110 年原住民特考三等農業技術考古題與詳解

Question 1

假設以四種不同飼料配方 $A$、$B$、$C$、$D$ 餵飼四組幼鴨，記錄所有鴨隻 6 週後的增重，以增重的數據進行變方分析，獲得分析結果如下表： | 變異來源 | 自由度 | 平方和 | 均方 | $F$ | $p$-value | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | 飼料配方 | 3 | 2396.07 | 798.69 | 7.99 | 0.0018 | | 機差 | 16 | 1598.88 | 99.93 | | | | 總和 | 19 | 3994.95 | | | | 根據上述研究的說明及變方分析表，回答以下問題： （一）變方分析表的虛無假設為何？對立假設為何？（8 分） （二）處理因子為何？（3 分） （三）本研究的試驗單位為何？共有多少個試驗單位參與研究？（6 分） （四）本研究採用何種試驗設計？（3 分） （五）變方分析結果可獲得什麼結論（設顯著水準為 $0.01$）？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查單因子變方分析（one-way ANOVA）的假設檢定、處理因子、試驗單位與試驗設計判讀。 單因子變方分析比較 $a$ 個處理水準的母體平均數，檢定統計量為： $$ F=\frac{	ext{處理均方}}{	ext{誤差均方}} $$ 本題有四種飼料配方，處理自由度為 $a-1=4-1=3$。單因子變方分析的總自由度為 $N-1$、誤差自由度為 $N-a$，其中 $N$ 是試驗單位總數。 解題方法 （一）虛無假設與對立假設 令 $\muA,\muB,\muC,\muD$ 分別代表四種飼料配方下，幼鴨六週增重的母體平均數。 $$ H0:\muA=\muB=\muC=\muD $$ 虛無假設為四種配方的平均增重相同。 $$ H1:	ext{至少有一種配方的平均增重不同} $$ 對立假設只要求至少一個平均數有差異，不表示四種配方的平均數兩兩皆不同。 （二）處理因子 處理因子是「飼料配方」，有四個水準：$A$、$B$、$C$、$D$。 （三）試驗單位與數量 試驗單位是接受處理並被觀察增重的最小獨立單位。本題依題意以每隻幼鴨作為試驗單位。 由總自由度 $19=N-1$ 得： $$ N=19+1=20 $$ 也可由誤差自由度驗算：$N-a=16$，故 $N=16+4=20$。因此共有 20 個試驗單位參與研究。若四種配方平均分配，則每種配方為 5 隻；但自由度只能確定總數為 20，不能單獨證明各組樣本數相等。

Question 2

在試驗田區內以四重複的隨機完全區集設計，比較 $A$、$B$、$C$、$D$ 四種不同紅豆品種的產量是否有顯著差異，試驗後的產量數據如下： | 品種＼區集 | I | II | III | IV | |---|---:|---:|---:|---:| | $A$ | 45 | 39 | 40 | 45 | | $B$ | 25 | 28 | 30 | 29 | | $C$ | 28 | 31 | 24 | 28 | | $D$ | 31 | 37 | 35 | 33 | （一）分別計算 $A$、$B$、$C$、$D$ 各紅豆品種的產量平均值與標準誤（standard errors）。（20 分） （二）計算以下變方分析表（1）～（5）欄位之數值結果。（10 分） | 變異來源 | DF | SS | MS | $F$ | $p$-value | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | Block | （1） | 9.0 | （3） | | | | Treatment | （2） | 556.5 | （4） | 20.739 | 0.0002 | | Error | 9 | 80.5 | （5） | | | | Total | 15 | | | | | （三）承上題，依據變方分析表 $F=20.739$ 及其對應的 $p$-value $=0.0002$，在顯著水準設為 $0.05$ 下，可獲得什麼結論？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）的平均數標準誤與變方分析。四種品種為處理，四個區集為重複；每個區集都包含四種品種。 RCBD 的自由度與平方和公式為： $$ \begin{aligned} DF{	ext{處理}}&=t-1, & DF{	ext{區集}}&=r-1, & DF{	ext{誤差}}&=(t-1)(r-1),\ SS{	ext{處理}}&=\sum{i=1}^{t}\frac{Ti^2}{r}-\frac{G^2}{N},& SS{	ext{區集}}&=\sum{j=1}^{r}\frac{Bj^2}{t}-\frac{G^2}{N}. \end{aligned} $$ 其中 $t$ 是處理數、$r$ 是區集數，$Ti$ 是第 $i$ 個品種總產量，$Bj$ 是第 $j$ 個區集總產量，$G$ 是總和，$N=tr$。各均方為 $MS=SS/DF$；檢定品種效果的統計量為 $F=MS{	ext{處理}}/MS{	ext{誤差}}$。 解題方法與計算 先計算各品種總和與平均值： | 品種 | 總和 | 平均產量 | |---|---:|---:| | A | $45+39+40+45=169$ | $169/4=42.25$ | | B | $25+28+30+29=112$ | $112/4=28.00$ | | C | $28+31+24+28=111$ | $111/4=27.75$ | | D | $31+37+35+33=136$ | $136/4=34.00$ | 共有 $t=4$ 種品種、$r=4$ 個區集、$N=16$ 筆觀測值，因此： $$ DF{	ext{區集}}=4-1=3,\qquad DF{	ext{處理}}=4-1=3,\qquad DF{	ext{誤差}}=(4-1)(4-1)=9. $$ 這也與總自由度 $N-1=15$ 相符。 以總和公式計算處理平方和。總和 $G=528$，修正項為 $G^2/N=528^2/16=17424$： $$ SS{	ext{處理}} =\frac{169^2+112^2+111^2+136^2}{4}-17424 =556.5. $$ 區集總和依序為 $129,135,129,135$，所以： $$ SS{	ext{區集}} =\frac{129^2+135^2+129^2+135^2}{4}-17424 =9.0. $$ 誤差均方由誤差平方和除以誤差自由度得到： $$ MS{	ext{誤差}}=\frac{80.5}{9}=8.9444. $$ 處理均方與檢定統計量為：

