115 身心障礙特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・四等・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題25 分

一、桿件一端固定於地，上方受到三個力的作用，如圖所示，求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示：桿件高度 h=260 mmh=260\ \mathrm{mm}，底座尺寸為 120 mm×45 mm120\ \mathrm{mm}\times45\ \mathrm{mm}；桿件上方受向下 200 kN200\ \mathrm{kN}、斜向 8 kN8\ \mathrm{kN} 及側向 25 kN25\ \mathrm{kN} 之力作用。圖中另標示 22 mm22\ \mathrm{mm}、22 mm22\ \mathrm{mm}、60 mm60\ \mathrm{mm}、50 mm50\ \mathrm{mm}，以及測點 aa、bb、cc 間距各為 30 mm30\ \mathrm{mm}。

(一)在 aa 點的正應力與剪應力分別為何？（10 分）

(二)在 bb 點的正應力與剪應力分別為何？（10 分）

(三)在 cc 點的正應力與剪應力分別為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查固定端矩形柱的組合應力，包括：

  1. 軸向正應力
  2. 偏心橫向力造成的彎曲正應力
  3. 矩形截面的橫向剪應力
  4. 兩個互相垂直剪應力的合成

依圖取桿件截面尺寸為

120 mm×45 mm120\ \text{mm}\times45\ \text{mm}

並以 xx 軸沿 120 mm120\ \text{mm} 方向、yy 軸沿 45 mm45\ \text{mm} 方向。a,b,ca,b,c 位於截面中央水平線上，故其座標為

xa=−30 mm,xb=0,xc=30 mmx_a=-30\ \text{mm},\qquad x_b=0,\qquad x_c=30\ \text{mm}

且三點皆有 y=0y=0。

圖中 200 kN200\ \text{kN} 作用線通過截面形心，因此只造成軸向壓應力。8 kN8\ \text{kN} 作用於桿頂，距固定端 260 mm260\ \text{mm}；25 kN25\ \text{kN} 作用位置距固定端

260−50=210 mm260-50=210\ \text{mm}

截面性質

截面積：

A=120(45)=5400 mm2A=120(45)=5400\ \text{mm}^2

關於 yy 軸的慣性矩：

Iy=45(120)312=6.48×106 mm4I_y=\frac{45(120)^3}{12} =6.48\times10^6\ \text{mm}^4

關於 xx 軸的慣性矩：

Ix=120(45)312=9.1125×105 mm4I_x=\frac{120(45)^3}{12} =9.1125\times10^5\ \text{mm}^4

一、正應力

1. 軸向壓應力

σN=−PA=−2000005400=−37.04 MPa\sigma_N=-\frac{P}{A} =-\frac{200000}{5400} =-37.04\ \text{MPa}

負號表示壓應力。

2. 8 kN8\ \text{kN} 造成的彎曲正應力

8 kN8\ \text{kN} 作用於桿頂，造成關於 yy 軸的彎矩：

My=8(260)=2080 kN⋅mmM_y=8(260)=2080\ \text{kN}\cdot\text{mm}

截面上任一點的彎曲正應力為

σMy=−MyxIy\sigma_{My}=-\frac{M_yx}{I_y}

在 x=±30 mmx=\pm30\ \text{mm} 處：

∣σMy∣=2080(1000)(30)6.48×106=9.63 MPa|\sigma_{My}| =\frac{2080(1000)(30)}{6.48\times10^6} =9.63\ \text{MPa}

依圖示力的方向，aa 點產生拉應力，cc 點產生壓應力；bb 點位於形心，彎曲應力為零。

25 kN25\ \text{kN} 所造成的關於 xx 軸彎矩，在三點皆因 y=0y=0 而不產生正應力。

因此：

aa 點

σa=−37.04+9.63=−27.41 MPa\sigma_a=-37.04+9.63 =-27.41\ \text{MPa}

為壓應力。

bb 點

σb=−37.04 MPa\sigma_b=-37.04\ \text{MPa}

為壓應力。

cc 點

σc=−37.04−9.63=−46.67 MPa\sigma_c=-37.04-9.63 =-46.67\ \text{MPa}

為壓應力。

二、剪應力

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第 二 題25 分

二、有一厚度為 8 mm8\ \mathrm{mm} 之鋼板嵌入水平混凝土板中，如圖所示，用以固定一高強度垂直纜線。已知鋼板孔徑為 20 mm20\ \mathrm{mm}，鋼材之極限強度為 250 MPa250\ \mathrm{MPa}，鋼板與混凝土間之極限黏結應力為 2 MPa2\ \mathrm{MPa}。當作用力 P=10 kNP=10\ \mathrm{kN}，且安全係數要求為 3.603.60，求：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一)鋼板所需寬度 aa。（10 分）

