107 原住民特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考核平面控制測量中「交會定位法」（Intersection Methods）的基本幾何原理與外業作業模式，涵蓋以下核心要點：

1. 交會定位之幾何構網：依據儀器（全測站儀）架設於已知點或未知點，區分為前方交會法（Forward Intersection）、側方交會法（Side/Lateral Intersection）​及後方交會法（Resection）。
2. 測角元素與觀測方向：各交會法所需觀測之水平角位置（位於已知點上或未知點上）及其觀測視線之幾何配置。
3. 後方交會之危險圓（Danger Circle / Critical Circle）問題：三點後方交會時，因外接圓幾何性質（圓周角定理）所導致之數學奇異性（Singularity，幾何條件退化致解算無窮多解）。

解題方法

一、三種交會定位法之儀器架設位置、觀測角度及圖解說明

1. 前方交會法（Forward Intersection）

• 儀器架設位置：全測站儀架設在至少兩個已知控制點（如 $A$ 點與 $B$ 點）上。未知點（待定點）$P$ 僅需豎立照準覘標（稜鏡或標桿），不需架設儀器。
• 觀測之角度：在已知點上觀測水平角。
• 儀器於 $A$ 點：照準已知點 $B$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\alpha$（$\angle PAB$）。
• 儀器於 $B$ 點：照準已知點 $A$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\beta$（$\angle PBA$）。
• 兩角皆為由已知點向待定點方向所構成的內角。
• 幾何圖解：

 P (待定未知點，立覘標)
 / \
 / \
 / \
 / α β \
 A---------B
 (已知點) (已知點)
 [架儀器] [架儀器]

2. 側方交會法（Side/Lateral Intersection）

• 儀器架設位置：全測站儀分別架設在一個已知控制點（如 $A$ 點）與待定未知點 $P$ 上。另一已知控制點 $B$ 僅需豎立照準覘標。
• 觀測之角度：分別在已知點及未知點各測一個角度。
• 儀器於已知點 $A$：照準已知點 $B$ 與未知點 $P$，觀測水平角 $\alpha$（$\angle PAB$）。
• 儀器於未知點 $P$：照準已知點 $A$ 與已知點 $B$，觀測水平角 $\gamma$（$\angle APB$）。
• 透過已知角 $\alpha$ 與未知點測角 $\gamma$，可推求第三角 $\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$，解算三角形邊長與點位坐標。
• 幾何圖解：

 P (待定未知點，架儀器)
 / \ [測角 γ]
 / \
 / \
 / α \
 A---------B
 (已知點) (已知點，立覘標)
 [架儀器]

3. 後方交會法（Resection）

• 儀器架設位置：全測站儀僅架設在待定未知點 $P$ 上。所有已知控制點（最少需三個已知點 $A$、$B$、$C$）均豎立照準覘標，不需在其上架設儀器。
• 觀測之角度：所有角度皆於未知點 $P$ 上觀測。
• 儀器於未知點 $P$：分別照準已知點 $A$、$B$、$C$，測得水平方向線之間的夾角 $\alpha = \angle APB$ 與 $\beta = \angle BPC$。
• 藉由觀測兩組交會角，建立數學方程式解求未知點 $P$ 坐標。
• 幾何圖解：

 A B C (三個已知控制點，均立覘標)
 \ | /
 \ | /
 \ | /
 \ α | β /
 \ | /
 \ | /
 P (待定未知點，架設全測站儀，測角 α, β)

4. 三種交會法比較彙整表

核心觀念

1. 坑道水準測量與倒尺法（Inverted Staff）：

• 坑道或隧道工程中，為避免地面車輛行駛與施工破壞，控制點（水準點）常設置於坑道頂板（頂拱）。
• 測量頂板高程點時，水準尺零點緊貼頂板測點，尺身向下倒懸垂直，讀數往下遞增，此測法稱為「倒尺法」（或懸尺法）。
• 視線高與高程推算：
• 正尺（立於底板）：儀器視線高 $HI = H + BS$，前視點高程 $H = HI - FS$。
• 倒尺（懸於頂板）：測點位於視線上方，視線高 $HI = H - BS$，前視點高程 $H = HI + FS$。
• 符號約定法：為簡化計算並統一公式，實務上將倒尺讀數一律冠以負號（即 $BS < 0$ 或 $FS < 0$），即可完全套用一般水準測量通用公式： $\Delta H = BS - FS$
• 後視為倒尺時：$HI = H + BS = H + (-|BS|) = H - |BS|$。
• 前視為倒尺時：$H = HI - FS = HI - (-|FS|) = HI + |FS|$。

