110 原住民特考三等 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考查測驗分數的常見轉換：$z$ 分數、百分等級、$T$ 分數與標準九分數。標準化分數可將原始分數轉換到共同尺度，方便解釋個人在團體中的相對位置。

解題方法

已知測驗平均數 $\mu=45$、標準差 $\sigma=7$，小義的原始分數為 $X=38$。

（一）標準化的意思

測驗的「標準化」是指依照一致的程序施測、計分與解釋，並以代表性常模團體建立比較基準，使個人的測驗結果能與適當的團體比較。本題所說的標準化推理能力測驗，已提供平均數與標準差，可據以將原始分數轉換成衍生分數。

（二）$z$ 分數

公式為：

小義的 $z$ 分數為 $-1$，表示其原始分數比團體平均數低 $1$ 個標準差。

（三）百分等級

百分等級（percentile rank）表示在常模團體中，分數低於或等於某一分數的人所占的百分比。若假設測驗分數呈常態分配，$z=-1$ 對應的累積機率約為 $0.1587$，因此：

核心觀念

本題考驗「母體標準差已知時，單一母體平均數的雙尾 $Z$ 檢定」及其與信賴區間的對應關係。一般中學生智商的平均數為 $\mu_0=100$，標準差為 $\sigma=15$；由該校隨機抽取 $n=64$ 人，樣本平均數為 $\bar X=103$。題目未提供該校學生智商的母體標準差，因此以一般中學生的標準差 $15$ 作為檢定所用的已知標準差。

（一）虛無假設與對立假設

校長想了解該校學生的平均智商是否「不同於」一般中學生，因此採雙尾檢定：

其中 $\mu$ 代表該校全體學生的平均智商。

（二）臨界值

顯著水準 $\alpha=.05$，採雙尾檢定，故兩尾各分配 $\alpha/2=.025$。標準常態分配的臨界值為：

當檢定統計量落在 $(-\infty,-1.96)$ 或 $(1.96,\infty)$ 時，拒絕虛無假設。

（三）假設考驗與結果解釋

母體標準差已知，且樣本數 $n=64$，使用單一平均數 $Z$ 檢定。樣本平均數的標準誤為：

計算檢定統計量：

因為 $-1.96<1.60<1.96$，檢定統計量未落入拒絕域，因此在 $\alpha=.05$ 的顯著水準下不拒絕 $H_0$。

核心觀念

本題考 $2\times3$ 列聯表的卡方獨立性檢定。虛無假設成立時，性別與手機品牌喜好彼此獨立；各格的期望次數依列、欄合計計算：

卡方檢定統計量為：

其中 $O$ 是觀察次數，$E$ 是期望次數。

解題方法與計算

先計算合計：

（一）虛無假設與對立假設

• $H_0$：性別與手機品牌喜好彼此獨立，兩者沒有顯著關聯。
• $H_1$：性別與手機品牌喜好並非彼此獨立，兩者有顯著關聯。

（二）A1、A2、A3 的期望次數

男性三格的期望次數依序為：

因此，A1、A2、A3 依序為 36、36、48。

（三）卡方值、裁決與解釋

六格的期望次數如下：

代入卡方公式：

核心觀念

簡單直線迴歸以一個自變項預測一個依變項，描述兩者之間的線性關係。本題以「數學態度」預測「數學成就」，要讀取迴歸係數、判斷迴歸是否顯著，並解釋決定係數與共線性。

解題方法與各小題

（一）「簡單」和「直線」的意思

• 簡單：只有一個自變項（預測變項）。本題的自變項是數學態度，依變項是數學成就。
• 直線：假設自變項與依變項之間可用線性關係描述，迴歸式呈直線形式。

（二）原始分數與標準化迴歸公式

原始分數迴歸式使用係數表中的未標準化係數 $B$：

也就是數學態度每增加 1 分，預測的數學成就平均增加 $0.251$ 分。

標準化迴歸式使用標準化係數 Beta：

數學態度每增加 1 個標準差，預測的數學成就增加 $0.415$ 個標準差。此式沒有截距，因為標準化後變項的平均數為 0。

（三）迴歸模式是否顯著

顯著。係數表中數學態度的 $t=7.181$，顯著性為 .000；統計軟體顯示 .000 代表 $p<.001$，不是機率等於 0。因此在常用的顯著水準 $\alpha=.05$ 下，拒絕「迴歸斜率為 0」的虛無假設，表示數學態度對數學成就有顯著的線性預測關係。

簡單迴歸中，自變項斜率的 $t$ 檢定與整體模式的 $F$ 檢定等價，且 $F=t^2=7.181^2\approx51.57$，可得到相同的顯著結論。