115 身心障礙特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・四等・機械工程
試題代碼 機械設計概要

第 一 題25 分

圖示為三個矩形零件與一開槽零件的組合，其中 aa、bb 及 cc 分別代表三個矩形零件的長度，dd 係開槽零件的槽孔長度，ww 為矩形與開槽零件組裝後的間隙。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

若已知該四個零件的基本尺寸與公差分別為：

a=36.6±0.025 mma=36.6\pm0.025\ \mathrm{mm}

b=50±0.075 mmb=50\pm0.075\ \mathrm{mm}

c=63±0.15 mmc=63\pm0.15\ \mathrm{mm}

d=150±0.25 mmd=150\pm0.25\ \mathrm{mm}

求組裝後間隙 ww 的最大值及最小值。

當零件 B、C 及 D 的尺寸，以及各個零件的公差維持不變，要確保組裝後間隙 w≥0.3 mmw\geq0.3\ \mathrm{mm} 時，求零件 A 所需之長度 aa 的基本尺寸。

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核心觀念

本題考查尺寸鏈（Tolerance Stack-up）與極限尺寸法。

由圖可知，開槽零件的槽長 dd 等於三個矩形零件總長 a+b+ca+b+c 與組裝間隙 ww 的總和，因此：

d=a+b+c+wd=a+b+c+w

整理得：

w=d−a−b−cw=d-a-b-c

因為間隙 ww 隨 dd 增大而增大，隨 aa、bb、cc 增大而減小，所以：

  • wmax⁡w_{\max}：dd 取最大值，aa、bb、cc 取最小值。
  • wmin⁡w_{\min}：dd 取最小值，aa、bb、cc 取最大值。

解題方法

一、計算間隙的最大值與最小值

各零件的極限尺寸如下：

amax⁡=36.6+0.025=36.625 mm,amin⁡=36.6−0.025=36.575 mm,bmax⁡=50+0.075=50.075 mm,bmin⁡=50−0.075=49.925 mm,cmax⁡=63+0.15=63.15 mm,cmin⁡=63−0.15=62.85 mm,dmax⁡=150+0.25=150.25 mm,dmin⁡=150−0.25=149.75 mm.\begin{aligned} a_{\max}&=36.6+0.025=36.625\ \mathrm{mm},\\ a_{\min}&=36.6-0.025=36.575\ \mathrm{mm},\\ b_{\max}&=50+0.075=50.075\ \mathrm{mm},\\ b_{\min}&=50-0.075=49.925\ \mathrm{mm},\\ c_{\max}&=63+0.15=63.15\ \mathrm{mm},\\ c_{\min}&=63-0.15=62.85\ \mathrm{mm},\\ d_{\max}&=150+0.25=150.25\ \mathrm{mm},\\ d_{\min}&=150-0.25=149.75\ \mathrm{mm}. \end{aligned}

1. 間隙最大值

wmax⁡=dmax⁡−amin⁡−bmin⁡−cmin⁡=150.25−36.575−49.925−62.85=0.900 mm\begin{aligned} w_{\max} &=d_{\max}-a_{\min}-b_{\min}-c_{\min}\\ &=150.25-36.575-49.925-62.85\\ &=0.900\ \mathrm{mm} \end{aligned}

2. 間隙最小值

wmin⁡=dmin⁡−amax⁡−bmax⁡−cmax⁡=149.75−36.625−50.075−63.15=−0.100 mm\begin{aligned} w_{\min} &=d_{\min}-a_{\max}-b_{\max}-c_{\max}\\ &=149.75-36.625-50.075-63.15\\ &=-0.100\ \mathrm{mm} \end{aligned}

負值表示在最不利尺寸組合下，零件總長超過槽長 0.1 mm0.1\ \mathrm{mm}，將產生干涉，而非實際存在負間隙。

二、求確保 w≥0.3 mmw\geq0.3\ \mathrm{mm} 時，零件 A 的基本尺寸

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第 二 題25 分

一工程師針對直徑 d=40 mmd=40\ \mathrm{mm} 及長度 L=400 mmL=400\ \mathrm{mm} 的實心圓棒進行拉伸試驗。

在線性彈性變形下，當該圓棒受到 P=170 kNP=170\ \mathrm{kN} 拉伸負載的作用下，其長度增加了 0.27 mm0.27\ \mathrm{mm}，直徑則縮小了 0.008 mm0.008\ \mathrm{mm}。

求該圓棒在上述條件下的軸向應力 σx\sigma_x、軸向應變 εx\varepsilon_x 及橫向應變 εy\varepsilon_y，並求該圓棒材料的楊氏係數 EE 及柏松比（Poisson ratio）μ\mu。

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核心觀念

本題考查均勻拉伸時的軸向應力、軸向應變與橫向應變，以及材料的楊氏係數與柏松比。線性彈性範圍內使用：

σx=PA,εx=ΔLL,εy=Δdd\sigma_x=\frac{P}{A},\qquad \varepsilon_x=\frac{\Delta L}{L},\qquad \varepsilon_y=\frac{\Delta d}{d}

楊氏係數為 E=σx/εxE=\sigma_x/\varepsilon_x；柏松比定義為軸向應變與橫向應變之負比：

μ=−εyεx\mu=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}

圓棒受拉時軸向伸長、直徑縮小，因此 εx>0\varepsilon_x>0、εy<0\varepsilon_y<0。

解題方法

先由直徑求圓棒截面積，再計算應力；軸向與橫向應變分別以尺寸變化量除以原尺寸。最後代入線彈性材料關係求 EE 與 μ\mu。

截面積為：

A=πd24=π(40 mm)24=400π mm2≈1256.64 mm2A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(40\ \mathrm{mm})^2}{4} =400\pi\ \mathrm{mm^2} \approx 1256.64\ \mathrm{mm^2}

