楔塊受垂直壁面與地面限制，可視為固定支承。

設：

• 重物重量為 $W$
• 重物與上方楔塊間的水平正向力為 $N_1$
• 兩楔塊斜面間正向力為 $N_2$
• 斜角 $\alpha=8^\circ$

取 $g=9.8\text{ m/s}^2$，則

$$W=800(9.8)=7840\text{ N}$$

重物受力分析

重物即將向右移動，因此與地面間的摩擦力為

$$F_g=\mu N_g$$

上方楔塊對重物的接觸力包括：

• 水平正向力 $N_1$，方向向右；
• 垂直摩擦力 $\mu N_1$，方向向下。

故地面正向力為

$$N_g=W+\mu N_1$$

重物水平方向達到極限平衡：

$$N_1=\mu N_g$$

代入 $N_g$：

$$N_1=\mu(W+\mu N_1)$$ $$N_1(1-\mu^2)=\mu W$$ $$N_1=\frac{\mu W}{1-\mu^2}$$

代入數值：

$$N_1=\frac{0.3(7840)}{1-0.3^2} =2585\text{ N}$$

上方楔塊受力分析

上方楔塊沿斜面向左下方運動，因此斜面摩擦力方向向右上方。

斜面對上方楔塊的合力分量為：

水平方向：

核心觀念

本題考查「無質量階梯滑輪」的動力學與繩長拘束關係：

1. 滑輪及繩索質量可忽略，因此滑輪轉動慣量為零。
2. 繩索不可伸長且與滑輪無相對滑動。
3. 質量塊 $A$ 掛在大輪半徑 $R$，質量塊 $B$（$50\text{ kg}$）掛在小輪半徑 $r$。依圖取 $R=2r$。
4. 角加速度與線加速度關係為 $a_A=R\alpha,\qquad a_B=r\alpha=\frac{r}{R}a_A.$

設 $A$ 向下運動，則 $B$ 向上運動。

解題方法

令 $A$ 的加速度為 $a$，則

$a_B=\frac{r}{R}a=\frac{1}{2}a.$

設兩側繩張力分別為 $T_A$、$T_B$。

對質量塊 $A$ 寫牛頓第二定律：

$100g-T_A=100a.$

對質量塊 $B$ 寫牛頓第二定律：

$T_B-50g=50\left(\frac{a}{2}\right).$

由於滑輪質量及轉動慣量均可忽略，滑輪所受合力矩為零：

$T_A R=T_B r.$

因為 $R=2r$，所以

$T_A= \frac{r}{R}T_B=\frac{1}{2}T_B.$

由第二式得

$T_B=50g+25a.$

因此

$T_A=25g+12.5a.$

代入質量塊 $A$ 的運動方程式：

$100g-(25g+12.5a)=100a,$

$75g=112.5a,$

$a=\frac{2}{3}g.$

取 $g=9.8\text{ m/s}^2$：

核心觀念

本題考查軸向拉伸試驗中的：

• 正應力：$\sigma=P/A$
• 軸向應變：$\varepsilon_L=\Delta L/L$
• 橫向應變：$\varepsilon_T=\Delta d/d$
• 楊氏係數：$E=\sigma/\varepsilon_L$
• 蒲松氏比：$\nu=-\varepsilon_T/\varepsilon_L$
• 剪力模數與楊氏係數的關係：

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

其中直徑縮小代表橫向應變為負值。

解題方法

原桿件直徑為 $20\text{ mm}$，截面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(20)^2}{4} =100\pi\text{ mm}^2$$

軸向拉伸應力：

$$\sigma=\frac{P}{A} =\frac{6000}{100\pi} =19.10\text{ MPa}$$

軸向應變：

$$\varepsilon_L=\frac{\Delta L}{L} =\frac{14}{150} =0.09333$$

因此楊氏係數為

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_L} =\frac{19.10}{0.09333} =204.63\text{ MPa}$$

