112 年原住民特考三等經建行政考古題與詳解

Question 1

疫苗效力（vaccine efficacy）定義為參加實驗的自願者中，染疫人數中注射安慰劑（沒有疫苗保護）的百分比。某藥廠開發一款 COVID-19 疫苗，宣稱其疫苗效力為 $92\%$ 。假設該疫苗被核准上市，且該疫苗的施打涵蓋率約為 $80\%$ 。以 2023 年 COVID-19 發生率為每 10 萬人約 5,000 人感染為基礎，請問：

施打該疫苗的民眾中，染疫的機率有多少？

又未施打疫苗的民眾中，染疫的機率有多少？

Accepted Answer

核心觀念 本題考疫苗效力與疫苗涵蓋率的條件機率換算。疫苗效力 $92\%$ 表示接種者的感染風險相較於未接種者降低 $92\%$，因此： $$ P(	ext{感染}\mid	ext{接種})=(1-0.92)P(	ext{感染}\mid	ext{未接種}) =0.08P(	ext{感染}\mid	ext{未接種}) $$ 涵蓋率 $80\%$ 是接種人口占總人口的比例；整體感染率則是接種者與未接種者感染率的加權平均。題目給的每 10 萬人約 5,000 人感染，即整體感染率為 $5\%$。 解題方法 令接種者感染率為 $pv$，未接種者感染率為 $pu$。由疫苗效力定義： $$ pv=0.08pu $$ 依涵蓋率將整體感染率分解： $$ 0.05=0.80pv+0.20pu $$ 代入 $pv=0.08pu$：

Question 2

民意調查機構想要規劃一份問卷調查，調查民眾對於特定議題的支持度（從不支持到支持以 $1\sim10$ 尺度測量支持的程度）。根據過去的經驗，各支持尺度的比率如下表：

支持度	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
比率	$3\%$	$5\%$	$8\%$	$14\%$	$10\%$	$10\%$	$12\%$	$13\%$	$15\%$	$10\%$

（一）在 $95\%$ 的信賴度下，抽樣誤差設定為 $10\%$ 時，所需的最小的樣本數為何？

（二）如果我們只需要針對是否支持（ $1\sim5$ 視為不支持， $6\sim10$ 視為支持）做推論，在 $95\%$ 的信賴度下，抽樣誤差設定為 $2\%$ 時，所需的最小樣本數為何？

（三）對於這份調查你的樣本數規劃建議為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題分別考查： 1. 以支持度 $1\sim10$ 的平均數作推論時，母體平均數的樣本數估計。 2. 將支持度二分為「不支持」與「支持」後，母體比例的樣本數估計。 3. 同一份問卷若同時進行兩種推論，樣本數應取需求較大者。 以下假設採簡單隨機抽樣、母體數很大，且不考慮有限母體修正。$95\%$ 信賴度使用 $z{0.025}=1.96$。 --- （一）估計支持度平均數 1. 計算母體平均數與變異數 支持度的期望值為 $$ \mu=1(0.03)+2(0.05)+3(0.08)+4(0.14)+5(0.10) +6(0.10)+7(0.12)+8(0.13)+9(0.15)+10(0.10) $$ $$ \mu=6.26 $$ 再計算 $$ E(X^2)=1^2(0.03)+2^2(0.05)+\cdots+10^2(0.10)=45.64 $$ 因此母體變異數為 $$ \sigma^2=E(X^2)-\mu^2 =45.64-(6.26)^2 =6.4524 $$ 2. 套用平均數的樣本數公式 平均數的抽樣誤差設定為 $10\%$，即支持度尺度上的絕對誤差 $$ E=0.10 $$ 樣本數公式為 $$ n=\left(\frac{z{0.025}\sigma}{E}\right)^2 =\frac{(1.96)^2(6.4524)}{(0.10)^2} $$ $$ n=2481.98 $$ 樣本數必須無條件進位，因此 $$ \boxed{n=2482} $$ --- （二）估計是否支持的比例 1. 計算支持比例 題目規定： - $1\sim5$ 為不支持； - $6\sim10$ 為支持。 因此支持比例為 $$ p=0.10+0.12+0.13+0.15+0.10=0.60 $$ 不支持比例為

