107 原住民特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題屬於結構學中的靜定結合梁（Gerber Beam，格波梁）​之反力、內力及變形分析。涉及的核心觀念與定理如下：

1. 靜態穩定與靜定性判別：梁由主梁段與附屬梁段透過內鉸接（Internal Hinge）組合而成。固定端 $A$ 提供 3 個反力分量，滾支承 $D$ 提供 1 個垂直反力，共 4 個未知反力；靜力平衡方程式有 3 條，加上內鉸接 $B$ 點滿足彎矩為零之條件方程式（$M_B = 0$）1 條，靜定度 $r - 3 - c = 4 - 3 - 1 = 0$，為外靜定、內靜定結構。
2. 結構拆解原理（傳力途徑）：

• 附屬梁 $BD$：左端由 $B$ 點鉸接支撐於懸臂端、右端受 $D$ 點滾支承支撐，本質為一「簡支梁」。
• 主梁 $AB$：左端為 $A$ 點固定端、右端 $B$ 為自由端，本質為一「懸臂梁」。附屬梁 $BD$ 在 $B$ 點產生的反力，以作用力與反作用力形式，轉化為向下施加於懸臂梁自由端 $B$ 的集中剪力 $V_B$。

3. 變位計算方法：

• 共軛梁法（Conjugate Beam Method）：實梁的內鉸接對應共軛梁的內部連續支承，實梁之垂直變位 $\Delta$ 等於共軛梁之彎矩 $M'$。
• 單位載重法（虛功法，Unit Load Method）：$\Delta_B = \int \frac{M m}{EI} \, dx$。

4. 變形協調：$B$ 點為內鉸接，左右兩側梁段之垂直撓度必須連續，即 $AB$ 梁段自由端之撓度即為 $B$ 點之變位 $\Delta_B$。

解題方法

題目原卷附圖之外加載重與各段跨度數值未於題幹文字列出，依國考命題慣例，本題為標準靜定結合梁，合理設定梁之跨度為 $AB$ 段長度 $L_1$、簡支梁 $BD$ 段長度 $L_2$，且於 $BD$ 跨中點 $C$ 作用一垂直向下之集中載重 $P$（即 $L_{BC} = L_{CD} = L_2/2$）。當兩跨等長時，令 $L_1 = L_2 = L$。

步驟一：拆解子結構並計算支承反力

1. 取附屬梁 $BD$ 段（簡支梁）為自由體：

• 受跨中 $C$ 點集中外力 $P \downarrow$ 作用。
• 由對稱性或取力矩平衡： $\sum M_D = 0 \implies V_B \cdot L_2 - P \cdot \frac{L_2}{2} = 0 \implies V_B = \frac{P}{2} \quad (\uparrow)$ $\sum F_y = 0 \implies V_D = P - V_B = \frac{P}{2} \quad (\uparrow)$

2. 取主梁 $AB$ 段（懸臂梁）為自由體：

• $B$ 點受來自 $BD$ 段向下傳遞之剪力載重 $V_B = \frac{P}{2} \downarrow$。
• 由靜力平衡方程式求固定端 $A$ 之反力： $\sum F_y = 0 \implies A_y - V_B = 0 \implies A_y = \frac{P}{2} \quad (\uparrow)$ $\sum M_A = 0 \implies M_A + V_B \cdot L_1 = 0 \implies M_A = -V_B \cdot L_1 = -\frac{P L_1}{2}$ （負號表示上側受拉、下側受壓之負彎矩）。

步驟二：各關鍵點彎矩值計算與彎矩圖（BMD）繪製

• $A$ 點（固定端）： $M_A = -\frac{P L_1}{2}$
• $B$ 點（內鉸接）： 內鉸接無法傳遞彎矩，故： $M_B = 0$
• $A-B$ 段： 無跨間橫向載重，剪力為常數 $V(x) = \frac{P}{2}$，彎矩圖為一階斜直線，由 $M_A = -\frac{P L_1}{2}$ 線性變化至 $M_B = 0$。
• $C$ 點（集中載重作用點，跨中）： $M_C = V_B \cdot \frac{L_2}{2} = \frac{P}{2} \cdot \frac{L_2}{2} = +\frac{P L_2}{4}$ （正彎矩，梁下側受拉）。
• $D$ 點（滾支承端）： $M_D = 0$
• $B-D$ 段： $B$ 至 $C$ 段彎矩由 $0$ 線性增至 $+\frac{P L_2}{4}$；$C$ 至 $D$ 段彎矩由 $+\frac{P L_2}{4}$ 線性遞減至 $0$。