故

$$E\approx 205\text{ MPa} =0.205\text{ GPa}$$

直徑縮小量為 $0.85\text{ mm}$，橫向應變為

$$\varepsilon_T=\frac{\Delta d}{d} =\frac{-0.85}{20} =-0.0425$$

蒲松氏比：

核心觀念

本題考查外伸梁之：

• 支承反力與靜力平衡
• 剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）
• 中空圓管截面慣性矩
• 彎曲正向應力
• 橫向剪應力

梁之幾何位置取：

• $A$ 為左端，$C$ 距 $A$ 為 $1\ \text{m}$
• $C$ 至 $B$ 長度為 $4\ \text{m}$
• $A$ 點集中力 $2\ \text{kN}$ 向下
• $CB$ 間均布載重 $w=3\ \text{kN/m}$
• 圓管外徑 $D_o=160\ \text{mm}$，內徑 $D_i=140\ \text{mm}$

令 $x$ 自 $A$ 點向右量測。

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一、支承反力

均布載重合力為

$$W=3(4)=12\ \text{kN}$$

作用於 $CB$ 中點，即距 $C$ 為 $2\ \text{m}$。

設 $C$ 點反力為 $C_y$，$B$ 點反力為 $B_y$。

由垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$C_y+B_y-2-12=0$$ $$C_y+B_y=14$$

以 $C$ 點取矩：

$$\sum M_C=0$$ $$2(1)-12(2)+B_y(4)=0$$ $$B_y=5.5\ \text{kN}$$

因此

$$C_y=14-5.5=8.5\ \text{kN}$$

所以支承反力為

$$\boxed{C_y=8.5\ \text{kN}\ \text{向上}}$$ $$\boxed{B_y=5.5\ \text{kN}\ \text{向上}}$$

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二、剪力圖

採用「左截面向上為正剪力」之號誌。

1. $A$ 至 $C$ 段

在 $A$ 點受到 $2\ \text{kN}$ 向下載重，因此

$$V=-2\ \text{kN} \qquad (0<x<1)$$

到達 $C$ 點時，剪力因支承反力 $8.5\ \text{kN}$ 向上而跳升：

$$V_{C^+}=-2+8.5=6.5\ \text{kN}$$

2. $C$ 至 $B$ 段

令 $z=x-1$，其中 $0\le z\le4$，則

$$V(z)=6.5-3z$$

在 $B$ 點左側：

$$V_{B^-}=6.5-3(4)=-5.5\ \text{kN}$$

$B$ 點反力使剪力跳升 $5.5\ \text{kN}$，回到零。

剪力為零的位置：

$$6.5-3z=0$$ $$z=\frac{6.5}{3}=2.167\ \text{m}$$

即距 $A$ 點：

$$x=1+2.167=3.167\ \text{m}$$

剪力圖主要數值如下：

位置	剪力
$A^+$	$-2\ \text{kN}$
$C^+$	$+6.5\ \text{kN}$
$B^-$	$-5.5\ \text{kN}$
$B^+$	$0$

因此剪力圖為：

• $A$ 至 $C$：水平線，$V=-2\ \text{kN}$
• $C$ 至 $B$：斜直線，由 $+6.5$ 線性下降至 $-5.5\ \text{kN}$
• $B$ 點跳升至 $0$

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三、彎矩圖

1. $A$ 至 $C$ 段

由左端截面：

$$M(x)=-2x \qquad (0\le x\le1)$$

因此：

$$M_A=0$$ $$M_C=-2(1)=-2\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

2. $C$ 至 $B$ 段

令 $z=x-1$，則

$$M(z)=-2+6.5z-\frac{3z^2}{2}$$

即

$$M(z)=-2+6.5z-1.5z^2 \qquad (0\le z\le4)$$

在 $B$ 點：

$$M_B=-2+6.5(4)-1.5(4)^2$$ $$M_B=0$$

彎矩極值發生於剪力為零處：

$$V=\frac{dM}{dz}=0$$ $$6.5-3z=0 \Rightarrow z=2.167\ \text{m}$$

代入彎矩式：

$$M_{\max} =-2+6.5(2.167)-1.5(2.167)^2$$