111 身心障礙特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查兩級傳動：

1. 外嚙合齒輪傳動：齒輪 A 與 B 的轉向相反，且節線速度相同。
2. 同軸傳動：齒輪 B 與皮帶輪 C 固定於同一軸，因此轉速相同。
3. 開式皮帶傳動：皮帶輪 C 與 D 的轉向相同，且皮帶線速度相同。

相關公式為：

齒輪傳動：

開式皮帶傳動：

解題方法

由圖可知，齒輪 A 與 B 為外嚙合，B 與皮帶輪 C 同軸，C、D 由開式皮帶連接。

第一級：求齒輪 B 的轉速

代入：

齒輪 A 順時針旋轉，外嚙合齒輪 B 的轉向相反，因此 B 為逆時針旋轉。

因為 B、C 同軸：

第二級：求皮帶輪 D 的轉速

核心觀念

圖二中有兩條承載路徑：

• 右側彈簧 $K_3$ 單獨連接於固定端與物體之間。
• 左側由 $K_1$、$K_2$ 串聯後，連接於固定端與物體之間。

兩組支承物體的彈簧系統屬於「並聯」；左側的 $K_1$、$K_2$ 則屬於「串聯」。

彈簧系統的自然角頻率為

其中 $k$ 為總等效彈簧常數，$m$ 為物體質量。因題目給的是重量 $W$，故

解題方法

先求左側兩彈簧串聯的等效彈簧常數。

串聯時，兩彈簧承受相同的力量 $F$，總變形量為各彈簧變形量之和：

由虎克定律：

因此

令左側串聯彈簧的等效彈簧常數為 $k_s$，則

所以

整理得

接著，左側串聯組與右側 $K_3$ 並聯。並聯時兩組彈簧的變形量相同，總承載力為各支路承載力之和，因此總等效彈簧常數為

代入 $k_s$：

物體質量為

故系統自然角頻率為

代入總彈簧常數：

核心觀念

本題考查定滑輪、動滑輪的槓桿原理，以及複合滑輪組的機械利益。

滑輪可視為以輪軸接觸點為支點的槓桿：

• 定滑輪：輪軸固定不動，兩側力臂相等，因此只改變力的方向，理想機械利益為 $1$。
• 動滑輪：輪軸隨負載移動，負載由兩段相同張力的繩索支撐，因此可減少所需施力，理想機械利益為 $2$。

滑輪組的機械利益定義為：

其中 $W$ 為負載，$F$ 為外加施力。以下均假設繩索及滑輪無重量、繩索不可伸長、滑輪軸無摩擦。

解題方法

計算滑輪組時，應由施力端開始，逐級利用滑輪的受力平衡：

• 定滑輪只改變繩索方向，不增加機械利益。
• 每一個理想動滑輪，若由兩段繩張力支撐，其輪軸所受作用力為繩張力的 $2$ 倍。
• 串聯的動滑輪，其機械利益相乘。

圖三

圖三上方的定滑輪只用來改變施力方向，對機械利益沒有貢獻。

設第一條繩索張力為 $T_1$。因施力端為 $F$，故：

中間的第一個動滑輪由兩段繩索支撐，因此其輪軸受到的向上支承力為：

此力成為下一條繩索的張力，因此：

下方第二個動滑輪同樣由兩段張力為 $T_2$ 的繩索支撐，故負載 $W$ 的平衡條件為：

代入 $T_2=2F$：

因此圖三的機械利益為：

核心觀念

1. 平面機構自由度（Degrees of Freedom, DOF / Mobility）： 根據葛布勒／古茲巴赫準則（Grübler / Kutzbach Criterion），平面機構之自由度 $F$ 計算公式為： $F = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2$ 其中：

• $N$：機構之總桿件數（含固定機架 Frame）。
• $J_1$：具 1 個自由度之對（低對 Lower pairs），如轉動對（Revolute joint, R）或滑動對（Prismatic joint, P）。
• $J_2$：具 2 個自由度之對（高對 Higher pairs），如凸輪接觸或齒輪嚙合接觸。

2. 閉合運動鏈（Closed Kinematic Chains）桿件與關節數量限制： 若運動鏈僅由低對構成（$J_2 = 0$），自由度公式可簡化為： $F = 3(N - 1) - 2J_1$ 當要求的自由度 $F = 1$ 時： $1 = 3(N - 1) - 2J_1 \implies 2J_1 = 3N - 4 \implies J_1 = \frac{3N - 4}{2}$ 由於低對數 $J_1$ 必須為正整數，故 $(3N - 4)$ 必須為偶數，由此可知桿件數 $N$ 必須為正偶數（$N = 4, 6, 8, \dots$）。