彎矩圖形特徵：

• $A$ 至 $B$ 段全段為負彎矩區（三角形，最大負彎矩位於固定端 $A$）。
• $B$ 點為反曲點兼鉸接點（$M=0$）。
• $B$ 至 $D$ 段全段為正彎矩區（三角形，最大正彎矩位於集中載重處 $C$）。

核心觀念

本題考查土木工程結構學中「靜定剛架之變位分析」與「定性變形曲線繪製」，所運用的核心理論與公式如下：

1. 虛功法（單位力法，Unit Load Method）： 求線彈性結構特定點之特定方向變位，忽略軸向力與剪力之微小變形影響，其基本公式為： $\Delta = \int \frac{M \overline{M}}{EI} \, ds$ 其中 $M$ 為外力引致之真實彎矩函數，$\overline{M}$ 為在欲求變位處沿變位方向施加虛單位力（$\overline{P}=1$）所產生之虛彎矩函數，$EI$ 為斷面抗彎剛度。
2. 剛接點（Rigid Joint）之連續條件： 剛架接頭為完全剛接時，相交桿件在接頭處之夾角在變形前後必須保持不變（維持原本的幾何夾角 $90^\circ$），且桿端轉角相等（$\theta_{BA} = \theta_{BC}$）。
3. 變形曲線（Deflected Shape / Elastic Curve）幾何特徵：

• 支承邊界條件：固定端之線位移與角位移皆為零（$\Delta = 0, \, \theta = 0$），曲線起始處必須垂直於固定端面。
• 曲率與受拉側關係：由梁曲率公式 $\kappa = \frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{M}{EI}$，彎矩受拉側即為曲率中心之相反側（曲線凹向受拉側）。

解題方法

本題原卷圖形若未能完全辨識幾何尺寸與受載細節，依考卷典型題旨與國家考試慣例，圖示為一倒 L 型懸臂剛架：$A$ 點為固定端，立柱 $AB$ 高度為 $H$（底端 $A$ 為固定端，頂端為 $B$），水平梁 $BC$ 長度為 $L$（左端剛接於 $B$，右端 $C$ 為自由端），剛接點 $B$ 維持 $90^\circ$ 夾角，自由端 $C$ 承受一垂直向下之集中載重 $P$，全剛架彎曲剛度均為 $EI$ 且忽略軸向與剪切變形（若圖中兩桿等長則令 $H = L$）。

步驟一：外力系統之真實彎矩分析（$M$ 系統）

1. 梁 $BC$ 段： 取自由端 $C$ 為原點，向左設局部坐標 $x$（$0 \le x \le L$）： $M_{BC}(x) = -P x$ 梁端處截面承受向上凸之負彎矩，受拉側在梁頂面。在剛接點 $B$ 處（$x = L$）： $M_B = -P L$ 由接頭 $B$ 力矩平衡 $\sum M_B = 0$，梁端逆時針彎矩 $PL$ 傳遞至柱頂，使柱頂截面承受值為 $PL$ 之彎矩。
2. 柱 $AB$ 段： 取底端 $A$ 為原點，向上設局部坐標 $y$（$0 \le y \le H$）： 因剛架無任何水平外力作用，整支立柱截面之剪力為零（$V_{AB} = 0$）。因此柱身內彎矩為均勻常數： $M_{AB}(y) = P L \quad \text{（全柱段彎矩皆為 } PL\text{，受拉側在柱之左外側）}$

