113 原住民特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考驗完全隨機設計（CRD）下，如何比較六個品種的平均稻穀產量。以單因子變方分析（one-way ANOVA）檢定六組平均數是否全相同，可控制整體第一型錯誤率在顯著水準 $\alpha=0.05$。

解題方法

（一）虛無假設與對立假設

令 $\mu_i$ 表示品種 $V_i$ 的母體平均產量，則：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5=\mu_6$$ $$H_1:\text{至少有一個品種的平均產量不同}$$

對立假設不是「六個平均數彼此都不同」，只要有一組或多組平均數不相等，即符合 $H_1$。

（二）需進行的兩兩 $t$ 檢定次數

六個品種中，每一對品種都要比較一次，檢定次數為組合數：

$$\binom{6}{2}=\frac{6(6-1)}{2}=15$$

因此，須進行 15 次兩族群獨立 $t$ 檢定，才能涵蓋所有兩兩平均數比較，判斷是否存在平均數差異。

（三）總第一型錯誤率

若每次檢定的第一型錯誤率均為 $\alpha=0.05$，且各檢定互相獨立，15 次檢定全部不犯第一型錯誤的機率為 $(1-\alpha)^{15}$。因此，至少犯一次第一型錯誤的總機率為：

$$\alpha_{\text{FWER}} =1-(1-\alpha)^{15} =1-(0.95)^{15} \approx 0.5367$$

核心觀念

本題比較三個硬質玉米品系的平均產量，考驗隨機完全區集設計（RCBD）與完全隨機設計（CRD）的變方分析，以及區集的用途。

RCBD 中每個區集都包含全部三個品系，將總變異拆解為「品系、區集、誤差」三部分，以排除區集間環境差異對比較的干擾。設品系數 $t=3$、區集數 $b=5$、觀測值總數 $N=tb=15$，自由度為：

• 品系：$t-1=2$
• 區集：$b-1=4$
• 誤差：$(t-1)(b-1)=8$
• 總和：$N-1=14$

檢定品系效果的假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有一個品系平均產量不同}$$

以下以各品系的平均產量進行比較。

（一）RCBD 變方分析

解題方法與計算

令 $y_{ij}$ 表示第 $j$ 區集內第 $i$ 品系的產量。各品系合計與平均數為：

品系	合計 $T_i$	平均數 $\bar y_{i\cdot}$
$L_1$	19.5	3.90
$L_2$	21.0	4.20
$L_3$	22.1	4.42

總和 $G=62.6$，總平均數為 $\bar y_{\cdot\cdot}=62.6/15=4.1733$。校正因子為：

$$C=\frac{G^2}{N}=\frac{62.6^2}{15}=261.4133$$

總平方和：

$$SS_{\text{Total}}=\sum_{i,j}y_{ij}^2-C =262.02-261.4133=0.6067$$

品系平方和：

$$SS_{\text{品系}}=\frac{\sum_iT_i^2}{b}-C =\frac{19.5^2+21.0^2+22.1^2}{5}-261.4133 =0.6787$$

區集平方和（區集合計依序為 $12.2,12.7,12.6,12.6,12.5$）：

$$SS_{\text{區集}}=\frac{\sum_jB_j^2}{t}-C =\frac{12.2^2+12.7^2+12.6^2+12.6^2+12.5^2}{3}-261.4133 =0.0333$$

注意：使用題目表格資料直接計算，品系平方和應為 $0.6787$，但這會大於總平方和，代表資料或表格存在內部矛盾。逐筆平方和為 $262.02$，然而三品系合計平方和除以區集數約為 $262.092$，已超過逐筆平方和；因此依據題目所列資料，標準平方和分解無法成立，亦無法建立有效的 ANOVA 表。### 結果闡述

核心觀念

本題考完全隨機設計（CRD）下兩個處理平均數的比較，先以單因子變方分析檢定品系間平均產量是否相同，再以最小顯著差異法（LSD）比較兩品系。

題幹說明「以 10 重複」，但表列兩品系各為 9 個重複。以下依表列的重複數 $n_{PT}=n_{TC}=9$ 計算，故總觀測數 $N=18$、誤差自由度為 $18-2=16$。

