107 原住民特考四等 測量製圖 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考核平面控制測量中「交會定位法」（Intersection Methods）的基本幾何原理與外業作業模式，涵蓋以下核心要點：

1. 交會定位之幾何構網：依據儀器（全測站儀）架設於已知點或未知點，區分為前方交會法（Forward Intersection）、側方交會法（Side/Lateral Intersection）​及後方交會法（Resection）。
2. 測角元素與觀測方向：各交會法所需觀測之水平角位置（位於已知點上或未知點上）及其觀測視線之幾何配置。
3. 後方交會之危險圓（Danger Circle / Critical Circle）問題：三點後方交會時，因外接圓幾何性質（圓周角定理）所導致之數學奇異性（Singularity，幾何條件退化致解算無窮多解）。

解題方法

一、三種交會定位法之儀器架設位置、觀測角度及圖解說明

1. 前方交會法（Forward Intersection）

• 儀器架設位置：全測站儀架設在至少兩個已知控制點（如 $A$ 點與 $B$ 點）上。未知點（待定點）$P$ 僅需豎立照準覘標（稜鏡或標桿），不需架設儀器。
• 觀測之角度：在已知點上觀測水平角。
• 儀器於 $A$ 點：照準已知點 $B$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\alpha$（$\angle PAB$）。
• 儀器於 $B$ 點：照準已知點 $A$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\beta$（$\angle PBA$）。
• 兩角皆為由已知點向待定點方向所構成的內角。
• 幾何圖解：

 P (待定未知點，立覘標)
 / \
 / \
 / \
 / α β \
 A---------B
 (已知點) (已知點)
 [架儀器] [架儀器]

2. 側方交會法（Side/Lateral Intersection）

• 儀器架設位置：全測站儀分別架設在一個已知控制點（如 $A$ 點）與待定未知點 $P$ 上。另一已知控制點 $B$ 僅需豎立照準覘標。
• 觀測之角度：分別在已知點及未知點各測一個角度。
• 儀器於已知點 $A$：照準已知點 $B$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\alpha$（$\angle PAB$）。
• 儀器於未知點 $P$：照準已知點 $A$ 與已知點 $B$，觀測水平角 $\gamma$（$\angle APB$）。
• 透過已知角 $\alpha$ 與未知點測角 $\gamma$，可推求第三角 $\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$，解算三角形邊長與點位坐標。
• 幾何圖解：

 P (待定未知點，架儀器)
 / \ [測角 γ]
 / \
 / \
 / α \
 A---------B
 (已知點) (已知點，立覘標)
 [架儀器]

3. 後方交會法（Resection）

• 儀器架設位置：全測站儀僅架設在待定未知點 $P$ 上。所有已知控制點（最少需三個已知點 $A$、$B$、$C$）均豎立照準覘標，不需在其上架設儀器。
• 觀測之角度：所有角度皆於未知點 $P$ 上觀測。
• 儀器於未知點 $P$：分別照準已知點 $A$、$B$、$C$，測得水平方向線之間的夾角 $\alpha = \angle APB$ 與 $\beta = \angle BPC$。
• 藉由觀測兩組交會角，建立數學方程式解求未知點 $P$ 坐標。
• 幾何圖解：

 A B C (三個已知控制點，均立覘標)
 \ | /
 \ | /
 \ | /
 \ α | β /
 \ | /
 \ | /
 P (待定未知點，架設全測站儀，測角 α, β)

4. 三種交會法比較彙整表

核心觀念

1. 倒尺法（Inverted Rod Leveling）之觀測原理： 在坑道、隧道或地下工程中，高程控制點常設置於頂板（天花板）。此時水準尺零點頂貼於頂板樁位，尺身倒懸向下讀數（讀數向下遞增）。