2. 往返水準測量閉合差：

• 往測由 $A \to D$ 之高程差記為 $\Delta H_{\text{往}}$；返測由 $D \to A$ 之高程差記為 $\Delta H_{D \to A}$。
• 環線閉合差（往返測閉合差）： $W = \Delta H_{\text{往}} + \Delta H_{D \to A}$ （若以 $A \to D$ 兩次觀測值之差值表示，不符值 $f_h = \Delta H_{\text{往}} - (-\Delta H_{D \to A}) = W$，大小為 $|W|$）。

3. 等權觀測平差與誤差傳播定律：

• 若往測與返測高程差為等權且獨立不相關觀測，則 $A \to D$ 高程差之最概然值（算術平均值）為： $\Delta h_{AD} = \frac{\Delta H_{\text{往}} + (-\Delta H_{D \to A})}{2}$ $H_D = H_A + \Delta h_{AD}$
• 若已知基準點 $A$ 無誤差（$\sigma_{H_A} = 0$），且兩次獨立高程差之標準差均為 $\sigma = 5\ \text{mm}$，依誤差傳播定律： $\sigma_{H_D} = \sigma_{\Delta h_{AD}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \sigma^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sigma^2} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$

解題方法

本題中，$A$ 點與 $D$ 點為頂板倒尺（讀數取負值），$B$ 點與 $C$ 點為底板轉點（正尺，讀數取正值）。

一、往測計算（測段：$A \to B \to C \to D$）

各測站高程差計算如下：

1. 測站 1（後視 $A$，前視 $B$）：

• $A$ 點為倒尺：$BS_A = -1.792\ \text{m}$
• $B$ 點為正尺：$FS_B = +1.587\ \text{m}$
• $\Delta H_{AB} = BS_A - FS_B = -1.792 - 1.587 = -3.379\ \text{m}$

2. 測站 2（後視 $B$，前視 $C$）：

• $B$ 點為正尺：$BS_B = +1.436\ \text{m}$
• $C$ 點為正尺：$FS_C = +1.804\ \text{m}$
• $\Delta H_{BC} = BS_B - FS_C = 1.436 - 1.804 = -0.368\ \text{m}$

3. 測站 3（後視 $C$，前視 $D$）：

• $C$ 點為正尺：$BS_C = +1.663\ \text{m}$
• $D$ 點為倒尺：$FS_D = -1.515\ \text{m}$
• $\Delta H_{CD} = BS_C - FS_D = 1.663 - (-1.515) = +3.178\ \text{m}$

• 往測總高程差 $\Delta H_{\text{往}}$： $\Delta H_{\text{往}} = \Delta H_{AB} + \Delta H_{BC} + \Delta H_{CD} = (-3.379) + (-0.368) + 3.178 = -0.569\ \text{m}$ (驗算：$\sum BS - \sum FS = [(-1.792) + 1.436 + 1.663] - [1.587 + 1.804 + (-1.515)] = 1.307 - 1.876 = -0.569\ \text{m}$)

二、返測計算（測段：$D \to C \to B \to A$）

各測站高程差計算如下：

1. 測站 1（後視 $D$，前視 $C$）：

• $D$ 點為倒尺：$BS_D = -1.612\ \text{m}$
• $C$ 點為正尺：$FS_C = +1.626\ \text{m}$
• $\Delta H_{DC} = BS_D - FS_C = -1.612 - 1.626 = -3.238\ \text{m}$

