111 身心障礙特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

核心觀念

本題考驗滾珠軸承（Ball Bearing）之壽命與負荷關係（Load-Life Relationship）以及**動容量（Dynamic Capacity / Catalog Load Rating, $C_{10}$）**之計算。

1. 軸承額定壽命定義： 型錄額定壽命（Catalog Rated Life, $L_{10}$）係指一整組相同軸承在相同工作條件下運轉，其中 $90\%$ 之軸承不發生疲勞剝落（Spalling）現象所能達到之運轉總轉數。工業標準型錄多以 $L_{10} = 10^6 \text{ rev}$（100 萬轉）為基準。
2. 負荷-壽命指數關係式： 軸承之當量負荷 $P$（或設計負荷 $F_D$）與其壽命 $L$ 成反比關係，公式為： $L = \left(\frac{C_{10}}{F_D}\right)^a \times 10^6 \text{ rev}$ 其中：

• $C_{10}$：動容量或型錄額定負荷（N 或 kN）
• $F_D$：設計軸承負荷（N 或 kN）
• $L$：設計總轉數（revolutions）
• $a$：壽命指數。滾珠軸承（Ball Bearing）取 $a = 3$；若為滾子軸承（Roller Bearing）則取 $a = \frac{10}{3}$。

3. 可靠度因素： 本題指定之設計可靠度為 $90\%$，與型錄基準可靠度（$R=90\%$）一致，故可靠度修正係數取 $a_1 = 1.0$，無須另外進行韋伯分布轉換。

解題方法

步驟一：計算設計壽命之總轉數 $L_D$ 已知軸承內環轉速 $n = 600\text{ rpm}$，設計壽命時間 $H_D = 5,000\text{ 小時}$，計算運轉總轉數： $L_D = 60 \left(\frac{\text{min}}{\text{hr}}\right) \times n \, (\text{rpm}) \times H_D \, (\text{hr})$ $L_D = 60 \times 600 \times 5,000 = 1.8 \times 10^8 \text{ 次轉 (rev)}$

步驟二：推導並代入軸承負荷-壽命公式 由滾珠軸承之負荷與壽命關係： $\frac{L_D}{L_{10}} = \left(\frac{C_{10}}{F_D}\right)^a$

移項整理可得動容量 $C_{10}$ 之計算公式： $C_{10} = F_D \times \left(\frac{L_D}{L_{10}}\right)^{\frac{1}{a}}$

代入已知參數：

• 設計負荷 $F_D = 1,600\text{ N}$
• 型錄額定壽命 $L_{10} = 10^6\text{ rev}$

核心觀念

本題旨在考查機械設計中**平面應力狀態（Plane Stress State）之主應力求解，以及利用最大形變能理論（Distortion Energy Theory / von Mises 降伏準則）**進行靜態強度強度設計與安全係數評估。

1. 平面應力與主應力（Principal Stresses）： 當 $\sigma_z = \tau_{yz} = \tau_{xz} = 0$ 時，屬於平面應力狀態。平面內（In-plane）之兩個主應力 $\sigma_{A,B}$ 可由正應力與剪應力轉換公式（莫爾圓 Mohr's Circle）求得： $\sigma_{A, B} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ 機械結構的三維主應力須依由大至小順序排列，滿足 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。由於本題為平面應力，其中一個主應力必然等於 $\sigma_z = 0$。

2. von Mises 降伏準則與等效應力（von Mises Effective Stress, $\sigma'$）： 對於延展性材料（Ductile Materials），最大形變能理論能最精準預測降伏發生。

• 由應力分量表示之 von Mises 等效應力： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$
• 由三個主應力表示之 von Mises 等效應力： $\sigma' = \sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2\right]}$

3. 靜態安全係數（Factor of Safety, $n$）： 依據 von Mises 準則，材料在等效應力達到降伏強度 $S_y$ 時發生降伏，故安全係數定義為： $n = \frac{S_y}{\sigma'}$

解題方法

(一) 求三個主應力

1. 計算平均正應力 $\sigma_{\text{avg}}$： $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{140 + (-70)}{2} = \frac{70}{2} = 35\text{ MPa}$