(二)在該寬度下，鋼板嵌入混凝土之最小深度 bb。（15 分）

（忽略鋼板底端與混凝土間之正向應力。）

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核心觀念

本題考查兩個強度條件：

  1. 鋼板在孔洞處的淨截面拉應力
  • 孔徑為 20 mm20\ \mathrm{mm}，故有效淨寬為 a−20a-20。
  • 鋼板厚度為 t=8 mmt=8\ \mathrm{mm}。
  • 安全係數 n=3.60n=3.60，因此容許拉應力為 σallow=σun\sigma_{\mathrm{allow}}=\frac{\sigma_u}{n}
  1. 鋼板與混凝土間的黏結剪應力
  • 嵌入混凝土的鋼板兩側均提供黏結面。
  • 忽略鋼板底端與混凝土間的正向應力，因此只計算兩個側面的黏結剪力。

解題方法

（一）鋼板所需寬度 aa

鋼材極限強度為

σu=250 MPa\sigma_u=250\ \mathrm{MPa}

考慮安全係數後，鋼板容許拉應力為

σallow=2503.60=69.44 MPa\sigma_{\mathrm{allow}} =\frac{250}{3.60} =69.44\ \mathrm{MPa}

孔洞處的鋼板淨截面積為

Anet=(a−20)(8) mm2A_{\mathrm{net}}=(a-20)(8)\ \mathrm{mm^2}

依拉應力強度條件：

PAnet≤σallow\frac{P}{A_{\mathrm{net}}}\leq \sigma_{\mathrm{allow}}

代入 P=10 kN=10000 NP=10\ \mathrm{kN}=10000\ \mathrm{N}：

100008(a−20)=69.44\frac{10000}{8(a-20)}=69.44

因此

8(a−20)=1000069.44=144 mm28(a-20)=\frac{10000}{69.44}=144\ \mathrm{mm^2} a−20=18 mma-20=18\ \mathrm{mm} a=38 mm\boxed{a=38\ \mathrm{mm}}
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第 三 題25 分

三、一 50 kg50\ \mathrm{kg} 的人以 5 m/s5\ \mathrm{m/s} 水平速度跳上質量 5 kg5\ \mathrm{kg}、靜置於地上的滑板，求他沿斜面向上滑行直到瞬間停止時的距離 SS。忽略滑板的滾動阻力。

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核心觀念

本題分為兩個階段：

  1. 人跳上滑板的瞬間，屬於完全非彈性碰撞，利用水平方向動量守恆。
  2. 碰撞後人與滑板視為整體，沿 30∘30^\circ 斜面上滑，利用機械能守恆。

碰撞過程中機械能不守恆，但人與滑板間的摩擦力屬內力；碰撞後忽略滑板滾動阻力，因此可使用動能與重力位能的轉換。

解題方法

設：

  • 人的質量 m1=50 kgm_1=50\ \mathrm{kg}
  • 滑板質量 m2=5 kgm_2=5\ \mathrm{kg}
  • 人的水平速度 v1=5 m/sv_1=5\ \mathrm{m/s}
  • 滑板初速 v2=0v_2=0
  • 碰撞後共同速度為 v0v_0

人跳上滑板的瞬間，水平方向無外力衝量，因此：

m1v1+m2v2=(m1+m2)v0m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v_0

代入數值：

50(5)+5(0)=55v050(5)+5(0)=55v_0 v0=25055=4.545 m/sv_0=\frac{250}{55}=4.545\ \mathrm{m/s}

碰撞後，人與滑板以共同速度 v0v_0 沿斜面向上滑行。滑行距離為 SS 時，上升高度為：

h=Ssin⁡30∘h=S\sin30^\circ

由碰撞後至瞬間停止，機械能守恆：

12(m1+m2)v02=(m1+m2)gSsin⁡30∘\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_0^2 =(m_1+m_2)gS\sin30^\circ
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第 四 題25 分