Question 3

因應智慧農業的發展，農場管理員希望透過簡單線性回歸模式，以累積溫度來預測葉菜生長的葉片數，進而規劃生產時程，因此收集一批葉菜的累積溫度與葉片數資料如下：

重複	1	2	3	4	5	6	總和	平方和
累積溫度（ $x$ ）	91	181	222	298	390	408	1590	497694
葉片數（ $y$ ）	2	3	5	7	9	10	36	268

（一）求累積溫度與葉片數的相關係數（correlation coefficient）。（10 分）

（二）將上述累積溫度與葉片數資料以統計軟體進行回歸分析，得分析結果如下。請依據分析結果，寫出以累積溫度預測葉片數的簡單線性回歸之最小平方法估計式，並據以預測 10 片葉片所需累積溫度為何？（10 分）

Coefficients:

| | Estimate | Std. Error | $t$ value | Pr( $>|t|$ ) | |---|---:|---:|---:|---:| | (Intercept) | -0.84160 | 0.55009 | -1.53 | 0.200772 | | $x$ | 0.02582 | 0.00191 | 13.52 | 0.000173 *** |

Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Analysis of Variance Table

Response: $y$

	Df	Sum Sq	Mean Sq	$F$ value	Pr( $>F$ )
$x$	1	50.886	50.886	182.72	0.0001733 ***
Residuals	4	1.114	0.278

Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Accepted Answer

核心觀念 本題考查皮爾森相關係數，以及簡單線性迴歸的最小平方法估計式。令累積溫度為 $x$、葉片數為 $y$： $$ r=\frac{S{xy}}{\sqrt{S{xx}S{yy}}} $$ 其中 $S{xx}=\sum xi^2-(\sum xi)^2/n$、$S{yy}=\sum yi^2-(\sum yi)^2/n$，而 $S{xy}=\sum xi yi-(\sum xi)(\sum yi)/n$。 簡單線性迴歸式為 $\hat y=b0+b1x$，其中 $b1=S{xy}/S{xx}$，$b0=\bar y-b1\bar x$。 解題方法 （一）先依六筆配對資料計算交乘和： $$ \sum xi yi =91(2)+181(3)+222(5)+298(7)+390(9)+408(10) =11511 $$ 由題目所給總和及平方和： $$ S{xx}=497694-\frac{1590^2}{6}=76344 $$ $$ S{yy}=268-\frac{36^2}{6}=52 $$ $$ S{xy}=11511-\frac{1590(36)}{6}=1971 $$

Question 4

某機構受委託抽檢某市售產品的藥劑殘留量，假設該藥劑法定標準殘留量不得高於 5 ppm，108 年從市售產品隨機抽樣 300 件樣品中，經檢驗發現有 273 件符合法定標準。

（一）依據抽驗結果，符合法定標準的比例 $p$ 為何？求取符合法定標準比例 $p$ 的 95% 雙尾信賴區間（假設該比例值的分布可以常態分布概似之，且標準常態分布 97.5% 百分位數為 1.96）。（10 分）

（二）經過 108 年的抽檢後，近年來縣政府努力宣導，希望能將市售產品檢出藥劑殘留符合合法定標準的比例提升至 95% 以上，並即將在 111 年再次辦理市售產品抽檢檢視宣導成果。若縣政府希望符合合法定標準比例的估計誤差低於正負 1% 內，且要求型 I 錯誤發生之機率不得高於 5%（不考慮型 II 錯誤發生之機率），請說明：

何謂抽檢發生型 I 錯誤。
根據前述要求，應從市售產品隨機抽樣幾件樣品。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查母體比例 $p$ 的點估計、常態近似信賴區間，以及在指定信賴水準與估計誤差下的樣本數規劃。 樣本比例為 $\hat p=x/n$。比例的近似標準誤為 $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$，因此 95% 雙尾信賴區間採用 $$ \hat p\pm z{0.975}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, $$ 其中 $z{0.975}=1.96$。樣本數規劃則以誤差上限 $E$、預估比例 $p$ 和信賴水準的臨界值計算： $$ n=\frac{z{0.975}^{\,2}p(1-p)}{E^2}. $$ （一）比例估計與 95% 雙尾信賴區間 300 件樣品中有 273 件符合標準，故符合法定標準比例的點估計為 $$ \hat p=\frac{273}{300}=0.91. $$ 估計標準誤為 $$ \sqrt{\frac{0.91(1-0.91)}{300}} =\sqrt{\frac{0.0819}{300}} \approx 0.01652. $$ 95% 信賴區間的誤差界為 $$ 1.96(0.01652)\approx 0.03238. $$ 因此信賴區間為 $$ 0.91\pm0.03238 =(0.87762,\;0.94238). $$ 換算成百分比，約為 87.76% 至 94.24%。 （二）型 I 錯誤與樣本數 1. 型 I 錯誤 縣政府的目標是檢視符合法定標準的比例是否已提升至 95% 以上，可設定假設為

110 原住民特考三等農業技術試驗設計考古題詳解

第一題

第二題

核心觀念

解題方法與計算

第三題

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110 原住民特考三等 農業技術 試驗設計 考古題詳解

第 一 題

第 二 題