• 視線高（$HI$）與倒尺後視（$b$）：若後視點為倒尺，儀器視線位於頂板點下方，故視線高為 $HI = H_{\text{後}} - b$。相較於正尺之 $HI = H_{\text{後}} + b$，倒尺後視讀數在代數運算中應視為負值（即以 $-b$ 代入）。
• 前視點高程（$H_{\text{前}}$）與倒尺前視（$f$）：若前視點為倒尺，頂板點高程位於視線上方，故 $H_{\text{前}} = HI + f$。相較於正尺之 $H_{\text{前}} = HI - f$，倒尺前視讀數在代數運算中亦應視為負值（即以 $-f$ 代入）。
• 通用計算口訣：水準測量計算中，凡遇倒尺觀測（不論前視或後視），讀數一律冠以「負號」​代入常規水準公式 $\Delta h = \sum b - \sum f$。

2. 往返水準測量閉合差與最概然值：

• 往測高差為 $\Delta h_{\text{往}}$（由 $A$ 至 $D$），返測高差為 $\Delta h_{\text{返}}$（由 $D$ 至 $A$）。
• 水準環線之閉合差定義為： $w = \Delta h_{\text{往}} + \Delta h_{\text{返}}$ （亦即 $A \to D \to A$ 之累計高差；若以同方向 $A \to D$ 兩次觀測值之差值表示，則為 $\Delta h_{\text{往}} - (-\Delta h_{\text{返}}) = w$）。
• 往返測等權獨立觀測時，$A$ 至 $D$ 高差之最妥值（最概然值）為往測值與返測反向值之加權平均值（算術平均值）： $\Delta h_{AD} = \frac{\Delta h_{\text{往}} + (-\Delta h_{\text{返}})}{2} = \frac{\Delta h_{\text{往}} - \Delta h_{\text{返}}}{2}$
• $D$ 點最概然高程為： $H_D = H_A + \Delta h_{AD}$

3. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation）： 已知點 $H_A$ 為無誤差之常數。若 $\Delta h_{\text{往}}$ 與 $\Delta h_{\text{返}}$ 為獨立不相關觀測，其標準差均為 $\sigma = 5\ \text{mm}$，則由線性函數 $H_D = H_A + \frac{1}{2}\Delta h_{\text{往}} - \frac{1}{2}\Delta h_{\text{返}}$，其標準差 $\sigma_{H_D}$ 為： $\sigma_{H_D} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \sigma_{\text{往}}^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \sigma_{\text{返}}^2} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$

解題方法

步驟一：計算往測高程差（$A \to D$）

依題意，$A$ 點、 $D$ 點為頂板倒尺（讀數取負號），$B$ 點、 $C$ 點為地面轉點（正尺，讀數為正值）：

• 後視讀數（$b$）：
• $A$ 點（倒尺）：$b_A = -1.792\ \text{m}$
• $B$ 點（正尺）：$b_B = +1.436\ \text{m}$
• $C$ 點（正尺）：$b_C = +1.663\ \text{m}$ $\sum b = (-1.792) + 1.436 + 1.663 = +1.307\ \text{m}$
• 前視讀數（$f$）：
• $B$ 點（正尺）：$f_B = +1.587\ \text{m}$
• $C$ 點（正尺）：$f_C = +1.804\ \text{m}$
• $D$ 點（倒尺）：$f_D = -1.515\ \text{m}$ $\sum f = 1.587 + 1.804 + (-1.515) = +1.876\ \text{m}$

往測總高差 $\Delta h_{\text{往}}$： $\Delta h_{\text{往}} = \sum b - \sum f = 1.307 - 1.876 = -0.569\ \text{m}$

分段驗算：

• $\Delta h_{AB} = b_A - f_B = (-1.792) - 1.587 = -3.379\ \text{m}$
• $\Delta h_{BC} = b_B - f_C = 1.436 - 1.804 = -0.368\ \text{m}$
• $\Delta h_{CD} = b_C - f_D = 1.663 - (-1.515) = +3.178\ \text{m}$
• $\Delta h_{\text{往}} = (-3.379) + (-0.368) + 3.178 = -0.569\ \text{m}$（相符）

步驟二：計算返測高程差（$D \to A$）

• 後視讀數（$b$）：
• $D$ 點（倒尺）：$b_D = -1.612\ \text{m}$
• $C$ 點（正尺）：$b_C = +1.538\ \text{m}$
• $B$ 點（正尺）：$b_B = +1.790\ \text{m}$