四、如圖所示，為實驗取得的一列火車之速度－時間（vv－tt）關係圖，依該數據資料，繪製火車在 0≤t≤180 s0\leq t\leq180\ \mathrm{s} 間之位移－時間（ss－tt）圖及加速度－時間（aa－tt）圖，初始條件為 t=0t=0 時，s=0s=0。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

速度－時間圖之數據如下：

0≤t≤60 s0\leq t\leq60\ \mathrm{s}：速度由 0 m/s0\ \mathrm{m/s} 線性增加至 6 m/s6\ \mathrm{m/s}。

60≤t≤120 s60\leq t\leq120\ \mathrm{s}：速度維持 6 m/s6\ \mathrm{m/s}。

120≤t≤180 s120\leq t\leq180\ \mathrm{s}：速度由 6 m/s6\ \mathrm{m/s} 線性增加至 10 m/s10\ \mathrm{m/s}。

（25 分）

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核心觀念

本題考查速度、加速度與位移的關係：

  • 加速度為速度－時間圖的斜率： a=dvdta=\frac{dv}{dt}
  • 位移為速度－時間圖下的面積： s(t)=∫0tv(τ) dτs(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau
  • 位移－時間圖的斜率即為瞬時速度： dsdt=v\frac{ds}{dt}=v

由於全程速度皆為正值，因此位移增加量等於行進距離。

解題方法

一、速度函數

依圖中三個時間區間：

0≤t≤60 s0\leq t\leq60\ \mathrm{s}

速度由 00 線性增加至 6 m/s6\ \mathrm{m/s}，斜率為

a=6−060=0.1 m/s2a=\frac{6-0}{60}=0.1\ \mathrm{m/s^2}

因此

v(t)=0.1t=t10v(t)=0.1t=\frac{t}{10}

60≤t≤120 s60\leq t\leq120\ \mathrm{s}

速度維持固定值：

v(t)=6v(t)=6

120≤t≤180 s120\leq t\leq180\ \mathrm{s}

速度由 66 線性增加至 10 m/s10\ \mathrm{m/s}，斜率為

a=10−6180−120=460=115 m/s2a=\frac{10-6}{180-120} =\frac{4}{60} =\frac{1}{15}\ \mathrm{m/s^2}

令 τ=t−120\tau=t-120，則

v(t)=6+115(t−120)v(t)=6+\frac{1}{15}(t-120)

二、位移－時間圖 ss－tt

區間一：0≤t≤600\leq t\leq60

s(t)=∫0tτ10 dτ=t220s(t)=\int_0^t \frac{\tau}{10}\,d\tau =\frac{t^2}{20}

在 t=60t=60 時：

s(60)=60220=180 ms(60)=\frac{60^2}{20}=180\ \mathrm{m}

區間二：60≤t≤12060\leq t\leq120

先加上前 6060 秒的位移：

s(t)=180+6(t−60)s(t)=180+6(t-60)

在 t=120t=120 時：

s(120)=180+6(60)=540 ms(120)=180+6(60)=540\ \mathrm{m}

區間三：120≤t≤180120\leq t\leq180

令 τ=t−120\tau=t-120，初速度為 6 m/s6\ \mathrm{m/s}，加速度為 115 m/s2\frac{1}{15}\ \mathrm{m/s^2}：

s(t)=540+6(t−120)+12(115)(t−120)2s(t)=540+6(t-120) +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{15}\right)(t-120)^2

因此

s(t)=540+6(t−120)+(t−120)230s(t)=540+6(t-120)+\frac{(t-120)^2}{30}

在 t=180t=180 時：

s(180)=540+6(60)+60230=540+360+120=1020 ms(180)=540+6(60)+\frac{60^2}{30} =540+360+120 =1020\ \mathrm{m}

位移函數總整理

s(t)={t220,0≤t≤60180+6(t−60),60≤t≤120540+6(t−120)+(t−120)230,120≤t≤180s(t)= \begin{cases} \dfrac{t^2}{20}, & 0\leq t\leq60 \\[6pt] 180+6(t-60), & 60\leq t\leq120 \\[6pt] 540+6(t-120)+\dfrac{(t-120)^2}{30}, & 120\leq t\leq180 \end{cases}

位移圖形特徵

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