核心觀念

導線測量中，各測線方位角的推算係基於「後視測線之方位角」、「後視方向之反方位角」及「測站上的水平折角（通常為順時針方向之水平右角）」之幾何關係。

1. 方位角（Azimuth, $\alpha$）：由基準北方向（子午線北）順時針旋轉至目標方向之水平夾角，其數值範圍嚴格限定於 $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$。
2. 反方位角（Back Azimuth）：同一條測線反向觀測之方位角。若前進測線 $PQ$ 之方位角為 $\alpha_{PQ}$，則在 $Q$ 點反向視向 $P$ 點之反方位角 $\alpha_{QP}$ 為： $\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} \pm 180^\circ$

• 當 $\alpha_{PQ} < 180^\circ$ 時，$\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} + 180^\circ$
• 當 $\alpha_{PQ} \ge 180^\circ$ 時，$\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} - 180^\circ$

3. 前視方位角推算基本公式： 在測站 $Q$ 上，由後視方向 $QP$ 順鐘向旋轉折角 $\beta$ 到達前視方向 $QR$，前視方位角 $\alpha_{QR}$ 為反方位角加上折角： $\alpha_{QR} = \alpha_{QP} + \beta = (\alpha_{PQ} \pm 180^\circ) + \beta = (\alpha_{PQ} + \beta) \pm 180^\circ = \theta \pm 180^\circ$ 其中定義角度和 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta$。
4. 判斷準則（加減 $180^\circ$ 之法則）：

• 當 $\theta < 180^\circ$ 時，$\alpha_{QR} = \theta + 180^\circ$
• 當 $180^\circ \le \theta < 540^\circ$ 時，$\alpha_{QR} = \theta - 180^\circ$
• 若 $\theta - 180^\circ \ge 360^\circ$（即 $\theta \ge 540^\circ$），超出整週角，須再扣減 $360^\circ$，即 $\alpha_{QR} = \theta - 540^\circ$。

解題方法

一、原理一：角度和 $\theta < 180^\circ$ 時，加上 $180^\circ$ 之幾何原理與繪圖

1. 幾何原理推導： 當 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta < 180^\circ$ 時，因折角 $\beta > 0^\circ$，必有 $\alpha_{PQ} < 180^\circ$。 此時由 $Q$ 點後視 $P$ 點之反方位角為 $\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} + 180^\circ$。 前視測線 $QR$ 之方位角由反方位角順時針旋轉 $\beta$ 角而得： $\alpha_{QR} = \alpha_{QP} + \beta = (\alpha_{PQ} + 180^\circ) + \beta = (\alpha_{PQ} + \beta) + 180^\circ = \theta + 180^\circ$ 由於 $\theta < 180^\circ$，故 $\theta + 180^\circ < 360^\circ$，所求得之 $\alpha_{QR}$ 必然介於 $180^\circ$ 至 $360^\circ$ 之間，符合方位角定義；反之，若在此情況下減去 $180^\circ$，則 $\theta - 180^\circ < 0^\circ$ 會產生負角，不合定義。

2. 數值實例： 設 $\alpha_{PQ} = 30^\circ$，$Q$ 點順時針折角 $\beta = 70^\circ$。 角度和 $\theta = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ < 180^\circ$。 前視方位角 $\alpha_{QR} = 100^\circ + 180^\circ = 280^\circ$。

3. 幾何原理圖示（圖一）：

 N (北)
 ↑
 | . R
 | /
 | / α_QR = 280°
 |/ 
 P .----->Q (測站)
 α_PQ | \
 = 30° | \
 | \ α_QP = 210°
 v v (反向線 QP 延長方向)

[角度關係說明]
1. 後視線 PQ 之方位角 α_PQ = 30°。
2. 在測站 Q，後視方向 QP 之反方位角 α_QP = 30° + 180° = 210°。
3. 順時針轉折角 β = 70°，得前視方向 QR 之方位角：
 α_QR = α_QP + β = 210° + 70° = 280°。
4. 亦即 α_QR = (α_PQ + β) + 180° = θ + 180°。