核心觀念

本題旨在測驗導線測量中方位角之推算原理與幾何關係。 在導線簡易平差計算中，常以後視方向為基準，順時針觀測水平角（右角，Angle to the right）至前視方向。

1. 方位角定義：由正北方向順時針旋轉至目標方向線之水平夾角，定義域為 $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$。
2. 正、反方位角關係：設直線 $PQ$ 之正方位角為 $\alpha_{PQ}$，則在 $Q$ 點觀測 $P$ 點之反方位角 $\alpha_{QP}$ 為： $\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} \pm 180^\circ$

• 當 $\alpha_{PQ} < 180^\circ$ 時，$\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} + 180^\circ$
• 當 $\alpha_{PQ} \ge 180^\circ$ 時，$\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} - 180^\circ$

3. 前視方位角推算通式：設測站為 $Q$，後視點為 $P$，前視點為 $R$，水平折角（順時針右角）為 $\beta$。前視邊 $QR$ 之方位角 $\alpha_{QR}$ 為反方位角加上折角： $\alpha_{QR} = \alpha_{QP} + \beta = (\alpha_{PQ} \pm 180^\circ) + \beta = (\alpha_{PQ} + \beta) \pm 180^\circ$ 令角度和 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta$，則： $\alpha_{QR} = \theta \pm 180^\circ$

解題方法

一、角度和 $\theta < 180^\circ$ 時，加 $180^\circ$ 之原理與圖解

• 原理說明： 若 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta < 180^\circ$，由於 $\alpha_{PQ} \ge 0^\circ$ 且 $\beta \ge 0^\circ$，可知 $\alpha_{PQ} < 180^\circ$。 此時在 $Q$ 點之後視反方位角為 $\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} + 180^\circ$。 前視方位角為： $\alpha_{QR} = \alpha_{QP} + \beta = (\alpha_{PQ} + 180^\circ) + \beta = (\alpha_{PQ} + \beta) + 180^\circ = \theta + 180^\circ$ 因 $\theta < 180^\circ$，所得 $\alpha_{QR} = \theta + 180^\circ$ 落在 $180^\circ \sim 360^\circ$ 之間，符合方位角介於 $0^\circ$ 至 $360^\circ$ 之定義。若逕行減去 $180^\circ$，將產生負角，故必須加上 $180^\circ$。

• 實例與圖解： 設 $\alpha_{PQ} = 30^\circ$，折角 $\beta = 60^\circ$。 角度和 $\theta = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ < 180^\circ$。 前視方位角 $\alpha_{QR} = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$（正西方向）。

 北(N)
 ↑
 │ P
 │ ↗
 │ 30°/
 │ /
─────────Q───────→ 東(E)
 /│
 210° / │
 ↙ │
 (QP) │ β=60°
 ──────┼────────→ R (α_QR = 270°)
 ↓
 南(S)

幾何推導：$Q$ 點反視 $P$ 之反方位角 $\alpha_{QP} = 30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$。由 $QP$ 邊順時針旋轉 $\beta = 60^\circ$ 至 $QR$ 邊，前視方位角 $\alpha_{QR} = 210^\circ + 60^\circ = 270^\circ$。

二、角度和 $\theta > 180^\circ$ 時，減去 $180^\circ$ 之原理與圖解

• 原理說明： 若 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta > 180^\circ$： 在 $Q$ 點之後視反方位角幾何值為 $\alpha_{PQ} + 180^\circ$，加上右角 $\beta$ 後，理論角值為： $\alpha_{QP} + \beta = \alpha_{PQ} + 180^\circ + \beta = \theta + 180^\circ$ 因 $\theta > 180^\circ$，此理論角值必大於 $360^\circ$（即繞行全圓超過一圈），故必須減去一整周天 $360^\circ$ 歸化為常規方位角： $\alpha_{QR} = (\theta + 180^\circ) - 360^\circ = \theta - 180^\circ$ 因此，當 $\theta > 180^\circ$ 時，直接減去 $180^\circ$ 即可求得前視方位角。

• 實例與圖解： 設 $\alpha_{PQ} = 60^\circ$，折角 $\beta = 150^\circ$。 角度和 $\theta = 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ > 180^\circ$。 前視方位角 $\alpha_{QR} = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$。