完全隨機設計的誤差平方和可由各組標準差計算：

$$SS_E=\sum_{i=1}^{a}(n_i-1)s_i^2$$

處理平方和為：

$$SS_{\text{品系}}=\sum_{i=1}^{a}n_i(\bar y_i-\bar y_{\cdot\cdot})^2$$

其中 $\bar y_{\cdot\cdot}$ 是總平均。LSD 的兩兩比較公式為：

$$LSD=t_{\alpha/2,\,df_E}\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}$$

本題兩品系的標準差與重複數不同、相同均可適用此公式；因為比較兩個平均數，採雙尾檢定的 $t_{\alpha/2,df_E}$。

解題方法與 ANOVA 計算

兩品系的總平均為：

$$\bar y_{\cdot\cdot} =\frac{9(25.67)+9(27.33)}{18} =26.50$$

因此，處理平方和為：

$$\begin{aligned} SS_{\text{品系}} &=9(25.67-26.50)^2+9(27.33-26.50)^2\\ &=9(0.83)^2+9(0.83)^2\\ &=12.3798 \end{aligned}$$

誤差平方和為：

$$\begin{aligned} SS_E &=(9-1)(1)^2+(9-1)(1.5)^2\\ &=8+18\\ &=26 \end{aligned}$$

總平方和為：

$$SS_T=SS_{\text{品系}}+SS_E=12.3798+26=38.3798$$

自由度依序為品系 $2-1=1$、誤差 $18-2=16$、總計 $18-1=17$。均方與 $F$ 值為：

$$MS_{\text{品系}}=\frac{12.3798}{1}=12.3798$$ $$MSE=\frac{26}{16}=1.625$$ $$F=\frac{12.3798}{1.625}=7.618$$

變異來源	自由度	平方和 SS	均方 MS	$F$ 值
品系	1	12.3798	12.3798	7.618
誤差	16	26.0000	1.6250
總計	17	38.3798

在 $\alpha=0.05$ 下，$F_{0.05,1,16}=4.494$，而 $7.618>4.494$，故拒絕「PT 與 TC 平均產量相同」的虛無假設，品系間平均產量有顯著差異。

核心觀念

本題考查處理（灌溉管理方式）與試驗場域完全混淆時的試驗設計限制，以及相應的變方分析與 $F$ 檢定。

三種灌溉管理方式各自只能配置到一個場域，因此場域與灌溉處理一一對應。田區內即使設置許多小區或逐年觀測，也不能把它們當成灌溉處理的獨立重複：處理的實驗單位是場域，三個處理各只有一個實驗單位。若把小區或年度當作處理重複，會形成偽重複，低估誤差並使處理檢定失真。

解題方法與配置

將三種灌溉管理方式分別配置到三個場域，並在三年契約期間維持配置不變；每年於各場域依一致規範量測溫室氣體排放。這是以場域為實驗單位的三年重複觀測配置，可比較三種管理方式的觀測差異，並把年份及處理與年份的交互作用納入分析。

但此配置有重要限制：每種灌溉方式只配置一個場域，故處理效應與場域效應完全混淆。場域間原有的土壤、地形或排水差異，無法與灌溉處理差異分開；三年重複觀測只能描述各場域隨年度的變化，不能增加處理的獨立重複。因此，以下變方分析可分解觀測資料，但不能提供有效的處理效應檢定。

變方分析表

令 $y_{ij}$ 為第 $i$ 個灌溉管理方式（亦即第 $i$ 個場域）在第 $j$ 年的觀測值，$i=1,2,3$，$j=1,2,3$。採用含處理、年份及交互作用的二因子模式：

$$y_{ij}=\mu+\tau_i+\gamma_j+(\tau\gamma)_{ij},$$

其中 $\tau_i$ 為灌溉管理方式（與場域混淆）的效應，$\gamma_j$ 為年度效應，$(\tau\gamma)_{ij}$ 為處理與年度交互作用。每個處理與年度組合只有一筆觀測，因此交互作用與隨機誤差無法分開，交互作用項充作殘差。