113 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題是機率論中最經典的兩個定理的組合應用：

1. 全機率定理（Law of Total Probability）：當樣本空間被一組互斥且窮盡的事件 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 分割時，任一事件 $A$ 的機率可表示為 $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i)\,P(B_i)$

2. 貝氏定理（Bayes' Theorem）：在已知結果 $A$ 發生的條件下，反推「原因」$B_i$ 的事後機率（posterior probability）： $P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)\,P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(A \mid B_j)\,P(B_j)} = \frac{P(A \mid B_i)\,P(B_i)}{P(A)}$

本題情境為典型的「工廠／供應商＋瑕疵品」樹狀機率模型：四家供應商的供貨比例互斥且加總為 1（構成一個分割），每家供應商各自有其瑕疵率（條件機率），第 (一) 小題求「邊際機率」（marginal probability），第 (二) 小題求「事後機率」（posterior probability），兩者環環相扣，第 (一) 小題算出的總機率正是第 (二) 小題貝氏公式的分母。

解題方法

Step 1：定義事件與整理已知條件

設：

• $A_1$：顯示器來自甲供應商，$P(A_1)=0.40$
• $A_2$：顯示器來自乙供應商，$P(A_2)=0.30$
• $A_3$：顯示器來自丙供應商，$P(A_3)=0.20$
• $A_4$：顯示器來自丁供應商，$P(A_4)=0.10$
• $D$：顯示器有缺陷

顯然 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 互斥且窮盡（$\sum P(A_i)=1$），構成樣本空間的一個分割，符合套用全機率定理的前提。

已知各家的條件缺陷率： $P(D\mid A_1)=0.03,\quad P(D\mid A_2)=0.04,\quad P(D\mid A_3)=0.07,\quad P(D\mid A_4)=0.065$

Step 2：（一）用全機率定理求總體缺陷率 $P(D)$

$P(D)=\sum_{i=1}^{4} P(D\mid A_i)\,P(A_i)$

逐項計算聯合機率（joint probability）：

$P(D\mid A_1)P(A_1) = 0.03 \times 0.40 = 0.0120$ $P(D\mid A_2)P(A_2) = 0.04 \times 0.30 = 0.0120$ $P(D\mid A_3)P(A_3) = 0.07 \times 0.20 = 0.0140$ $P(D\mid A_4)P(A_4) = 0.065 \times 0.10 = 0.0065$

核心觀念

本題考的是簡單線性迴歸的變異數分析（ANOVA for Simple Linear Regression），核心觀念包括：

1. 平方和分解：$SST = SSR + SSE$（總變異 = 迴歸可解釋變異 + 誤差變異）
2. 自由度分解：

• 簡單線性迴歸只有一個自變數 $x$，故迴歸自由度恆為 $1$（對應待估參數 $\beta_1$）
• $df_{Total} = n - 1$，$df_{Error} = n - 2$（估計 $\beta_0,\beta_1$ 兩個參數）
• 因此 $df_{Total} = df_{Regression} + df_{Error}$

3. 均方和（MS） = 平方和 $\div$ 自由度
4. F 檢定統計量：$F = \dfrac{MSR}{MSE}$，用來檢定迴歸模型是否顯著（即 $x$ 是否對 $y$ 有解釋力）
5. 迴歸係數的假設檢定：在簡單線性迴歸中，「迴歸整體顯著性 F 檢定」等價於檢定 $H_0:\beta_1=0$

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解題方法

(一) 完成變異數分析表

第一步：由誤差自由度反推總自由度與迴歸自由度

題目已知 $df_{Error}=16$。簡單線性迴歸模型只有一個解釋變數，所以迴歸（Treatment）自由度固定為： $df_{Regression}=1$

由自由度可加性： $df_{Total}=df_{Regression}+df_{Error}=1+16=17$

第二步：由平方和可加性求迴歸平方和

已知 $SST=141.2$，$SSE=83.2$，代入： $SSR=SST-SSE=141.2-83.2=58.0$

第三步：計算均方和

$MSR=\frac{SSR}{df_{Regression}}=\frac{58.0}{1}=58.0$

$MSE=\frac{SSE}{df_{Error}}=\frac{83.2}{16}=5.2$

第四步：計算 F 統計量

$F=\frac{MSR}{MSE}=\frac{58.0}{5.2}\approx 11.15$

完成後的變異數分析表：

變異來源	自由度	平方和	均方和	$F$
可用迴歸解釋	$1$	$58.0$	$58.0$	$11.15$
誤差	$16$	$83.2$	$5.2$
合計	$17$	$141.2$

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(二) 解釋變數個數和總樣本數

• 解釋變數個數：簡單線性迴歸模型 $y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ 中只有一個自變數 $x$，故解釋變數個數為 $\boxed{1}$（這也是迴歸自由度恆為 $1$ 的原因）。

• 總樣本數：由 $df_{Total}=n-1=17$，解得 $n=18$

（驗證：$df_{Error}=n-2=18-2=16$，與題目所給一致，確認無誤。）

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(三) 虛無與對立假設

簡單線性迴歸的整體顯著性檢定（即 ANOVA 的 F 檢定），等價於檢定斜率係數 $\beta_1$ 是否為 $0$：

核心觀念

本題是「兩獨立樣本平均數差異檢定」的完整流程題，包含三個環節：

1. 假設設定：依題意「30 年期時間較短」屬單尾（右尾）檢定方向。
2. 變異數同質性檢定（$F$ 檢定）：在做兩樣本平均數 $t$ 檢定之前，必須先確認 $\sigma_1^2$ 與 $\sigma_2^2$ 是否相等，以決定要用「合併變異數（pooled variance）$t$ 檢定」還是「Welch 校正 $t$ 檢定」。
3. 棄卻域法完成 $t$ 檢定：依變異數同質性結果，選對檢定式與自由度，再與臨界值比較做出結論。