 北(N)
 ↑ ↗ P (α_PQ = 60°)
 │ /
 │ / 
─────────Q───────→ 東(E)
 /│ ↖ R (α_QR = 30°)
 / │ 
 ↙ │ 
 (QP) │ (由 QP 順轉 β=150° 至 QR)
 ↓
 南(S)

幾何推導：$Q$ 點反視 $P$ 之反方位角 $\alpha_{QP} = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ$。由 $QP$ 邊順時針旋轉 $\beta = 150^\circ$ 至 $QR$ 邊，方向角值為 $240^\circ + 150^\circ = 390^\circ$。因超過全圓 $360^\circ$，減去 $360^\circ$ 得 $\alpha_{QR} = 390^\circ - 360^\circ = 30^\circ$，等價於 $\theta - 180^\circ = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$。

三、若角度和 $\theta$ 減去 $180^\circ$ 後仍大於 $180^\circ$ 之處理方式

本問項可從「字面意涵」與「命題常態（實質考點）」兩層面完整解析：

核心觀念

1. 光波測距儀（EDM）測距精度表示法 電子測距儀之標稱精度通常以 $\pm(a + b\ \text{ppm})$ 表示：

• $a$ 為固定誤差（常數誤差），不隨測距長度改變（如儀器加常數誤差、內部測相延遲等），本題為 $1\ \text{cm} = 0.01\ \text{m}$。
• $b$ 為比例誤差，以 $\text{ppm}$（parts per million，即 $10^{-6}$）表示，誤差大小與距離成正比（主受大氣溫壓折射率改正殘差、調變頻率漂移等影響）。
• 對於觀測距離 $D$，其距離中誤差（標準誤差）為： $\sigma_D = \pm(a + b \times 10^{-6} \times D)$

2. 面積計算與單位換算

• 矩形面積公式：$A = L \times W$（長度 $L$，寬度 $W$）。
• 面積公制單位換算：$1\ \text{公頃 (ha)} = 10,000\ \text{平方公尺 (m}^2)$。

3. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation） 設觀測量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 彼此獨立且不相關（共變異數為 $0$），且有函數關係式 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，則函數之中誤差 $\sigma_y$ 為： $\sigma_y = \pm \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2 \sigma_{x_1}^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2 \sigma_{x_2}^2 + \dots + \left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2 \sigma_{x_n}^2}$ 對於矩形面積 $A = L \cdot W$，其偏微分為 $\frac{\partial A}{\partial L} = W$、$\frac{\partial A}{\partial W} = L$，故面積中誤差公式為： $\sigma_A = \pm \sqrt{W^2 \sigma_L^2 + L^2 \sigma_W^2}$

解題方法

步驟一：計算矩形面積（以公頃為單位）

由題意已知長 $L = 580\ \text{m}$，寬 $W = 420\ \text{m}$： $A = L \times W = 580\ \text{m} \times 420\ \text{m} = 243,600\ \text{m}^2$

將平方公尺換算為公頃： $A = \frac{243,600\ \text{m}^2}{10,000\ \text{m}^2/\text{ha}} = 24.36\ \text{公頃}$

步驟二：計算各邊長觀測值之中誤差

依題意，測量精度為 $1\ \text{cm} + 30\ \text{ppm}$：

• 長度 $L = 580\ \text{m}$ 之中誤差 $\sigma_L$： $\sigma_L = 0.01\ \text{m} + 30 \times 10^{-6} \times 580\ \text{m} = 0.01\ \text{m} + 0.0174\ \text{m} = 0.0274\ \text{m}$
• 寬度 $W = 420\ \text{m}$ 之中誤差 $\sigma_W$： $\sigma_W = 0.01\ \text{m} + 30 \times 10^{-6} \times 420\ \text{m} = 0.01\ \text{m} + 0.0126\ \text{m} = 0.0226\ \text{m}$

步驟三：應用誤差傳播定律計算面積中誤差

因長度與寬度測量彼此獨立不相關，對面積函數 $A = L \cdot W$ 進行全微分並依誤差傳播定律展開：