110 身心障礙特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查三維應力元素的應力分量、主應力與最大剪應力。應力矩陣為對稱矩陣；主應力是該矩陣的特徵值。三維狀態下的最大剪應力，等於最大與最小主應力差的一半。

依圖示方向，正面為 $x$ 方向的正面，正面、右面與頂面的正向應力分別為 $80$、$48$、$60\ \text{MPa}$；右面上的剪應力沿正 $z$ 方向，大小為 $30\ \text{MPa}$，所以 $\tau_{yz}=\tau_{zy}=30\ \text{MPa}$。圖中其餘剪應力分量為零。

解題方法

（一）依座標順序 $x,y,z$ 排列應力分量，並利用剪應力互等關係 $\tau_{ij}=\tau_{ji}$，得

（二）主應力為此矩陣的特徵值。$x$ 方向與 $y$、$z$ 方向分離，因此其中一個主應力為 $80\ \text{MPa}$。其餘兩個由 $y$–$z$ 子矩陣求得：

解得

核心觀念

本題運用連桿幾何、二力構件平衡與彈簧定律 $F=k\Delta x$。連桿 $BC$、$CD$ 等長，且 $B$ 受水平導引、$D$ 固定；掛重後兩桿相對水平線分別為 $-30^\circ$、$+30^\circ$。彈簧伸長量等於 $B$ 點的水平位移。

解題方法

（一）$B$ 點水平移動量

未掛砝碼時，$B、C、D$ 共水平，故 $BD=300+300=600\text{ mm}$。掛上砝碼後，兩桿的水平投影各為 $300\cos30^\circ$，因此

$B$ 朝右移動，彈簧因此伸長約 $80.4\text{ mm}$。

（二）彈簧係數

在 $C$ 點，兩根等長連桿的拉力大小相同，設為 $T$。垂直方向平衡為

核心觀念

本題考查機械能守恆。物體沿斜坡下降時，重力位能轉成動能；接觸預壓彈簧後，動能與重力所作的功再轉成彈簧位能。依圖中尺寸，斜坡長 $5750\text{ mm}$、下降高度 $500\text{ mm}$，因此

彈簧的初始壓縮量為 $60\text{ mm}$；若物體再使彈簧壓縮 $x$，彈簧總壓縮量就是 $60+x$。圖示的 $250\text{ mm}$ 為彈簧安裝長度，不是額外的壓縮位移。

解題方法

假設物體沿斜坡滑動時無摩擦，取 $g=9.81\text{ m/s}^2$。

（一）物體到達 B 處的速度

物體由 A 到 B 下降 $h=0.5\text{ m}$。由機械能守恆：

（二）彈簧再被壓縮的最大量

令彈簧在物體到達 B 前已有 $x_0=0.06\text{ m}$ 的預壓量。物體再沿斜坡移動並壓縮彈簧 $x$ 時，重力沿斜坡方向的分量為 $mg\sin\theta$。

核心觀念

本題考連桿機構的受力分析與滑塊摩擦。桿 $AB$、$AC$ 都是兩力構件；在圖示位置，先由幾何求出桿的方向，再分析接點 $A$ 與滑塊 $m$ 的平衡。滑塊的正向力包含桿 $AB$ 施加的向下分力，因此摩擦力不能只用 $\mu mg$ 計算。

解題方法

由圖中尺寸，$AB=500\text{ mm}$，$B$ 到 $A$ 的水平距離為 $400\text{ mm}$，故垂直距離為

因此 $AB$ 的方向比為 $4:3:5$。$AC=350\text{ mm}$，且 $A$ 到 $C$ 的垂直距離也是 $300\text{ mm}$，所以水平距離為

令桿 $AB$ 的壓縮力大小為 $F_{AB}$，桿 $AC$ 的壓縮力大小為 $F_{AC}$。在接點 $A$ 平衡：

解得

桿 $AB$ 對滑塊的作用力向左、向下，分量分別為

滑塊的正向力因此為

令推力 $P$ 向右，摩擦係數 $\mu=0.1$，且滑塊質量 $m=10\text{ kg}$。

• 滑塊向右移動時，摩擦力向左。水平力平衡為