107 原住民特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗觀測量之誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）​在幾何形體計算上的應用。

1. 基本假設： 長方體之長 $a$、寬 $b$、高 $c$ 為相互獨立之直接觀測量，各觀測量間之協方差為零（$\sigma_{ab} = \sigma_{bc} = \sigma_{ca} = 0$）。

2. 非線性函數之誤差傳播定律： 若待求量 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 為各獨立觀測量 $x_i$ 之非線性函數，經由泰勒級數一階展開線性化後，其變異數傳播公式為： $\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2$ 標準差（中誤差）為： $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2}$

3. 線性函數之誤差傳播定律： 若待求量 $y = k_1 x_1 + k_2 x_2 + \dots + k_n x_n$，其中 $k_i$ 為已知常數，則其標準差為： $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n k_i^2 \sigma_{x_i}^2}$

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解題方法

一、體積 $V$ 及其標準差 $\sigma_V$ 之計算

1. 體積計算： $V = a \cdot b \cdot c = 80.00 \times 50.00 \times 10.00 = 40{,}000.00\ \mathrm{m}^3$

2. 偏微分求取各邊之靈敏度係數（偏導函數）：

• 對長邊 $a$ 偏微分： $\frac{\partial V}{\partial a} = b \cdot c = 50.00 \times 10.00 = 500.00\ \mathrm{m}^2$
• 對寬邊 $b$ 偏微分： $\frac{\partial V}{\partial b} = a \cdot c = 80.00 \times 10.00 = 800.00\ \mathrm{m}^2$
• 對高 $c$ 偏微分： $\frac{\partial V}{\partial c} = a \cdot b = 80.00 \times 50.00 = 4000.00\ \mathrm{m}^2$

3. 依誤差傳播定律求解體積標準差 $\sigma_V$： $\sigma_V^2 = \left(\frac{\partial V}{\partial a}\right)^2 \sigma_a^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial b}\right)^2 \sigma_b^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial c}\right)^2 \sigma_c^2$ 代入數值： $\sigma_V^2 = (500.00)^2 \times (0.08)^2 + (800.00)^2 \times (0.05)^2 + (4000.00)^2 \times (0.02)^2$ $\sigma_V^2 = (40.0)^2 + (40.0)^2 + (80.0)^2 = 1600 + 1600 + 6400 = 9600\ \mathrm{m}^6$ 開根號得標準差： $\sigma_V = \sqrt{9600} \approx 97.98\ \mathrm{m}^3$

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二、邊長總和 $L$ 及其標準差 $\sigma_L$ 之計算

長方體共由 12 條稜邊所構成（長、寬、高各有 4 條邊）。幾何形體之「邊長總和」標準定義為 12 條邊長之總和。

1. 邊長總和計算： $L = 4a + 4b + 4c = 4(80.00 + 50.00 + 10.00) = 4 \times 140.00 = 560.00\ \mathrm{m}$

2. 依線性誤差傳播定律求解邊長總和標準差 $\sigma_L$：

核心觀念

本題旨在評量考生對「偶然誤差理論」中常用精度指標（Precision Indicators）之定義、計算公式與精度優劣比較的理解。

1. 真誤差（True Error, $\epsilon$）： 當真值（True Value, $X$）已知且無誤差時，第 $i$ 次觀測值 $L_i$ 之真誤差定義為： $\epsilon_i = L_i - X$ 題目已直接給定各次觀測的真誤差數值 $\epsilon_i$。

2. 三大精度指標公式（已知真誤差情況下）：

• 標準差（Standard Deviation，又稱中誤差，以 $\sigma$ 表示）： 依據高斯公式（Gauss's Formula），在真誤差已知的情況下，標準差計算為： $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \epsilon_i^2}{n}}$
• 平均誤差（Average Error，以 $\theta$ 或 $\eta$ 表示）： 各次觀測真誤差絕對值的算術平均值： $\theta = \frac{\sum_{i=1}^n |\epsilon_i|}{n}$
• 或然誤差（Probable Error，以 $r$ 或 $\rho$ 表示）： 在常態分佈理論中，誤差絕對值小於或等於此值的機率恰為 $50\%$，其與標準差的理論關係式為： $r = 0.6745 \cdot \sigma$

