110 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

單一母體比例的常態近似信賴區間為

$$\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},$$

其中 $\hat p$ 是樣本比例，也是母體比例 $p$ 的不偏估計量。題目給的區間中點可用來求 $\hat p$；區間半寬則反映估計標準誤與信賴水準。

若將資料視為 $0$、$1$ 變數，母體平均數等於母體比例；以題目給定區間反推標準誤，再換算信賴水準，可求平均數區間。檢定比例時，虛無假設下的標準誤須以 $p_0$ 計算。規劃樣本數時，若沒有先驗比例資訊，取最保守的 $\hat p(1-\hat p)=0.25$。

解題方法與計算

（一）母體比例的不偏估計值

比例信賴區間以 $\hat p$ 為中心，因此：

$$\hat p=\frac{0.451+0.549}{2}=0.500.$$

樣本比例 $\hat p$ 是母體比例 $p$ 的不偏估計量，故估計值為 $0.500$。

（二）單一母體平均數的 $90\%$ 信賴區間

把觀測值視為 $0$、$1$ 變數，則其樣本平均數等於樣本比例，故 $\bar x=0.500$。依題目所給 $95\%$ 區間的半寬 $0.049$，以 $z_{0.975}=1.96$ 反推標準誤：

$$SE=\frac{0.049}{1.96}=0.025.$$

$90\%$ 雙尾信賴區間使用 $z_{0.95}=1.645$，因此：

$$\bar x\pm z_{0.95}SE =0.500\pm1.645(0.025) =(0.4589,\ 0.5411).$$

此計算是依題目所給區間反推標準誤再換算信賴水準。題目數據與通常的比例 Wald 區間公式不一致：若 $\hat p=0.5$、$n=100$，該公式給出的 $95\%$ 區間應約為 $(0.402,\ 0.598)$。因此本小題的區間以題目提供的 $95\%$ 區間為計算依據。

（三）檢定母體比例是否為 $0.45$

設雙尾假設為

$$H_0:p=0.45,\qquad H_1:p\ne0.45.$$

虛無假設成立時，比例檢定統計量為

核心觀念

二項隨機變數 $W\sim\operatorname{Bin}(n,p)$ 的期望值與變異數為

$$E(W)=np,\qquad \operatorname{Var}(W)=np(1-p).$$

對常數 $a,b$，有

$$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y).$$

題目指出 $X$、$Y$ 互相獨立，因此 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。期望值則具有線性性：

$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).$$

解題方法

先分別求出 $X$、$Y$ 的期望值與變異數：

$$X\sim\operatorname{Bin}\left(10,\frac12\right) \quad\Rightarrow\quad E(X)=10\cdot\frac12=5,\qquad \operatorname{Var}(X)=10\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac52.$$ $$Y\sim\operatorname{Bin}\left(15,\frac12\right) \quad\Rightarrow\quad E(Y)=15\cdot\frac12=\frac{15}{2},\qquad \operatorname{Var}(Y)=15\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac{15}{4}.$$

（一）$\operatorname{Var}(Y)$

代入二項分配的變異數公式：

$$\operatorname{Var}(Y)=n_2p_2(1-p_2) =15\cdot\frac12\cdot\left(1-\frac12\right) =\frac{15}{4}=3.75.$$

（二）$\operatorname{Var}(X+2Y)$

利用變異數的線性組合公式及獨立性：

核心觀念

樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配，取決於母體平均數 $\mu$、母體變異數 $\sigma^2$，以及母體是否為常態分配。

若 $X_1,\ldots,X_n$ 為獨立同分配且母體具有有限平均數與變異數，則

$$E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.$$

依中央極限定理，當樣本數夠大時，$\bar X$ 的分配近似常態分配。若母體本身為常態分配，則 $\bar X$ 的常態分配是精確結果，不只是近似。

解題方法

本題各小題均取 $n=100$。先求母體的 $\mu$ 與 $\sigma^2$，再用上式求樣本平均數的平均值與變異數；母體非正態時，利用中央極限定理判定近似分配。

（一）母體為 $U(0,12)$

連續型均勻分配 $U(a,b)$ 的平均數與變異數為

$$\mu=\frac{a+b}{2},\qquad \sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}.$$

代入 $a=0$、$b=12$：

$$\mu=6,\qquad \sigma^2=12.$$

因此

$$E(\bar X)=6,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{12}{100}=0.12.$$

均勻母體不是常態分配，但樣本數為 $100$，依中央極限定理，樣本平均數近似常態分配：

$$\bar X\ \dot{\sim}\ N(6,\,0.12).$$

此處第二個參數表示變異數。

（二）母體為自由度 $10$ 的卡方分配

若 $X\sim\chi^2_k$，則

$$E(X)=k,\qquad \operatorname{Var}(X)=2k.$$

自由度 $k=10$，故 $\mu=10$、$\sigma^2=20$。因此

$$E(\bar X)=10,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{20}{100}=0.2.$$

卡方母體不是常態分配，但其變異數有限，樣本數為 $100$ 時依中央極限定理：

$$\bar X\ \dot{\sim}\ N(10,\,0.2).$$

核心觀念

本題考簡單線性迴歸中，資料點若全數落在一條直線上，最小平方法估計的迴歸線、誤差平方和、樣本相關係數與判定係數會有何結果。

設模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,12.$$

題目給定的 12 個點都滿足 $y_i=6-2x_i$，因此每個點都精確落在同一條直線上，沒有垂直於迴歸線的殘差。

解題方法

最小平方法估計的斜率與截距分別為

$$\hat\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2}, \qquad \hat\beta_0=\bar{y}-\hat\beta_1\bar{x}.$$

由 $y_i=6-2x_i$ 可得 $\bar{y}=6-2\bar{x}$。代入斜率公式：

$$\hat\beta_1 =\frac{\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})[-2(x_i-\bar{x})]} {\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2} =-2,$$

只要 $x_i$ 並非全部相同，分母即大於零。接著