111 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考連續型隨機變數的一致分布。$X\sim U(0,1)$ 表示公車在中午 12 點至下午 1 點之間的到站時間均勻分布，任一時間長度區間所對應的機率，等於該區間長度除以總長度。

「12 點 15 分抵達」表示乘客從 12 點 15 分起等候，若公車在此時或之後抵達即可搭上車。題目假設公車會在下午 1 點前到站，且無其他搭乘限制。

解題方法

以中午 12 點為時間起點，將 12 點 15 分換算為小時，即 $0.25$。總觀察區間為 $1$ 小時，因此趕上車的機率為：

核心觀念

本題考貝氏定理，重點是區分「檢驗陽性的機率」與「陽性者實際感染的機率」。已知感染率、未感染者的偽陽性率，以及感染者的偽陰性率，要求的是陽性反應下實際感染的條件機率。

令 $I$ 表示感染，$+$ 表示快篩陽性，則：

• $P(I)=10^{-4}$
• $P(I^c)=1-10^{-4}$
• $P(+\mid I^c)=\frac{1}{10}$
• $P(+\mid I)=1-10^{-6}$

解題方法

依全機率公式，陽性反應可能來自感染者驗出陽性，也可能來自未感染者驗出偽陽性：

所求為陽性條件下實際感染的機率，套用貝氏定理：

核心觀念

本題考查母體比例的抽樣誤差。民意調查中的「支持度」是比例估計問題；在未提供先前支持率時，採最保守的支持率 $p=0.5$，因為 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時達到最大值，據此計算的誤差範圍最大。

95% 信心水準的常態臨界值為 $z_{0.975}=1.96$。母體比例的近似抽樣誤差為

解題方法

樣本數 $n=1080$，以最保守假設 $p=0.5$ 計算：

核心觀念

本題考驗「列聯表的獨立性卡方檢定」。在虛無假設 $H_0$ 下，對司法的信心與對廢除死刑的態度彼此無關。

卡方統計量為

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為在獨立假設下的期望次數：

本題為 $2\times2$ 列聯表，自由度為

（一）顯著水準 $0.05$ 的雙尾檢定

1. 建立假設

2. 計算期望次數

在 $H_0$ 下，各格期望次數為：

所有期望次數均大於 $5$，適合使用 Pearson 卡方檢定。

3. 計算檢定統計量

使用 $2\times2$ 表的快速公式亦可得：

其中

因此

4. 作成判斷

在顯著水準 $\alpha=0.05$、自由度 $df=1$ 下，

因為

故拒絕 $H_0$。

5. 結論