107 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗材料力學中的基礎應力與應變觀念，以及軸向受力構件的一維力學分析：

1. 正向應力（Normal Stress, $\sigma$）之定義：物體受外力作用產生內力時，截面上垂直於受力截面方向（法線方向）的內力集度（強度）。若內力為背離截面之拉力，產生「拉應力」（Tensile Stress，一般取為正號）；若為朝向截面之推擠力，產生「壓應力」（Compressive Stress，一般取為負號）。其數學定義為： $\sigma = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_n}{\Delta A} = \frac{dF_n}{dA}$ 在軸力均勻分佈之假設下，斷面上之平均正向應力公式為： $\sigma_{\text{avg}} = \frac{P}{A}$ 其中 $P$ 為作用於截面之軸向力，$A$ 為垂直於軸線之截面面積。
2. 正向應變（Normal Strain, $\epsilon$）之定義：物體受力後，沿特定方向單位長度之伸長量或縮短量，用以衡量構件尺寸長度的相對改變率。其平均正向應變公式為： $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ 其中 $\Delta L$ 為變形量（伸長量取正，縮短量取負），$L$ 為未受力前的原始長度。正向應變為無因次量（無單位）。
3. 一維虎克定律（Hooke's Law）：在均質、等向性材料且處於線彈性範圍內，正向應力與正向應變呈線性比例關係： $\sigma = E \epsilon \implies \epsilon = \frac{\sigma}{E}$ 其中 $E$ 為材料之楊氏係數（Young's Modulus / 彈性模數）。

解題方法

一、名詞解釋

1. 正向應力（Normal Stress）：

• 定義：物體內部截面上，垂直於該截面法線方向之單位面積內力。
• 物理意義：抵抗使截面互相拉開或推擠的集度。
• 性質：垂直向外拉伸者為拉應力（正號），垂直向內壓縮者為壓應力（負號）。常見國際單位制（SI）單位為 $\mathrm{Pa}\ (\mathrm{N/m^2})$ 或 $\mathrm{MPa}\ (\mathrm{N/mm^2})$。

2. 正向應變（Normal Strain）：

• 定義：構件受外力變形後，沿受力方向每單位原始長度的變形量（形變伸長或縮短比例）。
• 物理意義：描述材料幾何尺寸拉長或壓短的劇烈程度。
• 性質：伸長為正（拉應變），縮短為負（壓應變）。為純量比值，無因次（常用 $\mathrm{m/m}$、$\mathrm{mm/mm}$ 或微應變 $\mu\varepsilon$ 表示）。

二、數值計算

已知條件：

• 圓形截面直徑 $d = 4\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{mm} = 0.04\ \mathrm{m}$
• 構件長度 $L = 2\ \mathrm{m} = 2000\ \mathrm{mm}$
• 楊氏係數 $E = 30\ \mathrm{GPa} = 30 \times 10^3\ \mathrm{MPa} = 30 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• 軸向拉力 $P = 10\ \mathrm{kN} = 10000\ \mathrm{N}$

步驟 1：計算桿件截面面積 $A$ 圓形截面面積為： $A = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} \times (40\ \mathrm{mm})^2 = 400\pi\ \mathrm{mm}^2 \approx 1256.64\ \mathrm{mm}^2$

核心觀念

本題屬於工程力學（靜力學）中「平面共點力系之合成與平衡」的基本題型，考查重點包含：

1. 力的正交分解（直角座標分解法）：將傾斜作用力依其幾何比例三角形分解為相互正交的水平分量（$x$ 方向）與垂直分量（$y$ 方向）。
2. 共點力系之合力（Resultant Force）：平面共點力系之合力向量為各分力之向量和，其分量滿足代數疊加原理： $R_x = \sum F_x, \quad R_y = \sum F_y$ 合力大小以畢氏定理求得，方向以反三角函數求得與參考軸之夾角： $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left|\frac{R_y}{R_x}\right|$
3. 質點之靜力平衡條件與平衡力（Equilibrant Force）：若物體處於靜力平衡狀態，其所受合力向量必為零（$\sum \mathbf{F} = \mathbf{0}$）。欲使兩力平衡之第三力，在力學上稱為「平衡力」，其與前二力之合力必等大、反向且共線（互為反向量，$\mathbf{F}_3 = -\mathbf{R}$）。