Question 3

某高中模擬考隨機抽出女、男各 $50$ 位同學的成績敘述性統計如下表。假設各科分數服從常態分配。請建立適當的參數符號，完成下列推論。

統計量	女生第 2 次	女生第 1 次	男生第 2 次	男生第 1 次
mean	$68$	$63$	$76$	$68$
stdev	$12.8$	$24.9$	$15.3$	$28.7$
corr	$0.6723		$0.4658

（一）請分別計算女生、男生兩次模擬考差的平均值的 $95\%$ 信賴區間。

（二）在 $\alpha=5\%$ 的顯著水準下，請檢定女生、男生兩次模擬考總和平均值是否有顯著性差異。

Accepted Answer

核心觀念 本題同時考查： 1. 成對樣本平均差的信賴區間：同一位學生參加第 1、2 次考試，因此兩次成績具有相關性，應以成對樣本處理。 2. 共變異數與相關係數的關係： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=r{XY}sXsY$$ 3. 兩個獨立母體平均數的檢定：女生與男生為不同學生，兩組樣本彼此獨立；先將每位學生兩次成績相加，再比較兩組「總和」的平均數。 --- （一）女生、男生兩次模擬考差的平均值之 95% 信賴區間 令第 2 次成績減第 1 次成績為 $$D=X2-X1$$ 則成對樣本平均差的 95% 信賴區間為 $$\bar D\pm t{0.975,49}\frac{sD}{\sqrt{50}}$$ 其中 $$t{0.975,49}=2.0096$$ 1. 女生 女生平均差為 $$\bar DF=68-63=5$$ 差值的樣本變異數為 $$ \begin{aligned} s{DF}^2 &=s{2}^2+s{1}^2-2r s2s1\ &=(12.8)^2+(24.9)^2 -2(0.6723)(12.8)(24.9)\ &=355.1791 \end{aligned} $$ 因此 $$s{DF}=\sqrt{355.1791}=18.8462$$ 平均差的標準誤為 $$ \frac{s{DF}}{\sqrt{50}} =\frac{18.8462}{\sqrt{50}} =2.6653 $$ 所以女生平均差的 95% 信賴區間為 $$ \begin{aligned} 5\pm 2.0096(2.6653) &=5\pm5.356\ &=(-0.356,\ 10.356) \end{aligned} $$ 因此，女生第 2 次與第 1 次成績平均差的 95% 信賴區間為 $$\boxed{(-0.36,\ 10.36)}$$ 2. 男生 男生平均差為 $$\bar DM=76-68=8$$ 差值的樣本變異數為 $$ \begin{aligned} s{DM}^2 &=(15.3)^2+(28.7)^2 -2(0.4658)(15.3)(28.7)\ &=648.7051 \end{aligned} $$ 因此 $$s{DM}=\sqrt{648.7051}=25.4697$$ 平均差的標準誤為 $$ \frac{s{DM}}{\sqrt{50}} =\frac{25.4697}{\sqrt{50}} =3.6020 $$ 所以男生平均差的 95% 信賴區間為 $$ \begin{aligned} 8\pm2.0096(3.6020) &=8\pm7.238\ &=(0.762,\ 15.238) \end{aligned} $$ 因此，男生第 2 次與第 1 次成績平均差的 95% 信賴區間為 $$\boxed{(0.76…

112 原住民特考三等經建行政統計學考古題詳解

第一題20 分

第二題30 分

核心觀念

（一）估計支持度平均數

1. 計算母體平均數與變異數

2. 套用平均數的樣本數公式

（二）估計是否支持的比例

1. 計算支持比例

第三題50 分

核心觀念

（一）女生、男生兩次模擬考差的平均值之 95% 信賴區間

1. 女生

2. 男生

（二）檢定女生、男生兩次模擬考總和平均值是否有顯著差異

其他考古題

112 年經建行政的其他科目

經建行政《統計學》其他年度

112 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題30 分

核心觀念

（一）估計支持度平均數

1. 計算母體平均數與變異數

2. 套用平均數的樣本數公式

（二）估計是否支持的比例

1. 計算支持比例

第 三 題50 分

核心觀念

（一）女生、男生兩次模擬考差的平均值之 95% 信賴區間

1. 女生

2. 男生

（二）檢定女生、男生兩次模擬考總和平均值是否有顯著差異

其他考古題

112 年經建行政的其他科目

經建行政《統計學》其他年度

112 原住民特考三等經建行政統計學考古題詳解

第一題20 分

第二題30 分

第三題50 分