3. 精度評定原則： 精度指標代表誤差的離散程度。誤差指標的數值越小，代表觀測成果越集中、離散度越低，觀測精度即越高。

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解題方法

一、第一組觀測量計算

觀測次數 $n = 7$，真誤差分別為：$5$、$-3$、$-2$、$1$、$2$、$-4$、$1\ (\mathrm{mm})$。

1. 真誤差絕對值總和： $\sum |\epsilon_1| = |5| + |-3| + |-2| + |1| + |2| + |-4| + |1| = 5 + 3 + 2 + 1 + 2 + 4 + 1 = 18\ \mathrm{mm}$

2. 真誤差平方和： $\sum \epsilon_1^2 = 5^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 2^2 + (-4)^2 + 1^2 = 25 + 9 + 4 + 1 + 4 + 16 + 1 = 60\ \mathrm{mm}^2$

3. 各精度指標計算：

• 標準差 $\sigma_1$： $\sigma_1 = \sqrt{\frac{60}{7}} \approx 2.93\ \mathrm{mm}$
• 平均誤差 $\theta_1$： $\theta_1 = \frac{18}{7} \approx 2.57\ \mathrm{mm}$
• 或然誤差 $r_1$： $r_1 = 0.6745 \times \sigma_1 = 0.6745 \times \sqrt{\frac{60}{7}} \approx 1.97\ \mathrm{mm}$

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二、第二組觀測量計算

觀測次數 $n = 7$，真誤差分別為：$-4$、$2$、$1$、$-8$、$2$、$5$、$2\ (\mathrm{mm})$。

1. 真誤差絕對值總和： $\sum |\epsilon_2| = |-4| + |2| + |1| + |-8| + |2| + |5| + |2| = 4 + 2 + 1 + 8 + 2 + 5 + 2 = 24\ \mathrm{mm}$

核心觀念

本題屬於測量平差法中「單一未知數之不等權觀測值平差」（加權平均法）。核心概念與公式如下：

1. 權（Weight, $P$）與測回數之關係： 設單一測回觀測之標準差為 $\sigma_0$（單位權標準差，權 $P_0 = 1$）。若第 $i$ 組獨立觀測進行了 $n_i$ 測回，其算術平均值之標準差為 $\sigma_i = \frac{\sigma_0}{\sqrt{n_i}}$，變異數為 $\sigma_i^2 = \frac{\sigma_0^2}{n_i}$。 根據權與變異數成反比之定義： $p_i = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2} = n_i$ 即「各組平均值的權直接等於該組的測回數」。

2. 加權平均值（最逼近值／平差值 $\hat{x}$）： $\hat{x} = \frac{\sum_{i=1}^n p_i l_i}{\sum_{i=1}^n p_i}$

3. 殘差（Residuals, $v_i$）與其性質： $v_i = \hat{x} - l_i \quad (\text{或 } l_i - \hat{x})$ 平差條件保證殘差加權和必為零：$\sum_{i=1}^n p_i v_i = 0$。

4. 後驗單位權標準差（Posterior Standard Error of Unit Weight, $\hat{\sigma}_0$）： $\hat{\sigma}_0 = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n p_i v_i^2}{n - u}}$ 其中 $n$ 為觀測組數（$n=5$），$u$ 為未知數個數（單一垂直角，故 $u=1$），多餘觀測數（自由度）$r = n - u = 5 - 1 = 4$。

5. 加權平均值之標準差（$\hat{\sigma}_{\hat{x}}$）： 加權平均值之權為各觀測值權之總和 $P_{\hat{x}} = \sum_{i=1}^n p_i$。依據誤差傳播定律： $\hat{\sigma}_{\hat{x}} = \pm \frac{\hat{\sigma}_0}{\sqrt{P_{\hat{x}}}} = \pm \frac{\hat{\sigma}_0}{\sqrt{\sum p_i}} = \pm \sqrt{\frac{\sum p_i v_i^2}{(n - 1)\sum p_i}}$

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解題方法

步驟一：列出各組垂直角平均值的權

依題意，以 $1$ 測回之觀測標準差為單位權標準差，故各組垂直角平均值之權即等於其測回數：

• 第 1 組（$2$ 測回）：$p_1 = 2$
• 第 2 組（$3$ 測回）：$p_2 = 3$
• 第 3 組（$4$ 測回）：$p_3 = 4$
• 第 4 組（$3$ 測回）：$p_4 = 3$
• 第 5 組（$2$ 測回）：$p_5 = 2$