解題方法

依原卷圖二所示，兩力皆為自節點 $C$ 向外拉出之拉力。以 $C$ 點為直角坐標系原點，設定向右為 $+x$ 軸方向、向上為 $+y$ 軸方向：

• $500\ \mathrm{N}$ 之拉力作用於第一象限（向右上方），方向三角形之水平、垂直、斜邊比例為 $24 : 7 : 25$。
• $200\ \mathrm{N}$ 之拉力作用於第四象限（向右下方），方向三角形之水平、垂直、斜邊比例為 $4 : 3 : 5$。

步驟一：正交分解各分力

1. $500\ \mathrm{N}$ 拉力（$\mathbf{F}_1$）：

• 水平分量： $F_{1x} = 500 \times \frac{24}{25} = +480\ \mathrm{N} \quad (\rightarrow)$
• 垂直分量： $F_{1y} = 500 \times \frac{7}{25} = +140\ \mathrm{N} \quad (\uparrow)$
• 向量表示：$\mathbf{F}_1 = 480\mathbf{i} + 140\mathbf{j}\ (\mathrm{N})$

2. $200\ \mathrm{N}$ 拉力（$\mathbf{F}_2$）：

• 水平分量： $F_{2x} = 200 \times \frac{4}{5} = +160\ \mathrm{N} \quad (\rightarrow)$
• 垂直分量： $F_{2y} = -200 \times \frac{3}{5} = -120\ \mathrm{N} \quad (\downarrow)$
• 向量表示：$\mathbf{F}_2 = 160\mathbf{i} - 120\mathbf{j}\ (\mathrm{N})$

步驟二：求二力之合力（$\mathbf{R}$）大小及方向

1. 合力分量疊加： $R_x = \sum F_x = F_{1x} + F_{2x} = 480 + 160 = +640\ \mathrm{N} \quad (\rightarrow)$ $R_y = \sum F_y = F_{1y} + F_{2y} = 140 - 120 = +20\ \mathrm{N} \quad (\uparrow)$ 向量形式為 $\mathbf{R} = 640\mathbf{i} + 20\mathbf{j}\ (\mathrm{N})$。

2. 合力大小： $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{640^2 + 20^2} = \sqrt{409600 + 400} = \sqrt{410000} = 100\sqrt{41} \approx 640.31\ \mathrm{N}$

3. 合力方向： 由於 $R_x > 0$ 且 $R_y > 0$，合力指向第一象限（向右偏上）。與水平 $+x$ 軸之仰角 $\theta$ 為：

核心觀念

本題為經典的「共點力系之力的分解與合成」，主要考查以下觀念與力學原理：

1. 直角坐標正交分解法：任一平面力可沿水平（$x$ 軸）及垂直（$y$ 軸）兩個正交方向分解為分力： $F_x = F \cos\theta, \quad F_y = F \sin\theta$
2. 合力方向條件：合力 $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$。當合力 $\vec{R}$ 指向垂直方向時，代表合力之水平分量必為零： $R_x = \sum F_x = 0$ 合力之大小即等於其垂直分量之總和： $R = R_y = \sum F_y$
3. 力三角形與正弦定理（Sine Rule）：共點雙力與其合力可構成封閉向量三角形，亦可透過正弦定理快速求解。

解題方法

方法一：直角坐標分力法（標準考場規範解法）

1. 建立坐標系與分力表示 設水平向右為 $+x$ 方向，垂直向上為 $+y$ 方向。

• 力 $F_1 = 30\ \mathrm{N}$，方向向左上方，與水平線夾角為 $28^\circ$： $F_{1x} = -F_1 \cos 28^\circ = -30 \cos 28^\circ$ $F_{1y} = F_1 \sin 28^\circ = 30 \sin 28^\circ$
• 力 $F_2$ 大小未知，方向向右上方，與水平線夾角為 $10^\circ$： $F_{2x} = F_2 \cos 10^\circ$ $F_{2y} = F_2 \sin 10^\circ$