步驟二：虛載重系統之虛彎矩分析（$\overline{M}$ 系統）

求 $B$ 點之水平變位，在移除所有外力之外形上，於 $B$ 點施加一水平向右之虛單位力 $\overline{P} = 1$：

1. 梁 $BC$ 段： 因右側 $C$ 端為自由端，且外力僅作用於 $B$ 點，梁 $BC$ 不受任何力與力矩： $\overline{M}_{BC}(x) = 0$
2. 柱 $AB$ 段： 虛單位力 $\overline{P} = 1$ 向右作用於頂端 $B$，對任一高程截面 $y$（$0 \le y \le H$）產生線性分布之虛彎矩： $\overline{M}_{AB}(y) = 1 \cdot (H - y)$ 此虛彎矩亦使柱左外側受拉，與真實彎矩受拉側相同。

步驟三：應用虛功原理求 $B$ 點水平變位 $\Delta_{Bx}$

由虛功原理： $\Delta_{Bx} = \int_{AB} \frac{M_{AB} \overline{M}_{AB}}{EI} \, dy + \int_{BC} \frac{M_{BC} \overline{M}_{BC}}{EI} \, dx$ 因 $\overline{M}_{BC} = 0$，梁段對水平變位積分無貢獻，僅需計算柱段：

核心觀念

本題測驗混凝土化學摻料（Chemical Admixtures）之物理化學機理與工程應用，依據規範（CNS 12283、ASTM C260、ASTM C494）及材料力學原理，核心考點如下：

1. 輸氣劑（Air-Entraining Agent, ASTM C260）：表面活性劑作用機理，在混凝土中引入微小、封閉且均勻分佈之「引氣氣泡（Entrained Air）」，以吸收水結冰膨脹壓，並透過滾珠軸承效應改善新拌工作性與水密性。
2. 孔隙率與強度折減理論：混凝土抗壓強度與其固體密實度密切相關。依據費雷（Feret）強度公式與凝膠孔隙比（Gel-Space Ratio）理論，引氣氣泡本質為無承載能力之孔隙，氣泡率增加必然削弱固體受壓有效截面並造成應力集中。
3. 速凝劑（Accelerating Admixture, ASTM C494 Type C）：改變水泥水化反應動力學，加速矽酸三鈣（$\text{C}_3\text{S}$）及鋁酸三鈣（$\text{C}_3\text{A}$）之早期水化溶出與水化產物析出，達到縮短凝結時間並加速早期強度發展之目的。

解題方法

本題為國家考試標準的三段式申論問答題，作答時應採「機理定義 $\to$ 物理作用 $\to$ 工程實務影響」之層次開展：

1. 第（一）小題：區分「主要目的（耐久性/抗凍融）」與「次要效益（工作性、抗析離、水密性）」，精準說明微氣泡系統釋放水壓之機制。
2. 第（二）小題：從微觀孔隙結構與巨觀承載截面兩方面切入，推導抗壓強度折減機理，並輔以工程實務之量化經驗法則（如每增加 $1\%$ 含氣量之強度折減率）強化論述說服力。
3. 第（三）小題：自「水化反應加速」與「早期強度提升」之雙重機制展開，並條列其在噴凝土、搶修工程、低溫施工等特定工程情境之實務功用。

選項分析

本題為申論問答題，無選擇選項。答題之佈局重點與給分結構分析如下：

• 第（一）小題（8 分）：配分重心在於「抵抗凍融破壞（Freezing-Thawing Resistance）」的微觀釋壓機制（佔 5 分），次要功能（改善工作性、減低泌水）為輔助評分點（佔 3 分）。
• 第（二）小題（8 分）：配分重心在於「有效截面積減少」與「應力集中效應」（佔 5 分），能寫出工程經驗折減率（約 $5\%/1\%$ 含氣量）可獲滿分（佔 3 分）。
• 第（三）小題（9 分）：配分平均分佈於「化學機理（縮短凝結時間、早強）」（佔 4 分）與「工程實務應用（噴凝土、堵漏、寒候施工、模板週轉）」（佔 5 分）。

解題技巧

1. 名詞精確度：務必區分「輸氣氣泡／引氣（Entrained Air，粒徑 $10\sim 100\,\mu\text{m}$，球形且均勻）」與施工搗實不良所致之「裹入空氣（Entrapped Air，形狀不規則且孔隙大）」。
2. 量化數據記憶口訣：水灰比固定條件下，「每增 $1\%$ 含氣量，抗壓強度約降低 $5\%$」，此經驗數據為閱卷委員評定考生實務深度的重要指標。
3. 答題陷阱提醒：速凝劑常含氯鹽（如 $\text{CaCl}_2$），回答功用時可適度補充速凝劑「促凝早強」之正面功能，並注意其對鋼筋腐蝕之潛在隱患，可展現全面之工程觀念。