二、原理二：角度和 $\theta > 180^\circ$ 時，減去 $180^\circ$ 之幾何原理與繪圖

1. 幾何原理推導： 當 $\theta = \alpha_{PQ} + \beta > 180^\circ$ 時，若依原幾何公式加上 $180^\circ$，則所得角度 $\theta + 180^\circ > 360^\circ$，超出了一整週角（$360^\circ$）。 為使方位角落回標準區間 $[0^\circ, 360^\circ)$，必須扣除一整圈 $360^\circ$： $\alpha_{QR} = (\theta + 180^\circ) - 360^\circ = \theta - 180^\circ$ 另一種幾何觀察：若 $\alpha_{PQ} \ge 180^\circ$，則反方位角為 $\alpha_{QP} = \alpha_{PQ} - 180^\circ$，前視方位角即為： $\alpha_{QR} = \alpha_{QP} + \beta = (\alpha_{PQ} + \beta) - 180^\circ = \theta - 180^\circ$ 兩者均證明：只要 $\theta > 180^\circ$（且 $\theta < 540^\circ$），前視方位角即為 $\theta - 180^\circ$。

2. 數值實例： 設 $\alpha_{PQ} = 50^\circ$，$Q$ 點順時針折角 $\beta = 160^\circ$。 角度和 $\theta = 50^\circ + 160^\circ = 210^\circ > 180^\circ$。 前視方位角 $\alpha_{QR} = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$。

3. 幾何原理圖示（圖二）：

核心觀念

1. 光波測距儀（EDM）測距精度表示法 電子測距儀之標稱精度通常以 $\pm(a + b\ \text{ppm})$ 表示：

• $a$ 為固定誤差（常數誤差），不隨測距長度改變（如儀器加常數誤差、內部測相延遲等），本題為 $1\ \text{cm} = 0.01\ \text{m}$。
• $b$ 為比例誤差，以 $\text{ppm}$（parts per million，即 $10^{-6}$）表示，誤差大小與距離成正比（主受大氣溫壓折射率改正殘差、調變頻率漂移等影響）。
• 對於觀測距離 $D$，其距離中誤差（標準誤差）為： $\sigma_D = \pm(a + b \times 10^{-6} \times D)$

2. 面積計算與單位換算

• 矩形面積公式：$A = L \times W$（長度 $L$，寬度 $W$）。
• 面積公制單位換算：$1\ \text{公頃 (ha)} = 10,000\ \text{平方公尺 (m}^2)$。

3. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation） 設觀測量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 彼此獨立且不相關（共變異數為 $0$），且有函數關係式 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，則函數之中誤差 $\sigma_y$ 為： $\sigma_y = \pm \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2 \sigma_{x_1}^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2 \sigma_{x_2}^2 + \dots + \left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2 \sigma_{x_n}^2}$ 對於矩形面積 $A = L \cdot W$，其偏微分為 $\frac{\partial A}{\partial L} = W$、$\frac{\partial A}{\partial W} = L$，故面積中誤差公式為： $\sigma_A = \pm \sqrt{W^2 \sigma_L^2 + L^2 \sigma_W^2}$

解題方法

步驟一：計算矩形面積（以公頃為單位）

由題意已知長 $L = 580\ \text{m}$，寬 $W = 420\ \text{m}$： $A = L \times W = 580\ \text{m} \times 420\ \text{m} = 243,600\ \text{m}^2$

將平方公尺換算為公頃： $A = \frac{243,600\ \text{m}^2}{10,000\ \text{m}^2/\text{ha}} = 24.36\ \text{公頃}$

步驟二：計算各邊長觀測值之中誤差

依題意，測量精度為 $1\ \text{cm} + 30\ \text{ppm}$：

• 長度 $L = 580\ \text{m}$ 之中誤差 $\sigma_L$： $\sigma_L = 0.01\ \text{m} + 30 \times 10^{-6} \times 580\ \text{m} = 0.01\ \text{m} + 0.0174\ \text{m} = 0.0274\ \text{m}$
• 寬度 $W = 420\ \text{m}$ 之中誤差 $\sigma_W$： $\sigma_W = 0.01\ \text{m} + 30 \times 10^{-6} \times 420\ \text{m} = 0.01\ \text{m} + 0.0126\ \text{m} = 0.0226\ \text{m}$

步驟三：應用誤差傳播定律計算面積中誤差

因長度與寬度測量彼此獨立不相關，對面積函數 $A = L \cdot W$ 進行全微分並依誤差傳播定律展開：