軸向應力為：

σx=170 000 N1256.64 mm2≈135.28 N/mm2=135.28 MPa\sigma_x=\frac{170\,000\ \mathrm{N}}{1256.64\ \mathrm{mm^2}} \approx 135.28\ \mathrm{N/mm^2} =135.28\ \mathrm{MPa}

軸向應變為：

εx=0.27 mm400 mm=6.75×10−4\varepsilon_x=\frac{0.27\ \mathrm{mm}}{400\ \mathrm{mm}} =6.75\times10^{-4}
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第 三 題25 分

下圖的二鋼板利用螺栓來接合以承受水平拉力 FF 的作用，已知該螺栓抵抗剪力失效的剪應力面積 As=225.2 mm2A_s=225.2\ \mathrm{mm}^2，剪應力降伏強度 Sys=350 MPaS_{ys}=350\ \mathrm{MPa}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

考慮安全因素 n=2n=2 條件下，求該螺栓的容許剪應力 τall\tau_{\mathrm{all}}，並求其抵抗剪力失效時可承受的最大拉力 FF。

若在相同的容許剪應力下，當拉力提升為 50000 N50000\ \mathrm{N}，試求螺栓所需的最小直徑以避免剪力失效。

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核心觀念

本題為螺栓單剪接合，螺栓在兩鋼板交界面形成一個剪切面。使用剪應力降伏強度 SysS_{ys} 與安全因素 nn 求容許剪應力：

τall=Sysn\tau_{\mathrm{all}}=\frac{S_{ys}}{n}

螺栓抵抗剪力失效時，剪應力關係為：

τ=FAs\tau=\frac{F}{A_s}

因此最大容許拉力為：

Fmax⁡=τallAsF_{\max}=\tau_{\mathrm{all}}A_s

解題方法

1. 求容許剪應力

已知：

Sys=350 MPa,n=2S_{ys}=350\ \mathrm{MPa},\qquad n=2

所以：

τall=3502=175 MPa\tau_{\mathrm{all}} =\frac{350}{2} =175\ \mathrm{MPa}

因此螺栓的容許剪應力為：

τall=175 MPa\boxed{\tau_{\mathrm{all}}=175\ \mathrm{MPa}}

2. 求剪力失效時的最大拉力

已知螺栓剪應力面積：

As=225.2 mm2A_s=225.2\ \mathrm{mm^2}

由：

Fmax⁡=τallAsF_{\max}=\tau_{\mathrm{all}}A_s

代入：

Fmax⁡=(175 N/mm2)(225.2 mm2)F_{\max} =(175\ \mathrm{N/mm^2})(225.2\ \mathrm{mm^2}) Fmax⁡=39410 NF_{\max}=39410\ \mathrm{N}

所以：

Fmax⁡=3.941×104 N≈39.4 kN\boxed{F_{\max}=3.941\times10^4\ \mathrm{N} \approx39.4\ \mathrm{kN}}

3. 拉力提高至 50000 N50000\ \mathrm{N} 時所需最小直徑

在相同容許剪應力下，所需最小剪應力面積為：

Areq=Fτall=50000175A_{\mathrm{req}} =\frac{F}{\tau_{\mathrm{all}}} =\frac{50000}{175}
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第 四 題25 分

一對具有 25∘25^\circ 壓力角 ϕ\phi 與模數 m=2 mmm=2\ \mathrm{mm} 的全深齒鋼質正齒輪組，大齒輪與小齒輪的齒數比為：

mG=NgNp=5m_G=\frac{N_g}{N_p}=5

已知與大齒輪嚙合時不會發生干涉時的小齒輪齒數公式為：

Np≥2(1+2mG)sin⁡2ϕ(mG+mG2+(1+2mG)sin⁡2ϕ)N_p\geq\frac{2}{(1+2m_G)\sin^2\phi}\left(m_G+\sqrt{m_G^2+(1+2m_G)\sin^2\phi}\right)

根據上述公式及已知條件，求該對齒輪組不會發生齒合干涉的最小小齒輪齒數 NpN_p 及大齒輪齒數 NgN_g，並求大齒輪及小齒輪的節圓直徑，以及兩齒輪的中心距。

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核心觀念

本題考查正齒輪的齒合干涉限制，以及模數、齒數、節圓直徑與中心距的關係。題目已提供避免干涉所需的小齒輪最小齒數公式；計算出齒數下限後，齒數必須取整數，且要向上取整，才能符合 NpN_p 不小於公式值的條件。

模數與節圓直徑的關係為 d=mNd=mN；一對外嚙合正齒輪的中心距為兩節圓半徑和，即 a=(dp+dg)/2a=(d_p+d_g)/2。

解題方法

已知齒數比 mG=Ng/Np=5m_G=N_g/N_p=5、壓力角 ϕ=25∘\phi=25^\circ。將數值代入題目給定公式：

Np≥2(1+2mG)sin⁡2ϕ(mG+mG2+(1+2mG)sin⁡2ϕ)N_p\geq \frac{2}{(1+2m_G)\sin^2\phi} \left(m_G+\sqrt{m_G^2+(1+2m_G)\sin^2\phi}\right)

其中

1+2mG=1+2(5)=11,sin⁡225∘≈0.1786061+2m_G=1+2(5)=11,\qquad \sin^2 25^\circ\approx 0.178606

因此

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