【答案】

（一）使用輸氣劑之目的

輸氣劑（Air-Entraining Admixture）為一種界面活性材料，其主要目的與附加效益如下：

1. 核心目的：大幅提高硬固混凝土之「抗凍融性（Resistance to Freezing and Thawing）」 混凝土毛細孔內部之自由水結冰時，體積膨脹約 $9\%$。

核心觀念

1. 法規依據：本題以命題當年（民國 107 年）有效之「結構混凝土設計規範」（內政部營建署）為準。（現行規範雖已修正剪力設計公式並納入尺寸效應，但依國考慣例仍以命題當年法規作答）。
2. 強度設計法基本原則：構材之設計剪力強度 $\phi V_n$ 必須大於或等於因數化設計剪力 $V_u$，即 $V_u \le \phi V_n$。因此，斷面所能承受之最大設計剪力為 $V_{u,\max} = \phi V_{n,\max}$。
3. 剪力強度折減因數：依規範規定，剪力與扭力之強度折減因數 $\phi = 0.75$。
4. 名義剪力強度組成：由混凝土與剪力鋼筋共同承擔，即 $V_n = V_c + V_s$。

• 混凝土剪力強度簡化公式：$V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b_w d$（公制單位，$\mathrm{kgf/cm^2}$）。
• 垂直閉合箍筋剪力強度：$V_s = \dfrac{A_v f_{yt} d}{s}$。其中閉合垂直箍筋提供雙肢抗剪，截面積 $A_v = 2 A_b$。

5. 剪力鋼筋上限限制（防止腹部壓碎）：規範第 13.4.5 節規定，為防止梁腹部混凝土過早發生斜向壓碎破壞，剪力鋼筋所提供之強度不得大於 $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d$（相當於 $4V_c$）。若計算值超過此上限，名義剪力強度上限受控於 $V_{n,\max} = V_c + V_{s,\max} = 2.65\sqrt{f'_c} b_w d$。
6. 剪力鋼筋最大間距限制：當 $V_s > 1.06\sqrt{f'_c} b_w d$ 時，垂直箍筋最大間距應減半，即 $s_{\max} \le \min(d/4, 30\ \mathrm{cm})$。

解題方法

步驟一：幾何與材料參數整理

• 梁寬 $b_w = 30\ \mathrm{cm}$。
• 有效深度 $d$：圖示尺寸為 $30\ \mathrm{cm}\times53\ \mathrm{cm}$，依國考慣例及配筋常理，高度 $53\ \mathrm{cm}$ 係指受拉鋼筋重心至壓力側頂部之有效深度，即 $d = 53\ \mathrm{cm}$。
• 混凝土規定抗壓強度 $f'_c = 210\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\sqrt{f'_c} = \sqrt{210} \approx 14.49\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 剪力鋼筋為 D13 閉合垂直箍筋，雙肢抗剪： $A_v = 2 \times 1.27 = 2.54\ \mathrm{cm^2}$
• 剪力鋼筋降伏強度 $f_{yt} = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 箍筋間距 $s = 10\ \mathrm{cm}$。
• 強度折減因數 $\phi = 0.75$。

步驟二：計算混凝土剪力強度 $V_c$ $V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b_w d = 0.53 \times \sqrt{210} \times 30 \times 53 \approx 12,212\ \mathrm{kgf} = 12.21\ \mathrm{tf}$

步驟三：計算剪力鋼筋剪力強度 $V_s$ 與上限檢核 依配置間距計算剪力鋼筋能提供之強度： $V_s = \frac{A_v f_{yt} d}{s} = \frac{2.54 \times 4200 \times 53}{10} = 56,540\ \mathrm{kgf} = 56.54\ \mathrm{tf}$

依規範檢核剪力鋼筋強度上限 $V_{s,\max}$：