2. 利用水平分力總和求解 $F_2$ 已知兩力之合力 $R$ 僅有垂直方向分量，故水平方向合力為零（$R_x = 0$）： $\sum F_x = F_{2x} + F_{1x} = 0$ $F_2 \cos 10^\circ - 30 \cos 28^\circ = 0$ $F_2 = \frac{30 \cos 28^\circ}{\cos 10^\circ}$ 代入三角函數數值（$\cos 28^\circ \approx 0.8829$、$\cos 10^\circ \approx 0.9848$）： $F_2 = \frac{30 \times 0.882948}{0.984808} \approx 26.90\ \mathrm{N}$

3. 求合力 $R$ 之大小 合力大小即為垂直分力之代數和： $R = \sum F_y = F_{1y} + F_{2y} = 30 \sin 28^\circ + F_2 \sin 10^\circ$ 將 $F_2 = \frac{30 \cos 28^\circ}{\cos 10^\circ}$ 代入整理： $R = 30 \sin 28^\circ + \left(\frac{30 \cos 28^\circ}{\cos 10^\circ}\right) \sin 10^\circ = \frac{30 (\sin 28^\circ \cos 10^\circ + \cos 28^\circ \sin 10^\circ)}{\cos 10^\circ}$ 利用和角公式 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$： $R = \frac{30 \sin(28^\circ + 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = \frac{30 \sin 38^\circ}{\cos 10^\circ}$

核心觀念

1. 一維線構件（鐵絲）組合形體之重心：

• 本題之構件為「均勻細鐵絲」彎折而成之中空三角形框架，質量均勻分布於各線段上，屬於線質量系統，不可誤用實心三角形薄板之面積重心公式。
• 線構件組合之重心坐標公式為： $\bar{x} = \frac{\sum L_i x_i}{\sum L_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum L_i y_i}{\sum L_i}$ 其中 $L_i$ 為各段鐵絲之長度，$(x_i, y_i)$ 為各段鐵絲中點（幾何中心）之坐標。

2. 單點自由懸掛之二力靜力平衡條件：

• 剛體由單一點自由懸掛達靜力平衡時，支承點之反力與整體之重力形成一對平衡力。
• 根據共線平衡原理，懸掛點與物體總重心的連線必定為鉛垂線。
• 求特定邊與鉛垂方向之夾角，本質即為求該邊與「懸掛點至重心連線」之幾何夾角。

解題方法

步驟一：建立坐標系與各邊幾何參數

已知三角形邊長 $AB = 3\ \mathrm{cm}$、$BC = 4\ \mathrm{cm}$、$AC = 5\ \mathrm{cm}$，滿足畢氏定理 $3^2 + 4^2 = 5^2$，故此三角形為直角三角形，直角頂點為 $B$（$\angle B = 90^\circ$）。

選取直角頂點 $B$ 為坐標原點 $(0, 0)$：

• $BC$ 邊落於 $+x$ 軸上，頂點坐標為 $B(0, 0)$、$C(4, 0)$。
• $AB$ 邊落於 $+y$ 軸上，頂點坐標為 $B(0, 0)$、$A(0, 3)$。

將鐵絲分割為三條均勻直線段，各段長度 $L_i$ 與其個別中點坐標 $(x_i, y_i)$ 分別為：

• $AB$ 邊：長度 $L_1 = 3\ \mathrm{cm}$，中點坐標 $(x_1, y_1) = (0, 1.5)\ \mathrm{cm}$。
• $BC$ 邊：長度 $L_2 = 4\ \mathrm{cm}$，中點坐標 $(x_2, y_2) = (2, 0)\ \mathrm{cm}$。
• $AC$ 邊：長度 $L_3 = 5\ \mathrm{cm}$，中點坐標 $(x_3, y_3) = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (2, 1.5)\ \mathrm{cm}$。

鐵絲總長度為： $L = L_1 + L_2 + L_3 = 3 + 4 + 5 = 12\ \mathrm{cm}$

步驟二：計算鐵絲整體之重心坐標

1. 重心至 $AB$ 邊之距離（即重心 $x$ 坐標 $\bar{x}$）： $\bar{x} = \frac{L_1 x_1 + L_2 x_2 + L_3 x_3}{L} = \frac{3(0) + 4(2) + 5(2)}{12} = \frac{0 + 8 + 10}{12} = \frac{18}{12} = 1.5\ \mathrm{cm}$

2. 重心至 $BC$ 邊之距離（即重心 $y$ 坐標 $\bar{y}$）：