用到的公式：

• 樣本變異數 $s^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}$
• $F$ 檢定統計量 $F=\dfrac{s_{\text{較大}}^2}{s_{\text{較小}}^2}\sim F_{n_{\text{較大}}-1,\ n_{\text{較小}}-1}$
• 合併變異數 $S_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
• 合併變異數 $t$ 統計量 $t=\dfrac{(\bar x_1-\bar x_2)-0}{S_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}$

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解題方法

第一步：整理基本統計量

15 年期（樣本 1）：$n_1=8$，資料 $41,36,42,39,36,48,49,38$

$\bar x_1=\frac{329}{8}=41.125$

各離均差平方和：

$\sum(x_i-\bar x_1)^2=176.875$

$s_1^2=\frac{176.875}{7}=25.2679,\qquad s_1=5.0267$

30 年期（樣本 2）：$n_2=9$，資料 $21,27,26,20,32,25,34,24,22$

$\bar x_2=\frac{231}{9}=25.6667$

$\sum(x_i-\bar x_2)^2=182.0$

$s_2^2=\frac{182}{8}=22.75,\qquad s_2=4.7697$

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(一) 假設設定

題目要問的是「能否合理推論 30 年期時間較短」，即想證明 $\mu_1>\mu_2$（15 年期時間較長）。將「待證明的敘述」放在對立假設：

$H_0:\mu_1-\mu_2\le 0\ (\mu_1\le\mu_2)$ $H_1:\mu_1-\mu_2> 0\ (\mu_1>\mu_2)$

此為右尾檢定。

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(二) 變異數同質性檢定（$F$ 檢定）

假設：

$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2$

此為雙尾檢定。依慣例，變異數同質性檢定取整體顯著水準 $\alpha=0.10$（雙尾各 0.05），故直接查 $F_{0.05,\ df_1,\ df_2}$ 當作單邊比較的臨界值。

檢定統計量（分子放較大的變異數，使 $F\ge1$）：

$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{25.2679}{22.75}=1.111$

自由度：$df_1=n_1-1=7$（分子），$df_2=n_2-1=8$（分母）

臨界值：由題目所給四個選項中，對應 $df_1=7,\ df_2=8$ 者為

$F_{0.05,7,8}=3.50$

棄卻域：若 $F>3.50$ 則拒絕 $H_0$。

結論：因為

$F=1.111<3.50$

不拒絕 $H_0$，沒有足夠證據顯示兩母體變異數不相等，可視為 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$，後續應採合併變異數（pooled variance）$t$ 檢定。

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核心觀念

本題考的是五數概括（Five-Number Summary）與箱形圖（Box Plot）的繪製與判讀，屬於敘述統計中位置量數（quartiles）與離散量數（Range、IQR）的基本應用，並延伸到偏態判斷與Tukey 內籬法（inner fence）判定異常值。

考生必須熟記下列定義：

• 五數概括：最小值、$Q_1$、中位數 $Q_2$、$Q_3$、最大值。
• 全距：$R = \text{最大值} - \text{最小值}$
• 四分位距：$IQR = Q_3 - Q_1$
• 內籬（inner fence）：

$$\text{下內籬} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{上內籬} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

• 判定異常值規則：資料值若低於下內籬或高於上內籬，即視為異常值（outlier）。

題目已直接給出五數概括（$n=20$），故本題重點不在計算分位數，而在正確畫圖、正確解讀圖形訊息、正確套用公式。

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解題方法

(一) 箱形圖繪製與資訊解讀（15 分）

繪圖步驟：

1. 在數線上標出 $13,15,18,22,35$ 五個點。
2. 畫一個矩形（箱體），左邊界為 $Q_1=15$，右邊界為 $Q_3=22$，箱內畫一條線代表中位數 $Q_2=18$。
3. 從箱體左邊界向左拉一條線（鬚，whisker）到最小值 $13$；從箱體右邊界向右拉一條線到最大值 $35$。

示意圖（依比例繪製，1 格 ≈ 1 分鐘）：

13 15 18 22 35
 |---------[====|=====]--------------------------|
Min Q1 Q2 Q3 Max
(左鬚長=2) (箱左半=3)(箱右半=4) (右鬚長=13)

資訊解讀：

1. 對稱性判斷

比較箱體與鬚線兩側的長度：

• 箱內：$Q_2 - Q_1 = 18-15 = 3$；$Q_3 - Q_2 = 22-18 = 4$。右半箱體略長於左半。
• 鬚線：左鬚長 $= Q_1-\text{Min}=15-13=2$；右鬚長 $=\text{Max}-Q_3=35-22=13$。右鬚遠長於左鬚。

由於箱體右半與右鬚皆明顯長於左半與左鬚（尤其右鬚長度是左鬚的 $6.5$ 倍），整體資料分布呈現右偏（正偏，right-skewed / positively skewed）。意義上代表：大多數外送時間集中在較短區間（$13\sim22$ 分鐘），但存在少數外送時間特別長（拖尾至 $35$ 分鐘），可能因塞車、地址較遠或特殊狀況所致。

2. 資料落在各分位點之間的占比

依四分位數定義，資料被 $Q_1,Q_2,Q_3$ 分割成四個各占 $25\%$ 的區段：

區間	占比	對應筆數（$n=20$）
最小值 ~ $Q_1$（$13\sim15$）	$25\%$	5 筆
$Q_1 \sim Q_2$（$15\sim18$）	$25\%$	5 筆
$Q_2 \sim Q_3$（$18\sim22$）	$25\%$	5 筆
$Q_3$ ~ 最大值（$22\sim35$）	$25\%$	5 筆