3. 連桿種類與節點數配比：

• 二連桿（Binary link）：具 2 個連接節點（樞鈕）。
• 三連桿（Ternary link）：具 3 個連接節點（樞鈕）。 對 $N=6$ 且 $F=1$ 之平面運動鏈，由桿件總數與關節數立方程式推導，可知其結構必定由 4 個二連桿與 2 個三連桿所組成。

解題方法

一、 自由度 $F = 1$ 之平面四連桿與六連桿運動鏈繪圖與分類

1. 平面四連桿運動鏈（Four-Bar Kinematic Chain）：

• 桿件數 $N = 4$，低對數 $J_1 = \frac{3(4)-4}{2} = 4$。
• 拓撲種類：僅有 1 種拓撲形態，即由 4 個二連桿首尾順序相連形成單一閉合迴路之四連桿鏈。
• 運動鏈示意圖： 由桿件 1、2、3、4 經 4 個轉動樞鈕（$A, B, C, D$）相連：

桿件 2
A *-------* B
/ \
桿件 1 / \ 桿件 3
/ \
D *-------* C
桿件 4

2. 平面六連桿運動鏈（Six-Bar Kinematic Chains）：

• 桿件數 $N = 6$，低對數 $J_1 = \frac{3(6)-4}{2} = 7$。
• 桿件組成分析：設二連桿數量為 $n_2$，三連桿數量為 $n_3$。 $\begin{cases} n_2 + n_3 = 6 \\ 2n_2 + 3n_3 = 2J_1 = 14 \end{cases} \implies n_3 = 2,\ n_2 = 4$ 即由 4 個二連桿與 2 個三連桿組成。
• 拓撲種類：依據 2 個三連桿是否直接相連，共有 2 種拓撲形態：

(1) 瓦特型運動鏈（Watt Kinematic Chain）：

• 結構特徵：兩個三連桿直接相連（共用一個轉動樞鈕）。
• 運動鏈示意圖：

【瓦特型 (Watt Chain)】
(三連桿 1)
/ \
樞鈕A*-----*--- (二連桿 3) ---*
\ / |
(三連桿 2) |
| |
(二連桿 4) (二連桿 5)
| |
*-------(二連桿 6)------*

說明：包含兩個四連桿迴路，且兩三連桿在樞鈕 A 處直接對接。

(2) 史提芬生型運動鏈（Stephenson Kinematic Chain）：

• 結構特徵：兩個三連桿不直接相連，而是透過三條獨立的二連桿路徑相連。
• 運動鏈示意圖：

【史提芬生型 (Stephenson Chain)】
(二連桿 3)
*--------------*
/ \
(三連桿 1)---(二連桿 4)---(三連桿 2)
\ /
*--(二連桿 5)--*--(二連桿 6)--*

核心觀念

本題考查：

1. 二力桿件：連桿 $AB$ 重量忽略，且兩端皆為鉸接，因此 $AB$ 為二力桿，所受作用力必沿桿軸方向。
2. 極限靜摩擦：輸送帶剛開始向左移動時，物體與皮帶間達到最大靜摩擦力： $f=\mu N$
3. 物體與皮帶的作用反作用力：皮帶對物體的摩擦力向左，物體對皮帶的摩擦力向右。因此拉力 $P$ 等於摩擦力大小。

解題方法

輸送帶欲向左移動時，物體相對皮帶有向右滑動的趨勢，所以皮帶作用在物體上的摩擦力 $f$ 向左。

因為物體受左向摩擦力，連桿 $AB$ 必須以拉力作用於物體，拉力方向沿 $AB$ 指向右下方。設連桿張力為 $T$，且 $\theta=30^\circ$。

物體受力如下：

• 重力：$W$，向下
• 正向力：$N$，向上
• 摩擦力：$f$，向左
• 連桿張力：$T$，沿 $AB$ 向右下

水平方向平衡

垂直方向平衡

連桿張力的垂直分量向下，因此：

開始滑動時：

代入前式：

整理得：

由於 $P$ 等於物體與皮帶間的摩擦力：

也可直接整理為：