2. 計算最大平面剪應力 / 莫爾圓半徑 $R$： $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ 代入數值： $\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{140 - (-70)}{2} = \frac{210}{2} = 105\text{ MPa}$ $R = \sqrt{105^2 + 105^2} = 105\sqrt{2} \approx 148.49\text{ MPa}$

3. 求出平面主應力 $\sigma_A, \sigma_B$： $\sigma_A = \sigma_{\text{avg}} + R = 35 + 105\sqrt{2} \approx 35 + 148.49 = 183.49\text{ MPa}$ $\sigma_B = \sigma_{\text{avg}} - R = 35 - 105\sqrt{2} \approx 35 - 148.49 = -113.49\text{ MPa}$

4. 排序三個主應力（$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$）： 因為 $\sigma_z = 0\text{ MPa}$，將三個數值（$183.49$、$0$、$-113.49$）進行降冪排列： $\sigma_1 = 35 + 105\sqrt{2}\text{ MPa} \approx 183.49\text{ MPa}$ $\sigma_2 = 0\text{ MPa}$ $\sigma_3 = 35 - 105\sqrt{2}\text{ MPa} \approx -113.49\text{ MPa}$

(二) 依據 von Mises 降伏準則求安全係數

1. 計算 von Mises 等效應力 $\sigma'$： 直接代入平面應力成分公式： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$ 代入數值：

核心觀念

本題考查：

1. $T-\theta$ 圖下面積代表引擎一循環輸出功。
2. 四行程引擎一循環曲柄軸轉過 $720^\circ=4\pi\ \text{rad}$。
3. 平均輸出轉矩為一循環輸出功除以總轉角。
4. 飛輪轉速變化由動能變化求得：

由於公稱轉速定義為最大、最小轉速的平均值，因此可化為：

解題方法

由圖讀得各轉折點：

$(15^\circ,320),\ (180^\circ,0),\ (270^\circ,-36),\ (360^\circ,0)$

$(450^\circ,36),\ (540^\circ,0),\ (705^\circ,-90),\ (720^\circ,0)$

每兩點間為直線，因此各區段面積均可用梯形面積計算。

（一）一循環引擎輸出功

各區段之有號面積如下：

總面積：

角度須換算為弧度：

（二）平均輸出轉矩

一循環轉角為：

因此平均輸出轉矩：

也可直接使用角度面積計算：

核心觀念

本題考查：

• 凸輪與柱塞所構成的往復式柱塞泵。
• 凸輪將旋轉運動轉換為柱塞的往復直線運動。
• 單向閥控制液體流向。
• 偏心距的幾何計算。
• ISO 公差配合中 $H7/h6$ 與 $H7/js6$ 的意義。

解題方法與各小題答案

（一）機械名稱

由圖中可見：

• 軸 10 帶動凸輪 22 旋轉。
• 凸輪推動柱塞 11 作往復運動。
• 具有吸入閥與排出閥。
• 柱塞套及封油圈用於密封。

因此，此機械為：

【答案】凸輪驅動式單缸柱塞泵，亦可稱為凸輪式往復泵。

（二）彈簧 4、柱塞 11 及凸輪 22 的工作原理

凸輪 22 固定於軸 10 上，隨軸旋轉。由於凸輪中心與軸中心具有偏心距，凸輪旋轉時，其外圓周對柱塞 11 的作用距離週期性改變。

其工作過程如下：

1. 凸輪的高點接觸柱塞 11 時，推動柱塞前進，使泵腔容積減小、壓力升高，液體經排出閥排出。
2. 凸輪轉至低點時，彈簧 4 推回柱塞 11，使泵腔容積增大、壓力降低。
3. 泵腔內形成負壓後，吸入閥開啟，液體被吸入泵腔。
4. 凸輪持續旋轉，柱塞便反覆進行吸入與排出動作。

【答案】凸輪 22 將軸 10 的旋轉運動轉為柱塞 11 的往復運動；彈簧 4 負責柱塞回程，並配合兩個單向閥完成液體的吸入與排出。

（三）吸入閥判斷

吸入閥應位於液體流入泵腔的通道，並在柱塞回程、泵腔壓力降低時開啟。

由圖示流路與閥件位置判斷：