總權數： $\sum_{i=1}^5 p_i = 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 14$

步驟二：計算加權平均值 $\hat{x}$

各組觀測值之度、分皆相同（$10^\circ 10'$），為簡化運算，設基準值 $x_0 = 10^\circ 10' 00''$，僅針對「秒」進行加權計算：

• $s_1 = 10''$
• $s_2 = 16''$
• $s_3 = 12''$
• $s_4 = 14''$
• $s_5 = 18''$

計算加權分子 $\sum p_i s_i$： $\sum_{i=1}^5 p_i s_i = 2(10) + 3(16) + 4(12) + 3(14) + 2(18) = 20 + 48 + 48 + 42 + 36 = 194''$

求得加權平均秒數 $\hat{s}$： $\hat{s} = \frac{\sum p_i s_i}{\sum p_i} = \frac{194''}{14} = \frac{97}{7}'' \approx 13.86''$

還原角度值，得加權平均值： $\hat{x} = 10^\circ 10' 13.86'' \quad \left(\text{精確值為 } 10^\circ 10' 13\frac{6}{7}''\right)$

步驟三：計算殘差與殘差平方加權和 $\sum p_i v_i^2$

定義殘差 $v_i = \hat{x} - l_i = \hat{s} - s_i = \frac{97}{7}'' - s_i$：

組別 $i$	觀測秒數 $s_i$	權 $p_i$	殘差 $v_i$	$p_i v_i$	$v_i^2$	$p_i v_i^2$

核心觀念

本題屬於間接觀測平差（又稱參數平差法，Adjustment of Indirect Observations / Parameter Adjustment）。核心理論與公式架構如下：

1. 函數模型（觀測方程式）： 若觀測量 $L$ 與未知參數 $X$ 之關係為線性或已線性化，可表示為： $V = A X - L$ 其中 $V$ 為殘差向量（$n \times 1$），$A$ 為設計矩陣（係數矩陣，$n \times u$），$X$ 為未知參數向量（$u \times 1$），$L$ 為觀測量向量（$n \times 1$）。
2. 隨機模型： 題目給定觀測量等權且不相關，故權矩陣 $P$ 為單位矩陣： $P = I_n$
3. 最小二乘平差準則與法方程式： 平差準則為 $V^T P V = \min$。由極值條件可導出法方程式（Normal Equations）： $N \hat{X} = U$ 其中法矩陣 $N = A^T P A = A^T A$，法常數向量 $U = A^T P L = A^T L$。 未知參數估值為： $\hat{X} = N^{-1} U$
4. 後驗單位權中誤差（後驗單位權標準差）： 設自由度為 $r = n - u$（$n$ 為觀測量數，$u$ 為未知參數數），其計算式為： $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{r}} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - u}}$
5. 未知參數估值之中誤差： 未知參數之協因數矩陣為 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1}$，各參數之中誤差為： $\sigma_{\hat{X}_j} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{jj}} \quad (j = 1, 2, \dots, u)$
6. 觀測量最或是值及其中誤差：

• 觀測量最或是值（平差值）向量：$\hat{L} = L + V = A \hat{X}$。
• 平差值之協因數矩陣：$Q_{\hat{L}\hat{L}} = A Q_{\hat{X}\hat{X}} A^T$。
• 各觀測量最或是值之中誤差為： $\sigma_{\hat{L}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{\hat{L}_i \hat{L}_i}} \quad (i = 1, 2, \dots, n)$

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解題方法

步驟一：建立矩陣模型

已知觀測方程式為 $h(t) = a + bt + ct^2$，未知參數向量令為 $X = \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}^T$（$u = 3$）。 觀測數據共有 $n = 5$ 組，觀測量向量 $L$（單位：$\text{cm}$）與權矩陣 $P$ 分別為： $L = \begin{bmatrix} 11.8 \\ 8.9 \\ 10.3 \\ 15.1 \\ 23.8 \end{bmatrix}, \quad P = I_5$

將時間 $t_i \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ 代入設計矩陣 $A$（第 $i$ 列為 $\begin{bmatrix} 1 & t_i & t_i^2 \end{bmatrix}$）： $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

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步驟二：組成並求解法方程式（未知參數估值）

計算法矩陣 $N = A^T A$：

• $N_{11} = \sum 1 = 5$
• $N_{12} = N_{21} = \sum t_i = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0$
• $N_{13} = N_{31} = N_{22} = \sum t_i^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 10$
• $N_{23} = N_{32} = \sum t_i^3 = (-8) + (-1) + 0 + 1 + 8 = 0$
• $N_{33} = \sum t_i^4 = 16 + 1 + 0 + 1 + 16 = 34$

$N = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 34 \end{bmatrix}$

計算常數向量 $U = A^T L$：

• $U_1 = \sum L_i = 11.8 + 8.9 + 10.3 + 15.1 + 23.8 = 69.9$
• $U_2 = \sum t_i L_i = (-2)(11.8) + (-1)(8.9) + (0)(10.3) + (1)(15.1) + (2)(23.8) = -32.5 + 62.7 = 30.2$
• $U_3 = \sum t_i^2 L_i = 4(11.8) + 1(8.9) + 0(10.3) + 1(15.1) + 4(23.8) = 47.2 + 8.9 + 15.1 + 95.2 = 166.4$

$U = \begin{bmatrix} 69.9 \\ 30.2 \\ 166.4 \end{bmatrix}$

求解逆矩陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1}$： 矩陣 $N$ 之次塊互相獨立，行列式值 $\det(N) = 10 \times (5 \times 34 - 10 \times 10) = 10 \times 70 = 700$。 逆矩陣為： $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{34}{70} & 0 & -\frac{10}{70} \\ 0 & \frac{1}{10} & 0 \\ -\frac{10}{70} & 0 & \frac{5}{70} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{17}{35} & 0 & -\frac{1}{7} \\ 0 & \frac{1}{10} & 0 \\ -\frac{1}{7} & 0 & \frac{1}{14} \end{bmatrix}$

計算參數解 $\hat{X} = N^{-1} U$： $\hat{a} = \frac{34 \times 69.9 - 10 \times 166.4}{70} = \frac{2376.6 - 1664}{70} = \frac{712.6}{70} = 10.18$ $\hat{b} = \frac{30.2}{10} = 3.02$ $\hat{c} = \frac{-10 \times 69.9 + 5 \times 166.4}{70} = \frac{-699 + 832}{70} = \frac{133}{70} = 1.90$

得二次多項式為：$\hat{h}(t) = 10.18 + 3.02 t + 1.90 t^2$。

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步驟三：計算後驗單位權中誤差

計算各點平差值 $\hat{L} = A \hat{X}$ 與殘差 $v_i = \hat{h}(t_i) - L_i$：

• $t = -2$：$\hat{h}(-2) = 10.18 + 3.02(-2) + 1.90(4) = 11.74\text{ cm}$ $\implies v_1 = 11.74 - 11.8 = -0.06\text{ cm}$
• $t = -1$：$\hat{h}(-1) = 10.18 + 3.02(-1) + 1.90(1) = 9.06\text{ cm}$ $\implies v_2 = 9.06 - 8.9 = +0.16\text{ cm}$
• $t = 0$：$\hat{h}(0) = 10.18 + 0 + 0 = 10.18\text{ cm}$ $\implies v_3 = 10.18 - 10.3 = -0.12\text{ cm}$
• $t = 1$：$\hat{h}(1) = 10.18 + 3.02(1) + 1.90(1) = 15.10\text{ cm}$ $\implies v_4 = 15.10 - 15.1 = 0.00\text{ cm}$
• $t = 2$：$\hat{h}(2) = 10.18 + 3.02(2) + 1.90(4) = 23.82\text{ cm}$ $\implies v_5 = 23.82 - 23.8 = +0.02\text{ cm}$

計算殘差平方和： $V^T P V = \sum v_i^2 = (-0.06)^2 + (0.16)^2 + (-0.12)^2 + (0.00)^2 + (0.02)^2$ $V^T P V = 0.0036 + 0.0256 + 0.0144 + 0.0000 + 0.0004 = 0.0440\text{ cm}^2$